高中数学必修教材中“选择性”问题及其有效性选择的思考.pdf

词 懑 一 一 翦 羧 嬲 江苏省新海高级 中学 董入 兴 1 问题提出的缘由 数学教育宗 旨是让每一位学生都喜欢数学 懂得 数学 并觉得数学可亲 有用 以发展他们 的智力 创 新能力 以及个性特征为出发 点 强调独立思考 自主 探究 挖掘智慧潜能 但 由于学生的思维层次 数学素 养有较大的差异 这就要求新课标下 的高中数学教材 要具有选择性 层次性 时代性和前瞻性 让不 同层次 的学生在共 同学好核心知识的前提下 有提供他们进 一 步学 习 满足他们 向更高层次发展愿望的多种选择 素材 选择那些 自己认为最适合 自己的 最有意义的 最有价值 的内容作为 自己学习的主攻方 向 以获得多 样 化 独 特性 的发展 人的一生都 是在不 同选择 中完成的 因此 教育 应该重视选择 的作用和价值 把选择权还给学生 唤 醒学生的选择意识 尊重学生的选择权利 学生作 为 学习的主体 理所应当拥有选择适合 自己的学习内容 的权利 我们要尊重并信任学生能够做出合理明智 的 选 择 把选 择 权还给 学生 只有 这样 学生 才 有 机会 了 解 自己学习的优势和特点 找到 自己的优 势领域 找 到适合 自己发展的空间 所 以培养学生的数学学习选 择能力是非常必要的 非常迫切的口 苏教版高 中 数 学 必修教材在体现出 以人为本 这一新课 标核心理 念的同时 充分凸显多元化选择 的特色 为学生创设 了多元化的 丰富的 有意义的选择资源和发展空间 在知识构建中创设 了 思考 探究 链 接 阅读 材料 和 探究案例 等选择性栏 目 在巩 固提高知 识的习题 中 设计 了 思考 运用 探究 拓展 等选 择性栏 目 这 样 可让每一位高中生都可选择 自己所需 又适合 自己 的学习内容 基于笔者在教科 书 数学 必修 1 必修 4 使用过程中 对 选择性 问题的特征以及学生如何有 效地选择 学什么 谈几点认识 2 高中数学教材 选择性 问题设计的定位 苏教版高 中 数学 教 材的整体设 计主要从基础 性 兴趣性 层次性三个方面考 虑 设计为 一个核心 多个层次 多种选择 其 中最大的亮点之一就是强调 选择性 学生 学什么 需要选择 怎样学 也需 要选择 选择性是基于大众化教育层面 的价值 取 向 是个性化发展的直接映射 选择性问题设计是以 普 通高中数学课程标 准 实验 为依据 以激发学生 的 好奇心 求知欲 亲身体验探究 的困惑与惊喜 的历程 为导 向 以润泽 渲 染 烘 托 或 补 充 完 善 和延 展 正 文 内容 揭示核心知识的 内涵 外延 以及所蕴涵 的数学 思想方法 使 知识的核心 明朗而又鲜 活地彰 显为准 则 以关注人 的个性发展 启迪理性思维 提升 自主探 究 创新 意识和能力 为 目的 选择 性 问题 设计 的定 位 在关注大众化教育 的基 础上 着眼于培养素质较 高学生的探索实践能力和创新精神 满足他们个人发 展 与社 会进 步 的需要 3 选择性 问题的有效性选择的界定 选择要有效 适切 恰 时恰点 自然 和谐 要有前 瞻性 创造性 目的性 不能好高骛远 朝 选 夕改 由 于选择性 问题都富有挑战性 思考性 探究性 这要求 学生在掌握好 双基 后 根据 自身情 况 量 力而行 把握好选择的目标 方向 量和密度 最好是在教师有 的放矢指 导下 对选择 的 目标进行 仔细 地分 析 思 考 对 自身的综合能力做出恰当的评估 定位 以理性 的心态 看是否符合 自己需求 兴趣 是否在 已有知识 的 最 近发展 区 是否与 