材料力学(I)第八章.ppt

1 第8章组合变形及连接部分的计算 2 3 8 1概述 构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形 且几种变形所对应的应力 和变形 属于同一数量级 则构件的变形称为组合变形 combineddeformation 组合变形 烟囱 图a 有侧向荷载 风荷 地震力 时发生弯压组合变形 4 齿轮传动轴 图b 发生弯曲与扭转组合变形 两个相互垂直平面内的弯曲加扭转 吊车立柱 图c 受偏心压缩 发生弯压组合变形 5 两个平面内的弯曲 图d 由于计算构件横截面上应力及横截面位移时 需要把两个平面弯曲的效应加以组合 故归于组合变形 6 对于组合变形下的构件 在线性弹性范围内且小变形的条件下 可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力 应力或位移进行叠加 在具体计算中 究竟先按内力叠加 按矢量法则叠加 再计算应力和位移 还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加 须视情况而定 7 连接件的实用计算 螺栓连接中 螺栓主要受剪切及挤压 局部压缩 连接件 螺栓 铆钉 键等 以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂 8 键连接中 键主要受剪切及挤压 9 工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况 作一些简化的计算假设 例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布 得出名义应力 nominalstress 然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较 从而进行强度计算 这就是所谓工程实用计算法 engineeringmethodofpracticalanalysis 10 具有双对称截面的梁 它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲 8 2双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时 在线性弹性且小变形情况下 可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移 然后叠加 11 图示悬臂梁x截面上的弯矩和任意点C处的正应力为 由于水平外力F1由于竖直外力F2 弯曲正应力 弯矩My x F1xMz x F2 x a 12 这里弯矩的正负号系根据图b所示 由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的 在F1和F2共同作用下x截面上C点处的正应力为 13 利用上式固然可求算x截面上任意点处的弯曲正应力 但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁 由于My单独作用下最大正应力的作用点和Mz单独作用下最大正应力的作用点不相重合 所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值 14 注意到在F1作用下x截面绕中性轴y转动 在F2作用下x截面绕中性轴z转动 可见在F1和F2共同作用下 x截面必定绕通过y轴与z轴交点的另一个轴转动 这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴 其上坐标为y z的任意点处弯曲正应力为零 15 故有中性轴的方程 中性轴与y轴的夹角q 图a 为 其中j角为合成弯矩与y的夹角 16 这就表明 只要Iy Iz 中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合 亦即合成弯矩M所在的纵向面不与中性轴垂直 或者说 梁的弯曲方向不与合成弯矩M所在的纵向面重合 正因为这样 通常把这类弯曲称为斜弯曲 obliquebending 17 确定中性轴的方向后 作平行于中性轴的两直线 分别与横截面的周边相切 这两个切点 图a中的点D1 D2 就是该截面上拉应力和压应力为最大的点 从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力 然后叠加 18 对于如图b所示横截面具有外棱角的梁 求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时 可直接按两个平面弯曲判定这些应力所在点的位置 而无需定出中性轴的方向角q 工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下 通常不考虑剪力引起的切应力 19 对于图示悬臂梁 试问 4 该梁自由端的挠度 大小和方向 如何计算 2 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向 3 在固定端和F2作用截面之间 梁的中性轴的方向是否随横截面位置变化 1 