2013学年高二第二学期期末考试数学(理)试卷.doc

莆田四中2012-2013学年下学期期末高二年段数学理科试卷2013.7.16一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则等于（ ）A B C或 D或2函数的定义域是（ ） A B C D 3下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ( )A B C D4从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参赛方案共有( ) A24种 B28种 C48种 D72种5已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是（ ）Aa1 Ba26有下列命题是真命题的是（ ）A命题“xR，使得x2+13x”的否定是“ xR，都有x2+13x”；B设p、q为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq为真命题”；C“复数是纯虚数”是“”的充分不必要条件；D已知随机变量x，则0.34；7在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a、b、c为待定系数)是( )Ayabx Byabx Cyax2b D8.设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为 ( )A B C D9. 若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围是( ) 10已知集合, 。若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是( ) A 0 B1 C2 D 无数个二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。11. 如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等 于 . 12已知集合Ax|1x0，在集合A中任取一个元素x ，则事件“xAB”的概率是_13已知奇函数满足时，则的值为 . 14已知函数f(x)的值域为0,4(x2，2)，函数g(x)ax,，x2,2，任意x12,2，总存在x02,2，使得g(x0)f(x1)成立，则实数a的取值范围是_ 15给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题： 函数=的定义域为，值域为；函数=在上是增函数；函数=是周期函数，最小正周期为；函数=的图象关于直线（）对称.其中正确命题的序号是_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13分）已知函数（1）当时，求在区间上的最值；（2）当，讨论在上的单调性.17.（本小题满分13分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；（2） 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E 18. (本小题满分13分)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线：yx与抛物线C交于M，N两点，若P(1,1)为MN的中点，（1）求抛物线C的方程；（2）某同学研究发现命题：“直线与抛物线C相交于A、B两点，若3，则直线过点(3,0)”是假命题.请你写出此命题的逆命题，判断逆命题的真假，若是假命题，请说明理由；若是真命题,请给予证明.19. (本小题满分13分)如右图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.（1）求证：BE平面ACD；（2）当三棱锥DBCE的体积最大时，求二面角CDEA的平面角的余弦值.20.已知函数，（1）若的图像过点和， 且对，恒有，试确定函数 的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数和的图像关于原点对称，且函数 在上是增函数，求实数的取值范围；（3）定义区间的“长度” .若,且函数的定义域和值域的“长度”相等，试求“长度” 的最小值.21.本题有(1) (2) (3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题计分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知线性变换：对应的矩阵为，向量（ ）求矩阵的逆矩阵；（ ）若向量在作用下变为向量，求向量（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆上的点到直线的距离的最小值. (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲已知函数（）求x的取值范围，使为常数函数；（）若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。莆田四中2012-2013学年下学期高二期末数学理科答案一、DBDCC CBDDA二、 三、16. 解：(1)法一：当时，在是单调递减的，,即，的值域为法二：当时，在是单调递减的，,即，的值域为法三：定义法（略）(2) 法一（定义法）：当时，设，则，在是单调递减的，在是单调递增的， 法二（求导法）：当时， 时，在是单调递减的，当时，时，在是单调递增的，17.解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数n=31事件A包含的基本事件是1,4,5、2，3，5、1，2，3，4事件A包含的基本事件数m=3所以（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5又， ， ， 故的分布列为： 12 3 4 5 P 从而E+2+3+4+518解：（1）设C: y22px,P(1,1)为MN的中点，点(2,2)在C上，代入得p=1C:抛物线y22x(2)逆命题：“在直线与抛物线C相交于A、B两点，若直线过点(3,0)，则3”是真命题. 证明：法一：设l：xty3，代入抛物线y22x，消去x得y22ty60.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y22t，y1y26，x1x2y1y2(ty13)(ty23)y1y2t2y1y23t(y1y2)9y1y26t23t2t963.3，故为真命题法二：讨论斜率，设成点斜式证明。19.解：（1）证明：是圆柱的母线，是点关于点对称的点，垂直圆柱的底面，即平面， （1分）平面， （2分）是圆柱上底面的直径， （3分）平面，平面，且 （4分）BE平面 （5分）（2）解：是圆O的直径，是直角，设,在直角三角形中，（6分）， （8分）当且仅当，即时“”成立， （9分）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥的高，三角形的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时，即三角形是等腰直角三角形 ，平面 连结CO，AO，从而有，是二面角的平面角 在三角形中，又，同理可得， ，即二面角的平面角的余弦值为. （13分）法二：如果只直观判断出来，后用向量亦可，但要着情给分。20解：（1）由已知得， 3分 （2）设函数图像上的任意一点关于原点的对称点为，则，因在图像上，所以，亦即5分所以在上单调递增，得对任意恒成立，所以对任意恒成立7分由于，有，所以为所求 8分（3）设方程的两根为，又，所以函数的定义域为，则，易知的值域为10分所以12分故，所以区间长度的最小值为14分21.（1）解：（）依题意，所以，所以 -3分（）由，得 -7分即x+4 =0,这就是直线l的方程 (7分)（2