自己的弹性 实力接轨 是否 有利于个体的可持续发展等方面均衡考虑 确定选择 学什么 在确定 学什么 后 学生再选择如何学 选 择过去的思维行为 只能收获 曾经的结果 要想取得 和原来不一样的结果 就要打破原来 的思维方式和行 为模式 教师在学生学习选择过程 中 要发挥一定的 主导作用 既不能放任 自流 又不能把 自己的思维方 式 克隆 给学生 尽可能地把问题 的选择权 探究过 程完全交给学生 让学生独立思考 发现 构建完整的 认知体系 正如波利亚所说 的 学习任何知识 的最 佳途径是 自己去发现 因为这种发现理解最深 也最 容易掌握其 中内在的规律 性质和联系 维普资讯 有效性选择 的方式 有定性选择和定量选择 有 效 性 选择 是 以学 生 的学 习 兴 趣 内动 力 以及 思 维 的 最 近发展 区 为起 点 以 有效 适 切 恰 时恰 点 为关 键 点 以体悟 反思为生长点 循序 渐进 分层培养学生 有效性选择的能力 4 高中数学知识体系构建中 选择性 问题的 特征分析 4 1 核心内容构建中 选择性 问题的特征分析 新课标指出 学生 的数学学 习活动不 应该只限 于接受 记忆 模仿和练习 高中数 学课程还应该倡导 自主探究 动手实践 合作交流 阅读 自学等学 习数学 的方式 这些方式有助于发挥学生学 习的主动性 使 学生的学习过程成为 再创造 过程 苏教版教材中 思考 探究 链接 阅读材料和探究案例 等选择性栏 目充 分 遵循 这一 理念 学 生通 过 主 体选 择 主动 探究 主动发现 得到个性化的培养 从而获得卓越的发展 4 1 1 思 考 探 究 思考 探究是对 核心 内容 的支撑 传承 具有强 烈 的诱 惑力 渲染 力 驱 动力 以及启发性 诱导性和 选择 性 可使 学生 学 的是 活着 的知 识 是 智慧 的知识 它 可 以是 师生 在课 堂 上共 同选 择 某一 目 标 在 互动交流 合作探究 的过 程中 共 同去发现知 识 建构知识 领略知识的核心 关键之处 也可以是 学生满怀渴望 自主选择 独立探究 解惑 无论何种 方式 都给学 生 留有广 阔 的思 维驰骋 空 间 不仅 能 让核心 内容更加鲜 活 生 动 主体更加突出 彰显 而 且又能促使学生 的选择能力 建构能力 数学素养得 到全 方 位 的 提升 数学 必修 4有许多思考问题可供学生选择 如 第 7页的思考 1 终边落在 z轴正半轴上 的角的集 合如何表示 终边落在 3 2 轴上的角的集合如何 表示 2 终边落在坐标轴上 的角的集合如何表示 3 若 a 是第三象限角 则詈是第几象限角 还有 你能推导 出t a n 号 a t a n 詈一a 1 与t a n a 之间的关系吗 P 2 1 一个周期函数的周期 有多少个 周期 函数 的图象具有什么特征 P 2 4 函数 y As i n c 婀 0 C O 0 的 图象 可 以 由正 弦 曲 线 经 过 哪些 图象 变换而得到 画出图象变换的流程图 P 3 7 等等 这 些元认知提问式的思考都为学生 自主学 习 开展探究 活动留下 了 引子 从 中选择最适合 自己的问题深入 研究下去 就会有新 的收获 新 的发 现 思考是承载 体验 再发 现 和 再创造 历 程的最有 效载体 是启 发 引导学生主动学习的乐园 4 1 2链 接 链接是承载烘托 润泽 完善 延展正文 中的核心 知识重要的载体之一 它是把传统教材中一些重要的 边缘 知识作 为解读 探究 的课题 这样减轻学生单 纯记 忆结 论 的负 担 改 变 以记 忆 为 主 的学 习方 式 