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向 思考 20 图a所示悬臂梁 由20a号工字钢制成 梁上的均布荷载集度为q N m 集中荷载为 试求梁的许用荷载集度 q 已知 a 1m 20a号工字钢 Wz 237 10 6m3 Wy 31 5 10 6m3 钢的许用弯曲正应力 s 160MPa 例题8 1 21 1 将集中荷载F沿梁横截面的两个对称轴y z分解为 例题8 1 解 22 2 梁的计算简图如图b所示 并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩My图和Mz图 图c d 例题8 1 23 3 分析梁的危险截面 并求smaxA截面上My最大 MyA 0 642qa2 该截面上Mz虽不是最大 但因工字钢Wy Wz 故A截面是可能的危险截面 MzA 0 226qa2 D截面上Mz最大 故D截面也是可能的危险面 为确定危险截面 需比较A截面和D截面上的最大弯曲正应力 例题8 1 24 由于 可见A截面为危险截面 由图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为sc max和st max 例题8 1 25 根据强度条件 有 21 5 10 3 q 160 106Pa 4 求许可荷载集度 q 于是 q 7 44 103N m 7 44kN m 解得 例题8 1 26 8 2 平面弯曲的条件 8 2中讨论的是具有双对称截面的梁在两个相互垂直的纵向对称面内同时发生弯曲的情况 其实质就是两个相互垂直的纵向面内平面弯曲的组合 27 现在的问题是 如果梁的横截面只有一个对称轴 图a 而荷载作用在与对称轴垂直的方向 或者横截面根本就没有对称轴 图b 那么还会发生平面弯曲吗 荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯曲呢 这就要分析梁发生平面弯曲的条件 28 横截面如图a所示无对称轴的梁 如果横截面绕形心轴z转动发生平面弯曲 则根据平面假设 横截面上的正应力在与z轴垂直的y轴方向按线性规律变化 图b 即 而这些正应力不应构成对y轴的力矩 故应有 亦即应有 29 由此可知 如果梁发生平面弯曲而z轴为中性轴 则必须满足 反之如果荷载产生的弯矩作用在包含z轴的纵向面内 亦发生平面弯曲 换句话说 如果梁上的荷载所产生的弯矩作用在包含满足的y轴的那个纵向面内 则与之垂直的形心轴z就是中性轴 梁发生平面弯曲 30 称为横截面对于一对相互垂直轴y z的惯性积 productofinertia 用Iyz表示 而满足Iyz 0且通过横截面形心的一对正交轴 y轴和z轴 称为形心主惯性轴 principalcentroidalaxisofinertia 横截面对于形心主惯性轴的惯性矩则称为形心主惯性矩 principalcentroidalmomentofinertia 31 显然当梁的横截面具有一个对称轴时 这个对称轴和它垂直的形心轴都是形心主惯性轴 外力产生的弯矩作用在包含其中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲 下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩的相关问题 32 4惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩 在下面的分析中为使结果具有普遍性 坐标轴的原点O并不要求必须是形心C 此外 坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴 33 I 惯性矩和惯性积的转轴公式 图示任意形状的截面 其面积A以及对于坐标轴x y的惯性矩Ix Iy和惯性积Ixy为已知 现在来求截面对于绕原点O旋转a角 以逆时针为正 后的坐标轴x1 y1的惯性矩 和惯性积 34 由图可见 截面上任一微面积dA在x y和x1 y1两个坐标系中坐标的关系为 于是有 35 式 a b c 就是惯性矩和惯性积的转轴公式 利用三角函数 由上式得 a 同理 根据 c 36 1 截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值 截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值 思考 2 将惯性矩的转轴公式 a 和 b 相加可得到什么结论 这又意味着什么 试利用从基本概念上论证 2 中的问题 37 II 截面的主惯性轴和主惯性矩 有 截面对于通过任意点O的主惯性轴x0 y0的方向角a0 只需利用惯性积的转轴公式令便可导出 由 38 根据上式利用三角函数关系将cos2a0和sin2a0写为 以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式 39 b 与 7 2中关于平面应力状态下求a斜截面上正应力和切应力的公式完全相似 7 1 7 2 注意到惯性矩的转轴公式 a 和惯性积的转轴公式 b a 40 而惯性矩转轴公式 b 所示的表达式实际上只需在的表达式 a 中以 a 90 代替a即得 