3.4.1函数与方程 (2).docx

求解函数零点问题中参数取值题 随着新课程的不断展开和深入，许多高等数学中的概念也随之融入高中数学课程，函数的零点即为其中之一函数零点问题涉及转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想方法，又与导数的应用两情相悦，因此自然成为命题者眼中难以割舍的命题源泉为此笔者结合自己的教学实践，就解决函数零点问题的基本策略作一探讨，供读者参考1 应用零点定理，直捣黄龙如果函数在区间上连续且满足，那么函数在区间内至少存在一个零点，即存在，使得.这就是零点存在性定理例1 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 .解析：观察可知，函数，在区间上的最大值为，最小值为，函数在区间上存在零点，故，整理得，解得所以实数的取值范围是点评：应用零点存在性定理时要注意，是连续函数在区间上有零点的充分条件，未必是必要条件本题易错解为而得，应引起注意2 数形结合引领，以形助数函数的零点，亦即函数的图象与轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的链接点，因此用图象来刻画函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略例2 （2016年北京文科节选）设函数设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；解析：当时，令，即，解得，与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，使得，由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点点评：借助导数的工具，分析图象，对函数直接进行函数性质的分析，借助性质仔细绘制其草图，依靠草图的走势来分析零点的位置对于处理熟悉的函数（如三次函数，二次函数等等）或导函数的解析式相对容易的函数的零点问题，利用该策略求解会显得简洁而富有实效3 等价变形转化，曲径通幽由两个基本初等函数组合而得的超越函数的零点个数，等价于方程的解的个数，亦即的解的个数，进而转化为基本初等函数与的图象的交点个数例3 已知函数恰有两个零点，则的取值范围 解析：由题意可知恰有两个零点，等价于恰有两个不同的解，亦即恰有两个不同的解，令，则，其图象如图所示，函数的图象是过定点的直线，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，应用运动的思想可知.点评：对于很难利用导数工具来分析性质的函数，处理其零点问题，我们常会将分解成两个相对简单的函数，即，借助和的图象交点来求解的零点，克服了直接求解的零点带来的困难4 演绎分类讨论，各个击破分类讨论的思想方法就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法，其基本思路：化整为零，各个击破例4 已知是正实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围解析：因为抛物线的对称轴为，将对称轴与所给区间的端点进行比较：当，即时，在区间上单调递增要使函数在区间上有零点，只需，解得由于，故此时满足条件的不存在当，即时，在上递减，在上递增要使函数在区间上有零点，只需，解得注意到，故综上，所求的取值范围是点评：我们无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，此时根据题设要求合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解利用该策略求解一般要求我们能深思熟虑，必须做到不重不漏5 巧用参数分离，演绎高效参数分离法，亦即将原函数中的变参量进行分离后变形为，将原函数的零点问题化归为与轴平行的直线和函数的图象的交点问题巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然例5 已知函数有两个零点，求的取值范围解析：令，则， 所以在上有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个不同的交点；令，则，令，则在上单调递减，且，当时，；当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为，又；，则的图象大致如图所示：从图中可知，要使得函数的图象与直线有两个不同的交点 ，则，即所求的实数的取值范围为点评：通过将原函数中的变参量进行分离后变形成，则原函数的零点问题化归为与轴平行的直线和函数的图象的交点问题，而此问题的求解在技术上并不存在困难，故问题迎刃而解6 注重知识联系，追求灵动实际上，有许多不是函数零点的数学问题，可以灵活地借助于知识间的内在联系，演绎为函数零点问题，充分体现数学思维的灵动性例6 （2016年上海理科节选）已知，函数.若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；解析：关于的方程的解集中恰好有一个元素，所以方程，即恰有一解，所以恰有一解， 当时，经检验，满足题意当时，为二次函数，其，若时，经检验，满足题意若且时，若是原方程的解，当且仅当，即；若是原方程的解，当且仅当，即于是满足题意的综上，的取值范围为变式 （2016年上海文科节选）已知R，函数=若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值（答案：或）综合上