养 成学生 自学的习惯 引导学生追 根求 源 多问几个为 什么的意识 学生可以从中选择一部分来 阅读 自学 而阅读理解能力是 当今学习数学一种十分重要而极 匮乏又易被忽视的技能 许多 新情境 问题不能圆满 解决的一个重要原因就是学生读不懂题意 解读不透 问题 的实质 因此 培养学生 的阅读能力是十分必要 的 阅读数学语言 可以培养思维 的概括性 抽象性 提高联想类 比能力 数据处理和识 图能力以及新情境 和新信息加工 整合 迁移等能力 案例 1 数学 必修 4第 2 6页 的链接 2 7 c 是正 弦函数 的最小正周期 由诱导公式易知 2 是正 弦函 数 的一 个周期 下 面 用反 证 法 证 明 2 是 它 的最 小 正 周期 假设 0 T 2 且 T是正弦函数的周期 则对 任意实数 z 都有 s i n x T 一s i n z成立 令 X 0得 s i n T O 又 0 T 2 7 c 故 T一7 c 从而对任意实数 z 都有 s i n x 7c 一s i n z成立 与 s i n f 7 c s i n 厶 厶 矛盾 故正弦函数 没有 比 2 小 的正周期 由此 可知 2 7 c 是正弦函数的最小正周期 此链接刨根问底 很好地解读 了学生 的疑惑 困 顿 创新思维大都生长在充满疑难 困惑和悬而未决 而又迫切希望弄个水落石出 明 明白白的情境 中 思 维生惑点 是学生积极学习的原动力 是新思想 的生 长源 它不仅能使学生意识到新课题 同自己的已有知 识 经验相关联 而且能意识到只凭借 已有的知识 经 验是不能完全解决新课 题 的 需 要对 已有知识 的超 越 从而激发学生深层次探究 质疑引起反思 反思导 致探索 探索促成创造 还有 数学 必修 4第 5 0页 的链 接 反 三角 函 数 第 7 7页 向量 b在向量n方 向上的投影 第 1 0 9 页 正弦函数与余 弦函数的叠加 第 1 1 1页 万能公 式 以及 数学 必修 1 第 2 7页 反函数 第 8 5 页 数 据拟合 等等 这些 边缘 知识解释性论述 阐明性论 述 总结性论述 的链接 是对正文 知识有效的补充 完 善 拓宽了学生 的知识 面 也使学生 自觉关注 监控 自 身在学习中的思维过程 反馈学习过程 中的得与失 长 与短 调控 选择方 向 增强选择 的针对性 和时效性 4 1 3 阅读 材料 新课标提倡数学文化 指出 数学是人类文化的 维普资讯 重要组成部分 数学课程应适 当反映数学 的历史 应 用 发展趋势 数学对推动社会发展 作用 数学的社 会需求 逐步形成科学的数学观 通过 阅读材料 的 形式体现和展示数学发展史 以及所蕴涵 的数学文化 底蕴 在引导学生学习数学知识 的同时 赏析数学 家 的才智和品格 领略数学发展 的足迹 感 受数 学文化 的熏陶 培养情感态度价值 观 激发奋进 超越 创新 的欲 望和 动力 案例 2 数学 必修 4第 8 4页阅读材料 向量 源 自力学 它介绍了历史上著名的数学家 物理学家 斯蒂 文 S t e v i n 1 5 4 8 1 6 2 0 牛 顿 Ne wt o n 1 6 4 3 1 7 2 7 拉格 朗 日 L a g r a n g e 1 7 3 6 1 8 1 3 格 拉 斯 曼 Gr a s s ma n 1 8 0 9 l 8 7 7 对 向量 的 产 生 发 展 应用所做 出的贡献 此 材料是让学生从 中受到优秀 传统数学文化的熏陶 运用数学家 的光辉形象 突出 成就对学生进行 正确 的情感教育 发挥数学 家对学 生的榜样示 范作 