这与求sa 90 也完全相似 因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆 惯性圆来表达 上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也就可根据惯性圆上的几何关系来记忆 由惯性圆显然可见 主惯性矩和就是截面对于通过同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin 41 在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时 须先确定截面的形心C的位置 并取一对通过形心而相互垂直的轴xC yC作为参考轴 计算出 然后求主惯性轴的方向角a0和主惯性矩和 42 1 试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴 思考 对于正方形截面 2 试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形心轴的惯性矩的值是否都是相等的 43 对于由若干基本几何图形组成的截面 例如图中所示者 在求 和时需要应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式 前已在第四章中讲述了惯性矩的平行移轴公式及其应用 下面讲述惯性积的平行移轴公式 44 III 惯性积的平行移轴公式 参见教材附录 I 3 图示任意形状的截面对于坐标轴x y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x y轴的形心轴xC yC的惯性积IxCyC 以及截面形心C在x y坐标系中的坐标求出如下 45 这就是惯性积的平行移轴公式 应该注意的是 1 公式中的必须是截面对于一对形心轴的惯性积 2 公式中的a b是指截面形心在平行移动后的坐标系x y中的坐标 它是有正负的 46 试确定图示不等边角形截面的形心主惯性轴的位置 并计算截面的形心主惯性矩 截面形心C的位置已示于图中 例题I 7 47 矩形 的形心在参考坐标系中的坐标为a 15mm bI 20mm矩形 的形心在参考坐标系中的坐标为a 25mm b 35mm 1 取与截面周边平行的形心轴xC yC作为参考轴 将截面分为 两个矩形 如图所示 其面积分别为A 1200mm2 A 700mm2 例题I 7 解 48 2 利用平行移轴公式求截面的 和 例题I 7 49 例题I 7 50 由于通过矩形 和 各自形心而平行于xC yC的轴是它们各自的对称轴 故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零 例题I 7 51 3 确定形心主轴位置 因为上式右端的分子和分母均为负号 所以2a0为第三象限角 即 形心主轴x0和y0的位置如图b所示 例题I 7 52 形心主轴x0和y0的位置如图b所示 例题I 7 53 4 该截面的形心主惯性矩为 例题I 7 54 8 3拉伸 压缩 与弯曲的组合变形 横向力与轴向力共同作用 图a为由两根槽钢组成的杆件 受横向力F和轴向力Ft作用时的计算简图 该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形 55 轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩 但它与横向力产生的弯矩总是相反的 故在工程计算中对于弯一拉组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力 56 至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件 轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向 故只有杆的弯曲刚度相当大 大刚度杆 且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理 57 图a所示发生弯一拉组合变形的杆件 跨中截面为危险截面 其上的内力为FN Ft 该横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力st为均匀分布 图b 而与最大弯矩Mmax对应的弯曲正应力在上 下边缘处 图c 其绝对值 58 在FN和Mmax共同作用下 危险截面上正应力沿高度的变化随sb和st的值的相对大小可能有图d e f三种情况 危险截面上的最大正应力是拉应力 注意到危险截面最大拉应力作用点 危险点 处为单向应力状态 故可把st max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度条件 59 图a所示折杆ACB由两根钢管焊接而成 A和B处为铰支座 C处作用有集中荷载F 10kN 试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力 已知钢管的外直径D 140mm 壁厚d 10mm 例题8 2 60 1 约束力为FA FB 5kN 折杆的受力图如图b所示 