线性空间与线性变换.ppt

Abouttextbook 教材 矩阵分析简明教程 曾祥金 张亮 科学出版社 2010参考文献 矩阵分析 HornRA著 杨奇译 机械工业出版社高等工程数学 于寅 华中理工大学 1995 Ashorthistory Suchistheadvantageofawell constructedlanguagethatitssimplifiednotationoftenbecomesthesourseofprofundtheories P S Laplace这就是结构好的语言的好处 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉 Ashorthistory 4000年前 Babylonians已经会解决2 2的线性方程组200B C 九章 解决了3 3的线性方程组自此之后发展缓慢 Ashorthistory 遇到障碍 言辞数学 符号数学丢番图 DiophantusofAlexandria 约250A C 代数学之父上帝让他的童年时代占一生的六分之一 又过了一生的十二分之一 他开始长胡子 再过一生的七分之一 上帝为他点燃婚礼的烛光 婚后第五年 赐给他一个儿子 天哪 这真是一个晚生的孩子 孩子活到他父亲一半的年龄时 残酷的命运之神就把他带走了 他花了四年的时间用数的科学抚慰自己的悲伤 之后也就去世了 Ashorthistory 开始发展 符号数学韦达 Viete 1540 1603 引入符号笛卡尔 Descartes 1596 1650 解析几何 方法论 我思故我在费马 Fermat 1601 1665 解析几何 数论 微积分 费马猜想牛顿 Newton 1643 1727 莱布尼兹 Leibniz 1646 1716 科学加速发展 Ashorthistory 线性方程组的解 1693 Leibniz创造了行列式 1760 Cramer提出Cramer法则 1815 Cauchy 1789 1857 第一次系统定义行列式 1811 Gauss 1777 1855 提出高斯消元法 Ashorthistory matrix 创始人 ArthurCayley 1821 1895 17岁入剑桥大学三一学院20岁写了13篇文章 明确一生的研究方向28岁入律师行 做了14年律师 其后入剑桥大学主要贡献 矩阵论 代数不变量 高维几何 相对论的理论基础之一 JamesJosephSylvester 1814 1897 15岁入皇家学院 17岁剑桥大学 曾任保险精算62岁入约翰 霍普金斯大学 创立 美国数学杂志 MathematicsMagazine 南丁格尔 喜欢诗歌 发明数学名词 矩阵理论论的应用 Cayley正在为未来的一代物理学家锻造武器 Tait量子力学的最佳语言Matlab MatrixLiboratory几乎所有的工程数学 科学计算 课程各章节的应用 Ch1线性空间与线性变换 相对论Ch2内积空间 高维几何Ch3矩阵的标准形 控制理论Ch4矩阵的分解 数值计算Ch5向量范数与矩阵范数 泛函分析初级Ch6矩阵分析及其应用 控制理论Ch7矩阵特征值的界等 工程应用 金融 预备知识 线性代数 1 矩阵的运算 逆矩阵 2 线性方程组的Gauss消元 3 矩阵的秩 4 n维向量的相关知识 线性相关性 最大线性无关组 第1章 线性空间与线性变换 内容 线性空间的一般概念重点 空间结构和其中的数量关系线性变换重点 其中的矩阵处理方法特点 研究代数结构 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身 而是对象之间的结构关系 研究的关注点 对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点 具有抽象性和一般性 1 1线性空间 LinearSpaces 一 线性空间的概念线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 ExampleR3 x x1 x2 x3 T xi R 空间中所有向量 定义向量的加法 数与向量的乘积 运算封闭八条运算律成立 一 线性空间的基本概念 13 定义 设V是一个非空集合 F为数域 a b g V 对于任意的a b V 总有唯一的元素g V 与之对应 称g为a与b的和 记作g a b 且 14 对于任意的l F及任意的a V 总有唯一的元素 d V与之对应 称d为l与a的积 记作d