用 以此激 发学生学 习数学 的兴趣 和 动 力 4 1 4 探 究案例 探究是一种思维状态 即一种好奇心驱使的心理 倾 向 探究案例是培养学生 观察 试验能力和 自主学 习 探究的极佳素材 只要选择好研究课 题 深入探究 下去 学生 的思维定能进入 问题 的 核心地带 去感 悟知识生成的来龙去脉 以及知识 的层次性 条理性 捕获问题的内涵和外延 此 内容通常 以 半学术半教 育状态 的形式呈现 这要求素 质较高 的学生挑 战 自 我 对所选择 的内容进行 同化和顺化 从而拓宽了知 识面的视界 增强 了数学底蕴 案例 3 数学 必修 4第 4 2页探究案例 港 口 水深的变化与三角函数 现代信息技术是一种 有效 的认知工具 能够为学生进行 自主探究提供强有 力的平台 从而帮助学生更好 的理解数 学本质 此探 究案例可以利用计算机模拟港 口一天 内海水潮汐变 化情况 借助多媒体处理观察收集来的数据 绘制成 图象 探求港 口水深的变化与三角 函数 的关 系 为抽 象的数学思维提供 了直观 形象化 的思维背景 也使 得数学试验有 了质 的飞跃 只要 实实在在地 深入观 察 研究下去 将会大大提高学生 的观察研究能力 此 案例溶进一些现代生活的元素 把 触角 延伸到学生 的现实生活 中 旨在激发学生探究数学的兴趣 构造 数学现实 引导学生亲 自利用数学解决一些实际问 题 旨使学生在现实的背景 中感受数学的作用 建立数 学关系 运用数学知识 让学生感受到数学与外部世界 是息息相通 紧密相连 的 以体会 出数学的科学价值 应用价值 培养情操 开阔视野 4 2 习题配 置 中 选 择性 问题 的 特征 分析 新课标强调学生对知识 的建构 解读 积累 强调 认知的螺旋式上升 苏教版 数学 教材很好地 体现 了 这一理念 符合学生认知 的层次性和递进性 习题 的 设置分感受 理解 思考 运用 探究 拓展 三个 层 次 层层递进 逐级跃升 后两个层次具有较强的选择 性 它们大都是经过专家精心挑选的典型问题 具有较 强的代表性 层次性 可塑性 和迁移性 既有利于帮助 学生掌握 双基 又注重知识横 向 纵 向的深度理解 增强知识网络 的深层建构 使学生的认知再上新台阶 让素质较高的学生脱颖而出 4 2 1 思考 运 用 数学思想方法 的学 习是一 个潜移 默化渗 透的过 程 不可能一蹴而就 是在多次领悟 反复的实践应用 的基础上逐步形成发展起来的 思考 运用是感受 理解的升华 对所学知识起到巩 固加强 深化运 用的 作用 能检验学习的效果 反馈知识掌握 的程度 教师 在尊重学生个体差异的基础上 实行分层指导选择 鼓励不同层次的学生用鉴赏的眼光主动选择 让每一 位学生都有尊严地选择着 发展着 案例 4 数学 必修 4第 8 4页 习题 2 5 5 如 图 1 所示 一根细绳穿过两个定滑轮 且两端分别挂 有 3 N 2 N的重物 现有两个滑轮之间的绳上挂一个 重量为 mN 的重 物 恰好使得 系统 处于平衡状 态 求 正数 m 的取值范围 mN 图 1 图 2 此题是对 向量的应用 最好体现 检验学生能否 灵活地运用所学的知识解决一些生活问题 注意加大 思想方法潜移默化渗透的力度 此 问题从两个极端情 况来考虑 当细绳在两定点 A B之间 的长度无 限长 时 细绳 O A O B趋 向竖 直重合极限状态 此 时 O A O B拉力的和趋向于 3 2 5 N 所挂重物 的重量趋 向于 5 N 当细绳在 两定点 A B之 间的长度无 限短 时 系统要处于平衡状态 细绳 O A O B之 间一 定存 在一 