根据对称性 只需分析折杆的一半 例如AC杆 将FA分解为沿AC杆轴线和垂直于AC轴线方向上的两个分力FAx和FAy 例题8 2 解 61 由图a所示的几何关系 可见sina 3 5 cosa 4 5 FAx FAsina 3kN和FAy FAcosa 4kN AC杆的长度为2m m m截面上的内力分别为 FN FAx 3kN Mmax FAy 2m 8kN m 可见此杆产生弯 压组合变形 例题8 2 62 2 AC杆危险截面m m上的最大拉应力st max和最大压应力sc max分别发生在该截面的下边缘f点处和上边缘g点处 图b 其计算公式分别为 例题8 2 63 3 钢管横截面的几何性质分别为 例题8 2 64 4 将FN和Mmax以及A和W的值代入式 a 得 例题8 2 65 II 偏心拉伸 压缩 偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况 图a所示等直杆受偏心距为e的偏心拉力F作用 杆的横截面的形心主惯性轴为y轴和z轴 66 1 偏心拉 压 杆横截面上的内力和应力 将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe 再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量Mey和Mez 图b及图c Mey Fesina F zF Mez Fecosa F yF 67 由于Mey和Mez作用在包含形心主惯性轴的纵向面内 故引起的都是平面弯曲 可见偏心拉伸 压缩 实为轴向拉伸 压缩 与平面弯曲的组合 且当杆的弯曲刚度相当大时可认为各横截面上的内力相同 68 图c所示任意横截面n n上的内力为 FN F My Mey F zF Mz Mez F yF 横截面上任意点C y z 处的正应力为 b 69 在工程计算中 为了便于分析一些问题 常把惯性矩Iy和Iz写作如下形式 上列式中的iy和iz分别称为截面对于y轴和z轴的惯性半径 radiusofgyration 其单位为m或mm 它们也是只与截面形状和尺寸有关的几何量 截面的几何性质 于是式 b 亦可写作 c 上式是一个平面方程 它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化 70 现在来确定横截面绕着转动的中性轴的位置 设中性轴上任意点的坐标为y0 z0 以此代入式 c 并令s 0可得中性轴的方程 2 偏心拉 压 杆横截面上中性轴的位置 可见 偏心拉伸时中性轴为一条不通过横截面形心的直线 图a 71 而中性轴在形心主惯性轴y z上的截距 图b 为 或 由此还可知 中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相对两侧 72 中性轴与z轴的夹角b的正切为 式中的角a为偏心拉力作用点与截面形心的连线 亦即力偶矩Fe作用的纵向面 和y轴之间的夹角 73 由此式可知 1 若偏心拉力作用在形心主惯性轴y上 即tana 0 或者作用在形心主惯性轴z上 则恒有tanb tana 即中性轴垂直于力偶矩Fe所在的纵向面 2 当偏心拉力不作用在任何一根形心主惯性轴而tana 0 tana 90 时 只要横截面的形心主惯性矩Iz Iy 则中性轴就不与力偶矩Fe所在的纵向面垂直 74 3 横截面上危险点的位置 对于没有外棱角的截面 为找出横截面上危险点的位置 可在确定中性轴位置后作平行于中性轴的直线使与横截面周边相切 图b 切点D1和D2分别就是最大拉应力和最大压应力的作用点 根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的值 横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时 危险点必定在横截面的外棱角处 b 75 它们叠加后的应力则如图d 图中还示出了中性轴的位置 例如 矩形截面杆受偏心拉力F作用时 其横截面上分别对应于轴力F 弯矩My F zF和Mz F yF的正应力变化规律如图a b c所示 76 由此式还可以看出 如果偏心距e 亦即yF zF 较小 则横截面上就可能不出现压应力 亦即中性轴不与横截面相交 最大拉应力st max和最大压应力sc max作用在外棱角D1和D2处 其值为 77 试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压应力 外力F与杆件的轴线平行 a 例题8 3 78 轴向外力F未通过横截面形心 故杆件为偏心拉伸 1 确定横截面形心的位置 横截面的形心C必位于对称轴z上 只需计算形心C距参考轴y1的距离z 图a 例题8 3 a 解 79 形心主惯性矩Iy为 由于z轴为对称轴 且y z轴的交点过形心 故图c中y轴和z轴的为形心主惯性轴 2 确定形心主惯性轴 并求形心主惯性矩 例题8 3 80 形心主惯性矩Iz为 例题8 3 81 3 计算横截面上的内力 FN F My F 2a Mz F 2a 将F力向形心C简化 可得杆的内力分别为 例题8 3 82 4 确定最大拉应力和最大压应力作用点位置并计算应力值 由My和Mz产生的弯曲应力及沿z和y轴的分布规律如图d所示 