函数不定式极限的洛必达法则.doc

函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：需要知道的极限四则运算法则：设则（1）（2）（3）（4）注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，这些类型的极限也都成立。另外，它对数列极限也实用。需要知道的定理:1.若函数在点连续，2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。用极限来表述就是如下：注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，这些类型的极限也都成立。比方说： 3.若函数函数当时的极限存在，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。比方说：，那么目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。一、 洛必达法则1“” 型不定式当，时极限称为“” 型不定式定理1.若(1)，；(2)与在点的附近（点可除外）可导，且；(3) 存在(或无穷大)则=注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，这些类型的极限也都成立。例1. 求解：由洛必达法则知原式=例2. 求 解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 =例5. 求解：原式=例6. 求解:原式=12“”型不定式当，时极限称为 “” 型不定式定理2 若(1)，；(2)与在点的附近可导，且；(3)存在（若无穷大），则注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，这些类型的极限也都成立。例7求解：原式例8求解：原式例9求（为正整数）解：原式03其它型不定式除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。例10求分析：这是一个型的不定式极限，利用恒等变形，就可将它转化为型的不定式极限，然后根据洛比达法则求之即可。解：原式例11求解： 这是未定型，作恒等变形，通过“通分”将转化为未定型原式=例12.求解：这是型不定式极限，作恒等变形，其指数部分的极限是不定式极限，可先求得，从而，再根据的连续性知，例13.求解：这是型不定式极限，恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得，然后，再根据的连续性知，.例13.求解：这是型不定式极限，恒等变形，其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得， 这里然后，再根据的连续性知，二、练习： 1.求 2.求 3.求 4.求 .5.求 6.求.7.求 (n为正整数, ) 8.求 9.求 10.求 .1.求 2. 求3.求 4.求三、小结； (1)使用法则前，必须检验是否属于或 未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；(3)当不存在(不包括的情况)时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限练习解答型例1（E01）求 解 原式例2（E02）求 解 原式例3（E03）求解 例4（E04）求 .解 注: 若求为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得.型 例5（E05）求解 例6（E06）求.解 原式例7（E07）求 (n为正整数, )解 反复应用洛必达法则次，得原式注：对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数幂函数指数函数.注: 对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大, 但它们增大的速度很不一样, 幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例8 求 解 注意到则有注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9