la 且 则称V为数域F上的线性空间 称V的元素为向量 称满足 1 4 的和为加法 满足 5 8 的积为数乘 线性空间 集合 两种运算 所成完美集合 要点 集合V与数域F向量的加法和数乘向量运算 运算之后的结果跑不出去 八条运算律 能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美 线性空间定义总结 16 定义加法 例1 实数域上全体n维向量的集合 定义数乘 常见的线性空间 例2实数域R上的全体m n矩阵 对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间 记作Rm n Rm n是一个线性空间 17 对于多项式的加法 数乘多项式构成线性空间 18 例3次数小于n的多项式的全体 记作F x n 对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间 n次多项式的全体 例4 19 例6正实数的全体R 在其中定义加法及乘数运算为 验证R 对上述加法与乘数运算构成线性空间 20 证明 21 所以对所定义的运算构成线性空间 22 例5在区间 a b 上全体实连续函数 对函数的加法与数和函数的数量乘法 构成实数域R上的线性空间 记作C a b 23 C a b 是一个线性空间 不是线性空间的集合 V X x1 x2 1 T xi R 运算 向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间 定义中有很多漏洞可以攻击 线性空间的一般性的观点 线性空间的简单性质 共性 1 V中的零元素是惟一的 2 V中任何元素的负元素是惟一的 3 数零和零元素的性质 4 1 二 向量组的探讨 Review 向量的线性相关与线性无关 向量 可由 1 2 s线性表示 其工作可由多人合力完成 向量组 1 2 s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k1 1 k2 2 ks s 0 只有系数都为0向量组 1 2 s线性无关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k1 1 k2 2 ks s 0 必须有非零系数 二 向量组的探讨 Review 向量组的极大线性无关组 1 2 s为向量组A的一个部分组 精英组合 满足向量组 1 2 s线性无关 彼此工作不可替代 任意A的向量可以由 1 2 s线性表示 公司的任何人的工作可由精英组合完成 向量组的秩 rank 最大无关组中向量的个数 三 线性空间的基和维数 抽象的线性空间的元素称之为向量 vector 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样 定义形式和向量空间Rn中的定义一样 有关性质与定理和Rn中的结果一样 因此 要研究线性空间 只需要研究它的最大线性无关组 即为基 basis 三 线性空间的基和维数 基 basis 线性空间的最大线性无关组 维数 dimension 基中向量的个数 定义 设V是一个线性空间 a1 a2 an V若 1 a1 a2 an线性无关 2 a V a可由a1 a2 an线性表示 a x1a1 x2a2 xnan则称a1 a2 an为V的一组基 称n为V的维数 记作dimV n 30 例1设 31 自然基 常见线性空间的基与维数 Fn 自然基 e1 e2 en dimFn nRm n 自然基 Eij dimRm n m n F t 3 自然基 1 t t2 dimF t 3 3C a b 1 x x2 x3 xn 1 C a b dimC a b 约定 本书主要研究有限维线性空间 四 坐标 坐标的来历 设 1 2 n 是空间V的一组基 V 可以由基 1 2 n唯一线性表示 x1 1 x2 2 xn n则x1 x2 xn是 在基 i 下的坐标 34 例2设 下的坐标 35 36 下的坐标 37 解 设 38 例4设空间F x 4的两组基为 1 x x2 x3 和 1 x 1 1 x 1 2 x 1 3 求f x 2 3x 4x2 x3在这两组基下的坐标 归纳 有了基 就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的元素对应起来 从而将抽象具体化进行研究 例3设R2 2中向量组 Ai 1讨论 Ai 的线性相关性 