为沿横截面均匀分布的拉应力 所以st max的作用点为D1点 sc max的作用点为D2点 例题8 3 83 例题8 3 84 III 截面核心 土建工程中的混凝土或砖 石偏心受压柱 往往不允许横截面上出现拉应力 这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内 这个范围称之为截面核心 coreofsection 要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力 那么中性轴就不能与横截面相交 一般情况下充其量只能与横截面的周边相切 而在截面的凹入部分则是与周边外接 截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的 85 图中所示任意形状的截面 y轴和z轴为其形心主惯性轴 为确定截面核心的边界 图中的封闭曲线1 2 3 4 5 1 可作一系列与截面周边相切和外接的直线把它们视为中性轴 86 得出每一与圆边相切或外接的直线 中性轴 所对应的偏心压力作用点的位置 亦即截面核心边界上相应点的坐标ryi rzi 根据这些直线中每一直线在y轴和z轴上的截距ayi和azi即可由前面已讲过的中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式 87 连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心 应该注意的是 截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线 中性轴 总是位于截面形心的相对两侧 88 1 圆截面的截面核心 圆截面对圆心 形心 O是极对称的 因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆 作一条如图所示与截面周边相切的直线 它在形心主惯性轴y和z上的截距为 而对于圆截面有 从而 89 这就是截面核心边界上点1的坐标 以O为圆心 以d 8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心 90 一个外直径为D 内直径为D 2的空心圆截面 试检验该截面的 1 对于形心主惯性轴的惯性半径为 2 该截面核心为半径等于的圆 思考 91 2 矩形截面的截面核心 图中y轴和z轴为矩形截面的形心主惯性轴 对于这两根轴的惯性半径iy和iz的平方为 作与周边相切的直线 将它们视为中性轴 根据它们在形心主惯性轴y z上的截距便可求得截面核心边界上的相应点1 2 3 4 92 现以计算与周边上切线 相应的核心边界点1的坐标ry1 rz1例作具体计算 截距 核心边界点坐标 对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得 并也已标注以图中 93 现在的问题是 确定截面核心边界上的四个点1 2 3 4后 相邻各点之间应如何连接 实际上这就是说 当与截面相切的直线 中性轴 绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时 偏心压力的作用点按什么轨迹移动 现以切线 绕B点旋转至切线 时的情况来说明 94 前面已讲过 杆件偏心受力时横截面上中性轴的方程为 当中性轴绕一点B转动时 位于中性轴上的B点的坐标yB zB不变 亦即上式中的y0 z0在此情况下为定值yB zB 而偏心压力的作用点yF zF在移动 将上式改写为 显然 这是关于yF zF的直线方程 95 这表明 当截面周边的切线 中性轴 绕周边上的点转动时 相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动 于是在确定截面核心边界上的点1 2 3 4后 顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心 该菱形的对角线长度分别为h 3和b 3 如图所示 96 试确定图示T形截面的截面核心边界 图中y z轴为形心主轴 已知 截面积A 0 6m2 惯性矩Iy 48 10 3m4 Iz 27 5 10 3m4 惯性半径的平方 例题8 4 97 因为当偏心压力作用在截面核心的边界上时 中性轴与截面周边相切 亦即中性轴不能穿过截面 对于图示T形截面 不能用与DE EF GH HA边相切的直线作为中性轴 因为它们穿过截面 所以DEFGHA部分只能用作为中性轴 确定截面核心边界 是已知中性轴的位置 即已知截矩ay az求与中性轴对应的偏心压力的作用点坐标ry rz ry iz2 ay rz iy2 az 例题8 4 解 98 1 计算截面核心边界各点的坐标 图中的6条直线 便是用以确定该T形截面核心边界点1 2 6的中性轴 其中 分别与周边AB BC CD FG相切 和 分别为根据它们各自在形心主惯性轴上的截距计算所对应的偏心压力作用点的位置ry rz列表如下 例题8 4 99 例题8 4 100 中性轴绕一点旋转时 相应的外力作用点的移动的轨迹为一直线的关系 将六个点的相邻两点用直线连接 即得截面核心的边界 2 确定截面核心边界 例题8 4 101 8 4扭转和弯曲的组合变形 