数学必修五1.1.1.ppt

第一章解三角形1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 看书 翻页的一瞬间 发现左手的手指甲长了 整个手略显细长 迎着阳光一看 第一次发现自己的手也可以如此美妙 我欣喜的拿出存放了很久的指甲油 准备精心的涂上去 摊开两手 准备比对着挑选一种适合的颜色 才发现 两只手放在一起如此不协调 左手美丽 修长 甚至还有点俏皮 而右手粗短 皱巴 略带沧桑 我嫌恶的看了一眼右手 觉得是她拖累了左手的美丽 带走了我这美丽心情 指甲油到底是没有涂上 因为我鄙夷这右手的丑陋 甚至觉得他不配这美丽的色彩 可是只涂一只手显然有些另类 估计会更显得右手的粗笨 所以索性又把指甲油藏起来了 觉得如果右手不变的漂亮一点 我这辈子恐怕都没有信心再拿出这美丽的瓶瓶 爱美是女人的天性 追求完美是每个人的天性 我自然也不能免俗 我仅仅是期待自己的右手可以漂亮一点而已 却发现很难 洗衣服 用力揉搓的是右手 切菜切肉 拿刀用力的是右手 拎东西 扶栏杆等也都是右手在扮演着老大 突然间 我觉得自己很可恶 一度很不屑外貌协会的作风 如今自己却倾倒在里面不能直立 不可思议的是并非针对别人 而是对始终陪伴自己辛苦劳作的一只手 第一次心疼的拿出右手来观察 发 1 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的 相等 即 2R R为三角形的外接圆半径 正弦的比 2 解三角形 1 定义 一般地 把三角形 和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形 2 利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题 已知任意两角与一边 求其他两边和一角 已知任意两边与其中一边的对角 求另一边的对角 进一步求出其他的边和角 三个角A B C 其他元素 1 判一判 正确的打 错误的打 1 正弦定理只适用于锐角三角形 2 在 ABC中必有asinA bsinB 3 在 ABC中 若A B 则必有sinA sinB 解析 1 错误 正弦定理适用于任意三角形 2 错误 结合正弦定理有asinB bsinA 3 正确 由A B 得a b 由正弦定理2RsinA 2RsinB 从而有sinA sinB 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 已知 ABC外接圆半径是2 A 60 则BC边长为 2 在 ABC中 a 3 b 5 sinA 则sinB 3 在 ABC中 已知a sinC 2sinA 则c 解析 1 因为 2R 所以BC 2RsinA 4sin60 2 答案 2 2 由知即sinB 答案 3 c a 2a 2 答案 2 要点探究 知识点正弦定理1 对正弦定理的四点说明 1 适用范围 正弦定理对任意的三角形都成立 2 结构形式 分子为三角形的边长 分母为相应边所对角的正弦的连等式 3 揭示规律 正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式 它描述了三角形中边与角的一种数量关系 4 主要功能 正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化 2 正弦定理的常见变形 1 asinB bsinA asinC csinA bsinC csinB 2 三角形的边长之比等于对应角的正弦比 即a b c sinA sinB sinC 3 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC sinA sinB sinC R为 ABC外接圆的半径 4 微思考 1 由方程的思想 用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件 提示 需要三个 任意两角及其一边或任意两边与其中一边的对角 2 在 ABC中 若已知三个角 A B C 可以解其他元素吗 提示 不可以 在 ABC中 必须有 边 的元素加入 否则无法确定三角形的大小 即时练 1 有关正弦定理的叙述 正弦定理只适用于锐角三角形 正弦定理不适用于钝角三角形 在某一确定的三角形中 各边与它的对角的正弦的比是定值 在 ABC中 sinA sinB sinC a b c 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 42 已知b 6 c 9 B 45 求C a A 解析 1 选B 正弦定理适用于任意三角形 故 均不正确 由正弦定理可知 三角形一旦确定 则各边与其所对角的正弦的比就确定了 故 正确 由比例性质和正弦定理可推知 正确 故选B 2 因为sinC 1 所以本题无解 题型示范 类型一已知两角和一边解三角形 典例1 1 2015 郑州高二检测 在 ABC中 AB A 45 C 75 则BC等于 A 3 B C 2D 3 2 在 ABC中 已知a 8 B 60 C 75 求A b c 解题探究 1 在题 1 的 ABC中角A和C的对边各是什么 2 题 2 中如何求角A 探究提示 1 角A的对边是BC 角C的对边是AB 2 由B C A 180 得A 180 B C 自主解答 1 选A 由正弦定理有得BC 3 故选A 2 A 180 B C 180 60 75 45 由正弦定理得b 由得c 方法技巧 已知两角一边解三角形的思路 1 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角所对边 再由三角形内角和定理求出第三个角 2 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求另外两边 