课题：简单的线性规划(教师版）.doc

课题：简单的线性规划【学习目标】 1. 了解线性规划的意义、了解可行域的意义； 2. 掌握简单的二元线性规划问题的解法【课前导学】1.点P满足不等式组，请画出点P所在的平面区域2直线与直线的位置关系是 【课堂活动】一、 建构数学1问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？2. 基本概念 对于在约束条件下，若，式中变量、满足上面不等式组，则不等式组叫做变量、的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数满足线性约束条件的平面区域叫做可行域，（满足线性约束条件的解(x,y)叫叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域 如图（1）所示 将目标函数变形为斜截式的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题使目标函数取得最值，它叫做这个问题的最优解，本题中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决来源:Zxxk.Com说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）3.求解线性规划的最优解的步骤来源:（1）列：设出未知数,列出约束条件,确定目标函数；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （4）求：通过解方程组求出最优解； （5）答：作出答案。 变式练习变式在例条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值变式在例条件下，求P=2x-y的最大值与最小值变式3在例条件下，求P=4x+3y的最大值与最小值解：变式：设：，平移类同例，得最大值为27.5, 最小值为2变式：设：，平移类同例，得最大值为, 最小值为变式：设：，平移类同例，得最大值为， 最小值为4. 例1 （1）已知，求的取值范围；（2）设，且，求的取值范围【思路分析】先画出可行域，再平移直线即可【解】（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，由和分别得，所以，（2），由（1）知，【解后反思】本题还可以借助不等式的性质求解设，求出m，n例2 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值【思路分析】按照解决线性规划问题的步骤逐一实施：画出可行域目标函数变形平移直线找出最优解【解】由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点不在公共区域内，当时，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大来源:Zxxk.Com由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，【变题】设，式中满足条件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，【解后反思】（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； （2）线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个例3 求的最大值，使式中满足约束条件【思路分析】先画出可行域中的网格，找出整点，再去平移直线注意平移直线时，只能经过整点【解】先画出可行域中的网格，找出整点，只有三个：将目标函数化为直线：，当直线经过点时，【解后反思】在网格中整点较少时，可以逐一代入比较；在实际问题中，若从图形中不能清楚的看出最优解，可以将一些“可疑点”代入比较验证例4.设x，y，z满足约束条件，求的最大值和最小值析：减元，转化成二元一次不等式组条件下求二元函数最值的线性规划问题答案：例5、已知三角形ABC的三个顶点为A（1,1），B（3,1），C（2,5），点P（x,y）是三角形ABC内的任一点（含边界），且z=ax-y取得最大值的最优解有无数个，求a的值。【变1】：z=ax-y取最小值的最优解有无数个，求a的值。【变2】：z=ax+y取最大值的最优解有无数个，求a的值。例6 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？【思路分析】这是一个二元线性规划问题，求解之前，先将题中的数据整理成表格资金 场地（百万元） （百平方米）利润（百万元）A产品（百吨）B产品（百吨）限制然后根据表，设未知数，列出约束条件和目标函数，最后作图求解【解】见课本P79例1例6某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低【解】见课本P79例2三、课后练习1. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为 3，-112. 已知满足约束条件则函数取最小值是的最优解是 （0,0）3. 已知，则的取值范围是 4,74.使式中满足约束条件,求在 的最大值为 5. 已知点P(x，y)在如图所示的三角形区域中(包括边界)，其中三顶点 A(1，1)，B(5，2)，C(1，4)，若z=ax+y 取最大值时的最优解有无数个,则正数a的值为 6、在线性约束条件下，则Zx+y的取值范围为 Zx-y的取值范围为 。6. 已知则的最小值为 5.7、已知函数且，求：（1）的取值范围；（2）的最值；（3）的范围 （4）的最值8. 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?答：甲乙两种产品各生产20t，24t时，能使得利润总额达到最大9、投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2,可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100t需要资金300万元，需场地100 m2，可获利200万元。现某单位可使用资金1400万元，场地900 m2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？10、下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素含量及成本：维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）成 本（元/kg）X3007005Y5001004Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，如果要使成本最低，那么X、Y、Z应各取多少千克？ 11、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗矿石4 t、煤3 t；生产乙种产品1t，需耗矿石5t、煤10t.每1 t甲种产品的利润是7万元，每1 t乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗矿石不超过200 t、煤不超过200 t、煤不超过300 t，则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？12、一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半。该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁，又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元，生产1L乙种饮料得4元。那么厂方每天生产甲乙两种饮料各多少，才能获利最大？13、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？14、某工厂工制造种电子装置45台，种装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格，甲种薄钢板每张面积2，可做、的外壳分别为个和个；乙种薄钢板每张面积，可做、的外壳各个，求两种薄钢板各用多少张才能使总的用料面积最小？15、某运输公司向某地区运送货物，每天至少运送180t。该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车为320元，B型车为504元。试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。 16、某运输公司向某地区运送货物，每天至少运送180t。该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为A型4次，B型3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车为320元，B型车为504元。试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。 17、某制药公司有三条生产线生产中成药产品，公司进行产品结构调整，决定用现有产品生产线的剩余生产能力试生产两种新产品。新产品的生产方式为批量生产：400个为一批。目前由于大多数生产设备已用于其他产品的生产，所以首先确定每周生产线可用的生产时间，以及各种产品每批的生产时间，时间单位以小时计。然后由生产中心确定生产成本，市场中心进行定价，得到两种新产品每一批的利润。具体数据如下表所示： 生产线每批产品的生产时间（h）每周生产时间（h）产品一产品二11042