机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形 而且它们多半是实心或空心圆截面杆 图中所示传动轴便是一种典型的情况 土建工程中发生扭 弯组合变形的杆件往往是非圆截面的 102 本节讲述圆截面杆发生扭 弯组合变形时的强度计算 图a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下 其AB杆的受力图如图b所示 该杆为直径为d的圆截面杆 103 图c d示出了AB杆的弯矩图 M图 和扭矩图 T图 由于扭 弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响 故未示出剪力图 FS图 该AB杆的危险截面为固定端处的A截面 104 危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化如图e 扭转切应力沿直径C3C4和C1C2的变化如图f 由此可知危险截面上的危险点为C1和C2 由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料 C1和C2两点的危险程度相同 故只需对其中的一个点作强度计算即可 105 围绕点C1以杆的横截面 径向纵截面和切向纵截面取出单元体 其各面上的应力如图g所示 而 106 点C1处于平面应力状态 其三个主应力为 按第三强度理论作强度计算 相当应力为 a 按第四强度理论作强度计算 相当应力为 b 强度条件为或 107 究竟按哪个强度理论计算相当应力 在不同设计规范中并不一致 注意到发生扭 弯变形的圆截面杆 其危险截面上危险点处 为便于工程应用 将上式代入式 a b 可得 式中 M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩 W为圆截面的弯曲截面系数 108 需要注意的是 以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算 只能用于传动轴的初步设计 此时 s 的值取得也比较低 事实上 传动轴由于转动 危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的 这种应力称为交变应力 alternatingstress 工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则 109 图a所示钢制实心圆轴其上的两个齿轮上作用有切向力和径向力 齿轮C的节圆 齿轮上传递切向力的点构成的圆 直径dC 400mm 齿轮D的节圆直径dD 200mm 已知许用应力 s 100MPa 试按第四强度理论求轴的直径 例题8 5 110 将作用在齿轮上的切向力向轴的形心简化 传动轴的受力图如图b所示 在水平荷载作用下 轴将在xy平面内弯曲 弯矩Mz图如图c所示 在竖直荷载作用下 轴将在xz平面内弯曲 弯矩My图如图d所示 弯矩图均画在受拉侧 不注明正负 在两个力偶矩作用下 轴产生扭转 扭矩T图如图e所示 1 轴的受力图和内力图 例题8 5 解 111 2 确定危险截面及危险截面上的内力由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴 且形心主惯性矩相同 故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加 即 B截面上的总弯矩MB 图g 为 例题8 5 112 并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与C截面上相同 TB 1000N m 于是判定横截面B为危险截面 C截面的总弯矩为 例题8 5 113 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为 即 亦即 于是得 3 求轴的直径 例题8 5 114 8 5连接件的实用计算法 图a所示螺栓连接主要有三种可能的破坏 螺栓被剪断 参见图b和图c 螺栓和钢板因在接触面上受压而发生挤压破坏 螺栓被压扁 钢板在螺栓孔处被压皱 图d 钢板在螺栓孔削弱的截面处全面发生塑性变形 实用计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的 115 1 剪切的实用计算 在实用计算中 认为连接件的剪切面 图b c 上各点处切应力相等 即剪切面上的名义切应力为 式中 FS为剪切面上的剪力 As为剪切面的面积 其中的许用应力则是通过同一材料的试件在类似变形情况下的试验 称为直接试验 测得的破坏剪力也按名义切应力算得极限切应力除以安全因数确定 强度条件 116 2 挤压的实用计算 在实用计算中 连接件与被连接件之间的挤压应力 bearingstress 是按某些假定进行计算的 对于螺栓连接和铆钉连接 挤压面是半个圆柱形面 图b 挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示 而最大挤压应力sbs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面 