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文档简介
第一章整式的乘除5 平方差公式(第1课时)广东省河源市合水中学 黄秋映课时安排说明:平方差公式共分两课时,第一课时,主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式,运用公式进行计算;第二课时,主要是了解并掌握平方差公式的几何背景,运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.一、 学生起点分析学生的知识技能基础:在前面的学习中,学生已经学过数的运算、字母表示数等内容,具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.已经掌握了整式乘法的有关内容,熟练掌握了多项式乘以多项式法则,已具备了学习运用平方差公式的知识基础。在此基础上,通过创设问题情境,让学生在探究熟知问题的过程中进一步总结体会平方差公式,以括展学生知识技能结构。学生活动经验基础:通过新过程教学的培养训练,学习已具有独立探索、合作交流的习惯,具备学习公式的知识与技能结构,因而让学生独立探索、合作交流得出并运用平方差公式就有了可能。由于学生刚刚开始学习公式,在学习过程中需进一步的感悟和深化。同时,在运用公式时,认清结构不易,而且本节课所学的公式运用仅是简单初步的,因此,教学时不可要求过高,不宜再作扩展。教学中应尽可能多地让学生动手操作,突出平方差公式的探索过程,自主探索出平方差公式的基本形式,并用语言表述其结构特征,进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力.二、 教学任务分析本节课是在学生学习了整式乘法之后的课时,实际上不是新知识,而是上一节整式乘法的一个特例。因而可引导学生在已有整式乘法知识的基础上,归纳这一整式乘法结果的普遍性,让学生明确公式来源于整式乘法,是一般到特殊的一种归纳。基于此教材提出了本节课的具体学习任务:经历探索平方差公式的过程,了解公式的几何背景,并能运用平方差公式,进行简单的计算,以及实际问题的解决.本节课的教学目标是:1.知识与技能:经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法:通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度:在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心.三、 教学过程设计基于对教材以及教学任务的分析,本节课设计了六个教学环节:复习旧知、引入新课;探究规律、发现结论;典例分析、巩固提高;观察思考、拓展延伸;当堂达标、自我检测;课堂小结、布置作业.第一环节 知识回顾、引入新课活动内容:回顾整式乘法中多项式与多项式相乘1、 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.符号表示:(m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、 两项式乘以两项式,结果可能是两项吗?请你举例说明活动目的:学生议论、讨论,各抒已见。通过学生自己的试算,观察,发现,总结,归纳,得出为什么有的两个二项式相乘,其积为两项。其中两项是两个数的平方差,而另两项恰好互为相反数,合并同类项时为零,即(a+b)(a-b)= a2ab+ab-b2= a2b2,这样得出平方差公式,并且把这类乘法的实质讲清楚了。平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则,设计这一环节的目的,是在复习上节课知识的基础上,为本节课的学习做好知识准备.实际教学效果:在复习过程中,学生从知识和心理等方面,做好探究新知识的准备,从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分,可以让学生将举的例子写在黑板上,与下一环节结合使用.第二环节 探究规律、发现结论活动内容:1.提出问题计算下列各题(1) (x+2)(x2); (2)(1+3a)(13a)(3) (x+5y)(x5y);(4)(2y+z)(2yz)观察以上算式及其运算结果,你有什么发现?(小组可讨论,优秀生带领学困生)活动目的:在上一环节的基础上,引入形式特殊的多项式乘以多项式,使学生在计算过程中发现规律,体会规律的一般性,提出自己的猜想,并尝试用数学语言进行描述.实际教学效果:学生议论、讨论,各抒已见。通过学生自己的试算,观察,发现,总结,归纳,得出为什么有的两个二项式相乘,其积为两项。其中两项是两个数的平方差,而另两项恰好互为相反数,合并同类项时为零,即(a+b)(a-b)= a2ab+ab-b2= a2b2,这样得出平方差公式,并且把这类乘法的实质讲清楚了活动内容:2.验证猜想类比活动一中归纳的规律,学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形,并计算验证自己的猜想.活动目的:该过程的设计充分考虑到学生的主体作用,在活动中,让学生根据公式特点,自己去寻找对象,发散性大,学生首先要动用他全部的知识经验还庶运用许多思维操作,如比较、类比、观察、想象、分析、综分等等。让学生进一步熟悉平方差公式的本质特征,掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程,从而验证猜想,得到规律.