2求向量组的秩和极大线性无关组 3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合 五 基变换和坐标变换 讨论 不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基 过渡矩阵C的性质 C为可逆矩阵C的第i列是 i在基 i 下的坐标 则 过渡矩阵 2坐标变换公式 已知空间中两组基 满足 讨论X和Y的关系 X CY 43 例设 是 中的两组基 求由基 到基 的转移矩阵P 44 基变换公式 P 例已知空间R中两组基 I Eij II 求从基 I 到基 II 的过渡矩阵C 求向量在基 II 的坐标Y 线性空间V与Fn的同构 坐标关系VFnV的基 1 2 n 由此建立一个一一对应关系 V X Fn X 1 2 1 2 k k 在关系 下 线性空间V和Fn同构 同构的性质 定理1 3 V中向量 1 2 n 线性相关 它们的坐标 X1 X2 Xn 在Fn中线性相关 同构保持线性关系不变 应用 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系 1 2子空间 概述 线性空间V中 向量集合V可以有集合的运算和关系 Wi V W1 W2 W1 W2 问题 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 49 定义 设V是数域F上的线性空间 W是V的非空子集 若对于V中的加法和数乘二种运算 W是数域F上的线性空间 则称W是V的子空间 定理 设V是数域F上的线性空间 W是V的非空子集 若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭 即 则称W是V的子空间 1 子空间的概念 判别方法 ImportantTheorem W是子空间 W对V的线性运算封闭 50 例1 实数域上n维向量的集合 例2 设A为m n矩阵 向量的集合 子空间和非子空间的例子 重要的子空间 生成子空间设向量组 1 2 m V 由它们的一切线性组合生成的子空间 Span 1 2 m L 1 2 m k1 1 k2 2 km m ki 生成子空间的重要的性质 1 如果 1 2 m线性无关 则其为生成子空间Span 1 2 m 的一组基 2 如果 1 2 r是向量组 1 2 m的最大线性无关组 则 Span 1 r m Span 1 r 1 2 r是Span 1 2 m 的一组基 Example 2 子空间的 交空间 与 和空间 讨论 设W1 V W2 V 且都是子空间 则W1 W2和W1 W2是否仍然是子空间 1 交空间交集 W1 W2 W1而且 W2 Vn F W1 W2是子空间 被称为 交空间 2 和空间和的集合 W1 W2 X1 X2 X1 W1 X2 W2 W1 W2 W1 W2 W1 W2是子空间 被称为 和空间 W1 W2不一定是子空间 W1 W2 W1 W2 例设R3中的子空间W1 L e1 W2 L e2 求和空间W1 W2 比较 集合W1 W2和集合W1 W2 如果W1 Span 1 2 m W2 Span 1 2 k 则W1 W2 Span 1 2 m 1 2 k 3 维数公式 子空间的包含关系 dimW1 W2 dimWi dimW1 W2 dimV 维数定理 dimW1 dimW2 dim W1 W2 dim W1 W2 证明 1 4子空间的直和 定义 设V1 V2是线性空间V的子空间 若对每个向量 a V1 V2都有唯一的分解式 则称V1与V2的和V1 V2是直和 记作V1 V2 定理 设V1 V2是线性空间V的子空间 则下列命题等价 2 向量0的分解式是唯一的 4 V1的一组基与V2的一组基的简单并是V1 V2的基 1 V1与V2的和V1 V2是直和 3 V1 V2 0 5 dim V1 V2 dimV1 dimV2 例设在Rn n中 子空间W1 A AT A W2 B BT B 证明Rn n W1 W2 1 3线性变换 LinearTransformations 一 线性变换的概念1 线性变换的来历 Definition i T是V上的映射 T V V ii T具有线性性 T T T 保持加法的三角形法则 T k kT 保持比例关系 例1 设T为R2上的线性变换 T R2 R2 T a a 如图 T把向量a绕原点逆时针 旋转q角度变换为a 称T为旋转变换 例2 设T为R3上的线性变换 T R3 R3 