接触面 在直径面上的投影 117 故取名义挤压应力为 式中 d为挤压面高度 d为螺栓或铆钉的直径 118 挤压强度条件为 其中的许用挤压应力 sbs 也是通过直接试验 由挤压破坏时的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安全因数确定的 应该注意 挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作用 因而当两者的材料不同时 应校核许用挤压应力较低的连接件或被连接件 工程上为便于维修 常采用挤压强度较低的材料制作连接件 119 3 拉伸的实用计算 螺栓连接和铆钉连接中 被连接件由于钉孔的削弱 其拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据 在实用计算中并且不考虑钉孔引起的应力集中 被连接件的拉伸强度条件为 式中 FN为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力 A为同一横截面的净面积 图示情况下A b d d 120 当连接中有多个铆钉或螺栓时 最大拉应力smax可能出现在轴力最大即FN FN max所在的横截面上 也可能出现在净面积最小的横截面上 121 8 6铆钉和螺栓连接的计算 螺栓连接示例 122 铆钉连接主要有三种方式 1 搭接 图a 铆钉受单剪 2 单盖板对接 图b 铆钉受单剪 3 双盖板对接 图c 铆钉受双剪 123 实际工程结构的铆钉连接都用一组铆钉来传力 在此情况下 由于铆钉和被连接件的弹性变形 所以铆钉组中位于两端的铆钉所传递的力要比中间的铆钉所传递的力大 但为了简化计算 并考虑到铆钉和被连接件都将发生塑性变形 在实用计算中如果作用于连接上的力其作用线通过铆钉组中所有铆钉横截面的形心 而且各铆钉的材料和直径均相同 则认为每个铆钉传递相等的力 124 搭接和单盖板对接的铆钉连接中 铆钉会发生弯曲 被连接件会发生局部弯曲 在实用计算中对此不加考虑 销钉连接和螺栓连接的分析计算方法与铆钉连接相同 至于在螺栓连接中使用高强度螺栓 将螺帽拧得很紧以利用螺栓的预紧力藉钢板之间的摩擦力来传递连接所受外力 则不属于这里讨论的范围 125 作用于连接上的力其作用线通过铆钉组形心 此情况下每一铆钉所传递的力可认为相等 Fi F n 据此进行铆钉剪切强度和挤压强度的计算 对被连接件进行挤压强度计算 并按危险截面进行拉伸强度计算 126 某钢桁架的一个节点如图a所示 斜杆A由两根63mm 6mm的等边角钢组成 受轴向力F 140kN作用 该斜杆用直径为d 16mm螺栓连接在厚度为10mm的结点板上 螺栓按单行排列 已知角钢 结点板和螺栓材料均为Q235钢 许用应力为 s 170MPa t 130MPa sbs 300MPa 试选择所需的螺栓个数 并校核角钢的拉伸强度 例题8 7 127 1 按剪切强度条件选择螺栓个数 由于此连接中各螺栓的材料和直径相同 且斜杆上的轴向力其作用线通过该组螺栓的截面形心 故认为每个螺栓所受的力相等 设螺栓个数为n 则每个螺栓所受的力为F n 例题8 7 解 128 螺栓的剪切强度条件为 此连接中的螺栓受双剪 图b 每个剪切面上的剪力为 例题8 7 129 2 校核挤压强度 由于结点板的厚度 10mm 小于两根角钢肢厚度之和 2 6mm 所以应校核螺栓与结点板之间的挤压强度 每个螺栓所传递的力为F n 亦即每个螺栓与结点板之间的挤压压力为 例题8 7 130 而挤压应力为 其值小于许用挤压应力 sbs 300MPa 满足挤压强度条件 例题8 7 131 斜杆上三个螺栓按单行排列 图b 图c示出了该斜杆 含两角钢 的受力图和轴力FN图 3 校核角钢的拉伸强度 该斜杆在图c中所示的m m截面上轴力最大 而净截面面积又最小 故为危险截面 例题8 7 132 该截面上 FN max F 140kN 从而得危险截面上的拉伸应力 其值小于许用拉应力 s 170MPa 满足拉伸强度条件 例题8 7 133 在计算m m截面上的拉应力时应用了轴向拉伸的正应力公式 实际上 由于角钢上的螺栓孔 使横截面发生应力集中现象 但考虑到杆的材料为Q235钢 具有良好的塑性 当杆接近破坏时 危险截面m m上各部分材料均将达到屈服 各点处的正应力趋于相等 故假设该截面上各点处的正应力相等是可以的 例题8 7 134 由两根钢轨铆接成的组合梁 其连接情况如图a b所示 在所研究的梁段内 剪力FS 50kN为常值 试校核铆钉的剪切强度 已知 a 每根钢轨横截面的几何性质为 面积A1 8000mm2 形心距轨底的高度c 80mm 对于自身形心轴z1的惯性矩Iz1 1600 104mm4 b 铆钉的直径d 20mm 纵向间距s 150mm 许用切应力 t 95MPa 不考虑上 下两钢轨间的摩擦 例题8 8 135 图d示出了长度为铆钉的纵向间距s的一段梁 其上面钢轨的两侧横截面上的弯曲正应力和它们组成的合力FT和FT1 1 铆钉所受剪力的分析 例题8 8 解 136 这两个合力之差FT1 FT就是两个铆钉所共同承受的剪力 它等于每个铆钉承受的剪力的两倍 例题8 8 137 以A1表示一根钢轨的横截面面积 长度为斜的一段梁的左 右两个横截面上的弯矩分别为M和M F