变式训练 在 ABC中 已知a 10 B 75 C 60 试求c及 ABC的外接圆半径R 解析 因为A B C 180 所以A 180 75 60 45 由正弦定理 得 2R 所以c 所以2R 所以R 5 补偿训练 一个三角形的两个角分别等于120 和45 若45 角所对的边长是4 那么120 角所对边长是 A 4B 12C 4D 12 解析 选D 由正弦定理可得所求边长为 sin120 12 类型二已知两边和一角解三角形 典例2 1 2014 湖北高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知A a 1 b 则B 2 在 ABC中 c C a 2 求A B b 解题探究 1 题 1 欲求B的大小 需先知道什么条件 2 题 2 可按什么顺序求解此三角形 探究提示 1 欲求B的大小 可根据条件并结合正弦定理求出sinB的大小 再根据B的范围求出角B 2 可根据条件先求出sinA 进而求出角A 再求角B 最后求b 自主解答 1 由正弦定理得sinB 又B 且b a 所以B 或 答案 或 2 因为所以sinA 因为c a 所以C A 所以A 所以B 方法技巧 已知两边一角解三角形的方法 1 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2 如果已知的角为大边所对的角时 由三角形中大边对大角 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角 由正弦值可求锐角 3 如果已知的角为小边所对的角时 则不能判断另一边所对的角为锐角 这时由正弦值可求两个角 要分类讨论 知识拓展 已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方法 1 应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数 2 在 ABC中 已知a b和A 以点C为圆心 以边长a为半径画弧 此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数 解的个数见下表 图示已知a b A ABC解的情况 A为钝角或直角时解的情况如下 A为锐角时 解的情况如下 变式训练 在 ABC中 已知a b 1 A 45 解此三角形 解析 由正弦定理得sinB 因为a b 所以A B B为锐角 B 30 C 180 A B 105 由正弦定理得c 误区警示 本题易出现忽略a b而导致角B有两解的错误 补偿训练 1 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若c b B 120 则a等于 A B 2C D 解析 选D 由正弦定理因为c b所以C B 于是C 30 A 30 a c 2 在 ABC中 若AB B 30 AC 1 则 ABC有几个解 解析 因为所以sinC 又因为AB AC 所以C B 所以C 60 或120 故 ABC有两个解 类型三三角形形状的判断 典例3 1 在 ABC中 sinA sinB 则 ABC是 A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 锐角三角形 2 在 ABC中 若sinA 2sinBcosC 且sin2A sin2B sin2C 试判断 ABC的形状 解题探究 1 在题 1 ABC中 若sinA sinB 则A与B一定相等吗 2 在题 2 ABC中 由sin2A sin2B sin2C能得出什么结论 探究提示 1 一定相等 因为若A B 180 与三角形内角和定理矛盾 2 结合正弦定理 由sin2A sin2B sin2C得出a2 b2 c2 从而有A 90 自主解答 1 选B 由正弦定理 1 可得a b 所以 ABC是等腰三角形 2 在 ABC中 根据正弦定理 2R 因为sin2A sin2B sin2C 所以即a2 b2 c2 所以A 90 所以B C 90 由sinA 2sinBcosC 得sin90 2sinBcos 90 B 所以sin2B 因为B是锐角 所以sinB 所以B 45 C 45 所以 ABC是等腰直角三角形 延伸探究 若本例 2 中的条件 sinA 2sinBcosC 改为 sin2A 2sinBsinC 其他条件不变 试判断 ABC的形状 解析 由sin2A sin2B sin2C 得a2 b2 c2 所以A 90 因为sin2A 2sinBsinC 所以a2 2bc 所以b2 c2 2bc 所以b c 所以 ABC为等腰直角三角形 方法技巧 判断三角形形状的两种途径 1 利用正弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 变式训练 在 ABC中 已知acosA bcosB 试判断 ABC的形状 解析 设 k 由acosA bcosB 得ksinAcosA ksinBcosB 所以sin2A sin2B 所以2A 2B或2A 2B 180 即A B或A B 90 所以 ABC为等腰三角形或直角三角形 误区警示 在解三角形时 要注意分类讨论 否则会漏解 补偿训练 在 ABC中 若则 ABC一定是三角形 解析 由正弦定理及可得即又A B C为三角形内角 所以A B C 所以三角形为等边三角形 答案 等边 易错误区 三角形解的个数判断中因考虑不全而致错 典例 在 ABC中 已知c A a 2 则b 解析 因为sin 2 所以本题有两解 因为所以sinC 所以C 或 当C 时 B b 当C 时 B b 答案 1或 1 常见误区 防范措施 有关三角形解的个数的判断已知三角形的两边和其中一边的对角 用正弦定理时 可能有两解 一解或无