个很 小 的夹角 口 如 图 2所 示 口无 限 趋 向于 O 有 一 0 f l 一 一 O 则 i O i 一 3 一2 一 5 此时所挂重物 的重量 趋 向于 5 N 综合两种极限状态可得 5 5 维普资讯 4 2 2探 冤 拓 展 新教材 是把传统教材 的封闭型 结论型 转化为 关注知识生成过程 关注感悟 体验 注重 问题 的启发 性 挑战性和开放性 而新课标指出 教师应根据不同 的内容 目标以及实际情况 给学 生留下 拓展延 伸的 空间和时间 对有关课题做进一步 的探索研究 探究 拓展栏 目中所有问题 都对课本的概念 方法 命题 做 了新颖的拓展 呈现 了很强 的延展性和开放性 有 利于学生探究拓展能力的形成和发展 探究 拓展是 承载培养学生灵活运用知识的意识和能力 另一大亮 点 新增加 了阅读题 写作题和操作题 使做习题 的过 程融入阅读 写作 动手操作的过程中 为学生实现新 的学习方式提供了可能的平 台 案例 s 数学 必 修 1中 P 1 4第 1 3题 阅读 题 对 于集 合 A B 我 们把 集 合 口 6 l 口 A b B 记作 A B 例如 A一 1 2 B一 3 4 则有 A B一 1 3 1 4 2 3 2 4 B xA一 3 1 3 2 4 1 4 2 A A一 1 1 1 2 2 1 2 2 B B一 3 3 3 4 4 3 4 4 据此 试 解答下列 问题 1 已知 C一 口 D一 1 2 3 求 C D 2 已知 AXB一 1 2 2 2 求集合 A B 3 若 A有 3 个元素 B有 4个元素 试确定 AXB有几个 元素 此题是信息迁移题 学生 面对新颖的信息 情境 时 能否通过阅读 品出题 中所蕴涵 的味道 对 新定义 本质的理解与掌握是解决一切问题 的基础 理解新定 义 的内涵与 外 延 既 是 思 维 的起 点 又 是 思 维 的 落脚 点 数学的精髓在于探索和创新 创新素 质又 是个体 发展的最高表现 创新既是新课改 的一个鲜 明主题 又是当今高考体现创新精神的一个窗 口 再如 数学 必修 1中 P 2 9第 1 1题 操作题 将 一 枚骰子投掷 1 0次 并将每次骰子 向上 的点数记录 在下表中 规定对应法则 厂 对每一投掷序号 一1 2 1 0 对应到该次骰子的向上的点数 试判断对应 厂是否为函数 若是 该函数值域一定是集合 1 2 3 4 5 6 吗 投掷序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 向上的点 数 还有 P 8 8第 s题 写作题 到学校附近的农村 工厂 商店 机关作调查 了解函数模型在生产 生活 中的应用 收集一些生活 中的函数模型 指数函数 对 数函数 幂函数 分段 函数等 实例 并做 出分析 写成 调查报告 P 3 3 第 1 3题 开放题 已知一个 函数 的解 析式为 一 它的值域为 1 4 这样 的函数有多少 个 试写 出其 中两个函数等等 这些层次感较 高 的习题 都是 创新思 维 的生 长 点 是方法发展的源泉 在学习 中如果能重视对课本 中的习题进行适 当的变形转化 引申拓展 常常可 以 获得形式新颖 综 合性强和具有探索性的问题 进而 有 效 的 训练 学 生 思 维 的灵 活 性 和 深刻 性 长此 以往 学生 就 能 进 行 数 学 推 广 数 学 猜 想 就 会 有 发 明 创 造 5 选择性 问题的选择中凸显的问题 新课程呼唤 选择 让学生获得终身受益 的选择 能力 是每一位数学教育同仁需要思考并付诸行动的 课