教学效果:预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发,这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察猜想验证”的过程,学生举的例子可能涉及以下形式:1、 (2x+y)(2xy) 2、 (ab+c)(abc) 3、 教师安排学生合作学习,分组验证,经历平方差公式推导归纳的过程,从而突出了本节课的重点,得到平方差公式: (a+b)(ab)a2b2两数和与两数差的积,等于它们的平方差.第三环节 典例分析、巩固提高活动内容:巩固练习 判断下面计算是否正确 (1)= ( ) (2)(3xy)(3x+y)=9x2y2 ( ) (3)(m+n)(mn)=m2n2 ( ) (4) ( x+1) (1+x) =x2 1 ( )活动目的:通过判断题的设计,让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.实际教学效果:学生在平方差公式的基础上,结合判断题的题样,重新审视平方差公式,进一步理解如何确定平方差公式中的a和b.活动内容:例1 利用平方差公式计算:(先让学生先做,在教师板演)(1) (5+6x)(56x); (2)(x2y)(x+2y)(3) (m+n)(mn)巩固练习利用平方差公式计算: (1) (a+2)(a2); (2)(3a+2b)(3a2b) 活动目的:在深刻理解公式的基础上,借助例题训练让学生正确应用公式计算,体会公式在简化运算中的作用,并通过巩固练习,进一步强化技能.例题的设计遵循:由易到难,由简到繁,由基本到变式,由低级到高级的发展顺序;取的最佳的练习效果。实际教学效果:此环节的设计注意层次的递进,符合学生的认知过程.在计算过程中,让学生分析公式中的a和b,相对应本题中的哪部分,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.活动内容:例2 利用平方差公式计算:(1) ; (2)(ab+8)(ab8) 巩固练习利用平方差公式计算:(1); (2)(mn+3)(mn3)(3) (3b + 2a) (2a 3b) (4) (4a1) (4a+1) 活动目的:例2是对例1内容的拓展与延伸,使学生从不同的角度来认识平方差公式,从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中,确定平方差公式中的a和b,巩固平方差公式,进一步体字母a、b可以是数,也可以是整式,加深对字母含义广泛性的理解.实际教学效果:例2中的第1题和巩固练习中的第1题,学生在确定公式中a和b时,有一定难度,教师应引导学生仔细观察题目,分析题目当中谁相当于公式当中的a与b,同时提醒学生,不要漏掉负号和括号,帮助学生突破难点.第四环节 观察思考、拓展延伸活动内容:想一想(课本20页)(ab)(ab)=?你是怎样做的?练一练 计算 1、(5mn)(5mn) 2、(a+b)(ab)(a2+b2) 活动目的:“想一想”目的,是让学生体会平方差公式和多项式乘法之间的关系,可以利用整式乘法解决,也可以利用平方差公式,体会新、旧知识之间的联系,并通过“练一练”,进一步感受平方差公式在简化计算中的优越性.实际教学效果:学生在处理“想一想”时,部分学生可能没看出可应用平方差公式,从而采用多项式乘多项式计算,教师应给与肯定.通过不同方法在黑板的展示,让学生自己经历选择方法的过程,加深对平方差公式的理解和应用.第五环节 当堂达标、自我检测活动内容: 利用平方差公式计算:(1) (x1)(1x)(2) (0.3x+2y)(0.3x2y) (3)(4) (x+2y) (x2y)(5) (a2b) (2ba)(6) (3m5n) (3m+5n)活动目的:每个小组的3号同学上来做,做对加一分。为学生提供自我检测的机会,教师针对学生反馈情况,及时调整授课,查漏补缺. 第六环节 课堂小结、布置作业 活动内容: 1.平方差公式:(a+b)(ab)=a2b2 公式的结构特点:左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积; 右边是两数的平方差.2 应用平方差公式的注意事项: 1)注意平方差公式的适用范围 2)字母a、b可以是数,也可以是整式 3)注意计算过程中的符号和括号活动目的:通过课堂小结对课堂知识点的回顾,让学生分享自己在学习过程中,遇到的挫折以及积累的经验,提出自己存在的困惑,大家一起解决,从而达到巩固所学知识目的. 布置作业1. 必做题:教材习题1.9 2. 选做题:你能用图形来验证平方差公式吗?4、 教学设计反思 本节课从教学过程来看,应该给学生更多的交流讨论时间,让学生自己当老师,大胆寻发言,推导出平方差公式并找出平方差公式的特点;从学生练习情况来看,掌握的一般。平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算,它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征:(ab)(a+b)=a2b2,公式中的字母a,b不仅可以代表具体的数字,字母 ,单项式,也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公
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