人教A版选修12 合情推理 课件（28张）.ppt

2 1 1合情推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理 2 了解合情推理在数学发现中的作用 1 归纳推理和类比推理 做一做1 1 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子 若按这种规律排列下去 则第36颗珠子的颜色是 a 白色b 黑色c 白色的可能性大d 黑色的可能性大 解析 由题图知 这串珠子的排列规律是 每5个一组 前3个是白色珠子 后2个是黑色珠子 呈周期性排列 而36 5 7 1 即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子 其颜色与第1组中的第1颗珠子的颜色相同 故它的颜色一定是白色 答案 a 解析 根据所给出的数塔的构成规律 经分析 比较 可猜测123456 9 7的值是由7个1排成的正整数 故选b 答案 b 2 合情推理 推理可以写成 因为 所以 如果 那么 根据 可知 等 其中 因为 如果 根据 等的后面是前提 所以 那么 可知 等的后面是结论 做一做2 已知在数列 an 中 a1 3 an an an 1 1 n n an表示数列 an 的前n项之积 则a2015 1 归纳推理的特点及一般步骤是什么 剖析 1 归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象 归纳所得的结论是未知的一般现象 该结论往往超越了前提所包含的范围 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否真实还需经过逻辑证明和实践检验 因此归纳推理的结论不一定正确 不能作为数学证明的工具 一般地 如果归纳的个别现象越多 越具有代表性 那么推广的一般性结论也就越可靠 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助人们发现新的事实 获得新的结论 2 归纳推理的一般步骤 实验 观察 通过观察个别事物发现某些相同的性质 概括 推广 从已知的相同性质中推测出一个明确表述的一般性结论 猜测一般性结论 通过实例去分析 归纳问题的一般性结论 证明 证明结论的真伪 2 类比推理的特点及一般步骤是什么 剖析 1 类比推理的特点 类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究的事物的属性 是以已有的认识为基础 类比出新的结果 类比推理是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 如果类比的两类对象的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 由于类比推理得到的结论也具有猜测性 结论是否正确还需经过逻辑证明和实践的检验 因此类比推理也不能作为数学证明的工具 但它却具有触类旁通 提供线索 比较思考 举一反三等一系列启迪思维的作用 而且也能帮助我们加快 加深对新概念 新公式 新规律的理解 记忆及应用 类比推理是一种由特殊到特殊的认识过程 具有十分重要的实用价值 在数学中 我们可以从已经解决的问题和已经获得的知识出发 通过类比提出新问题 获得新发现 2 类比推理的一般步骤 观察 分析 找出两类事物之间的相似性或一致性 类比 联想 用一类事物的性质去推测另一类事物的类似性质 猜测一般性结论 通过实例去分析 归纳问题的一般性结论 证明 证明结论的真伪 题型一 题型二 题型三 题型四 数列中的归纳推理 例1 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n 1 2 3 1 求a2 a3 a4 a5 2 归纳猜想通项an的表达式 分析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思归纳推理具有从特殊到一般 从具体到抽象的认知功能 在求数列的通项或前n项和的问题中 经常用归纳推理得出关于前面有限项的结论 此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一 以便于寻找规律 归纳猜想 其具体步骤是 1 通过条件求得数列中的前几项 2 观察数列的前几项 寻求项的规律 猜测数列的通项公式 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 观察如图所示的 三角数阵 记第n n 1 行的第2个数为an n 2 n n 请仔细观察上述 三角数阵 的特征 完成下列各题 1 第6行的6个数依次为 2 依次写出a2 a3 a4 a5 3 归纳出an 1与an的关系式 题型一 题型二 题型三 题型四 解由数阵可看出 除首末两数外 每行中的数都等于它上一行的 肩膀 上的两数之和 且每一行的首末两数都等于行数 1 6162525166 2 a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 3 由a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4 由此归纳 an 1 an n 题型一 题型二 题型三 题型四 图形中的归纳推理 例2 根据下图中线段的排列规则 试猜想第8个图形中线段的条数为 解析 分别求出前4个图形中线段的条数 并加以归纳 发现规律 得出猜想 图形 中线段的条数分别为1 5 13 29 因为1 22 3 5 23 3 13 24 3 29 25 3 因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28 1 3 509 答案 509 题型一 题型二 题型三 题型四 反思图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题 归纳的途径有两条 一是按每个图形中单位图形 要考查的几何元素 如本题中的线段 的数目来归纳 二是按图形变化的特点来归纳 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 1 有两种花色的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 a 26b 31c 32d 36 题型一 题型二 题型三 题型四 2 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形 如下图 则第七个三角形数是 解析 1 方法1 有菱形纹的正六边形个数如下表 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项 以5为公差的等差数列 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6 5 6 1 31 题型一 题型二 题型三 题型四 方法2 由图案的排列规律可知 除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕 第一个图案 外 每增加一块无纹正六边形 只需增加5块菱形纹正六边形 每两块相邻的无纹正六边形之间有一块 公共 的菱形纹正六边形 故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6 5 6 1 31 故选b 2 第七个三角形数为1 2 3 4 5 6 7 28 答案 1 b 2 28 题型一 题型二 题型三 题型四 几何中的类比推理 例3 请用类比推理完成下表 解析 本题由已知类比可得到如下信息 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象 三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象 三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象 三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象 三角形的面积公式中的 二分之一 与三棱锥的体积公式中的 三分之一 是类比对象 由以上可知 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 题型一 题型二 题型三 题型四 反思类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择恰当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中相关结论类比得到空间中的相关结论 平面图形与空间图形类比如下 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 题型一 题型二 题型三 题型四 解 如图所示 在四面体p abc中 设s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 依次表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 猜想射影定理类比推理到三维空间 其表现形式为s s1 cos s2 cos s3 cos 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 把类比所得结论认为是正确的而致错 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 类比推理是不严格的推理 所得的结论正确与否有待于进