例3 设T为上的线性变换 其中矩阵A是n阶方阵 设T是V上的线性变换 则 2线性变换的性质 3线性变换的象空间和零空间设线性变换T V V 象空间Im T V T 零空间Ker T V T 0 定义 T的秩 dimR T T的零度 dimN T 例 P018 Rn中的变换T 设A Rn n是一个给定的矩阵 X Rn T X AX 1 T是线性变换 2 Ker T 是AX 0的解空间 3 Im T Span a1 a2 an 其中ai是矩阵A的列向量 4 dimKer T dimIm T n 线性变换的矩阵 定义设T为V上的线性变换 a1 a2 an为V的基 A称为T在基a1 a2 an下的矩阵 67 A 例已知定义映射T 1 证明T是V上的线性变换 2 求V的一组基 并求T在这组基下的矩阵 Step1 确定基中向量的象T i Step2 确定它在基下 i 的坐标Ai Step3 确定矩阵A a1 a2 an Keypoint 例1 设T为上的线性变换 求T在基 下的矩阵 解 例2 设T为R3上的变换 下的矩阵 2 求T在基 1 证明 T为R3上的线性变换 3 求T的象和核 1 7不变子空间 定义 设V是线性空间 W是V的子空间 T是V上的线性变换 若 a W 都有T a W 则称W是V的T不变空间 例设T是线性空间V上的线性变换 则ImT KerT 是T不变空间 不同基下的变换矩阵两组基 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n CT 1 2 n 1 2 n AT 1 2 n 1 2 n B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的 B C 1AC 1 2 3 例 P025 例1 4 6 例设单位向量u 2 3 2 3 1 3 定R3上的线性变换P x x x u u 求P在自然基 e1 e2 e3 下的变换矩阵 求P在标准正交基 u u2 u3 下的变换矩阵 2 1内积与欧氏空间InnerProduct EuclidianSpaces 内积的作用 研究高维空间中的几何问题 1Example R3上的内积定义2内积的公理化定义Definition 要点 内积 是二元运算 V V R 的公理性质 是任何满足定义的运算 讨论 1 2 k 实内积空间 欧氏空间 定义 设V是一个实线性空间 R为实数域 77 若 a b V 存在唯一的r R与之对应 记作 a b r 并且满足 1 a b b a 2 a b g a g b g 3 ka b k a b 4 a a 0 a a 0 a 0 则称 a b 为a与b的内积 V为实内积空间 实内积空间也称欧几里得 Euclid 空间 对称性 非负性 78 定义内积 例 线性空间 称为内积空间的标准内积 Remark 对于同一个线性空间 可以定义不同的内积成为不同的欧氏空间Rm n 80 定义内积 A为n阶实正定矩阵 例 线性空间 81 定义内积 例 线性空间C a b f g C a b 82 由定义知 5 a b g a b a g 6 a kb k a b 欧氏空间内积的性质 和复内积空间不一致 向量长度 Cauchy Schwarz不等式 定义 设V为实内积空间 称为向量a的长度 记作 a 定理 设V是实内积空间 a b V k R 则 等号成立当且仅当a b线性相关 Cauchy Schwarz不等式 三角不等式 正定性 齐次性 84 例 利用Cauchy Schwaz不等式证明 向量的夹角 由Cauchy Schwaz不等式可知 向量的正交 定义 设V是实内积空间 a b V 若 a b 0 则称a与b正交 记作a b a与b正交 这就是实内积空间中的勾股定理 2 2标准正交基OrthogonalBasis 1正交的向量组 定义 1 2 n 为正交组 i j 0性质 不含零向量的正交向量组线性无关 2标准正交基基 1 2 n 是标准正交基 i j 要点 是基 两两正交 每一个向量是单位向量 标准正交基的优点 度量矩阵是单位矩阵 即A I 1 2 n X 1 2 n Y YHX x1 1 x2 2 xn n xi i 和 正交 其坐标X和Y正交 坐标空间Fn的内积 标准正交基的存在性 求标准正交基的步骤 Step1 Schmidt正交化Step2 标准化 Gram Schmidt正交化过程 Gram Schmidt正交化过程 Gram Schmidt正交化过程 例已知 1