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巧解2018全国I卷理科数学最后一道选择题（第12题）作者: 李泽粤 2018-6-30理科数学【题目】12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABC D【巧解方法一】思路：借助两个定理，将求截面的最大面积转化为：求截面在正方体底面的投影面积的最大值S，再用S除以平面与正方体底面的夹角正弦值得到截面的最大面积。定理一 易证，如下图1，平面上的任一闭合图形的面积S1与平面在底面XOY的投影面积S2的比值为定值，且S2与S1的比值等于平面与底面XOY夹角的余弦值。图1定理二 易证，如下图2，如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么，它们的交线平行（直线HF/直线IJ），且其中一条交线在另一个平行面中的投影直线与另一条交线也平行（直线DB/直线IJ），直线DB与直线IJ的距离为定值。图2解法：由定理一得，当平面与正方体的截面面积最大时，也就是截面在正方体底面投影的面积也是最大值。1）由题设：每条棱所在直线与平面所成的角都相等，可知平面截正方体的方向如图3.图3 图4 图5接着平面可以继续向AC方向移动，截线段AD于I，截线段AB于J，截线段BC于K，截线段CD于L。继续向AC方向移动，出现图5。对应的，平面截正方体的截面在底面ABCD的投影如下： 图6 图7 图8由定理二得，直线IJ与直线LK的距离为定值。用代数易证得，当IJ=LK，I为AD中点，K为BC中点时，投影面积最大。（另外，也可以这么理解：在平面由如图3位置移动到如图5位置过程中，梯形IJBD的面积减少率（即面积值的导数），为线段IJ的长度。梯形DBKL的面积减少率（即面积值的导数），为线段KL的长度。显然由图3到图4过程中，梯形DBKL的面积增加值大过于梯形IJBD的减少值。由图4到图5则相反。也就是说线段IJ=KL时，投影面积IJBKLD最大。）投影面积IJBKLD=SABCDSAJISCLK = SABCD（SAJI + SCLK）=11（1/2 1/2 ）=3/4。2）易求得平面与正方体底面ABCD的夹角的余弦值，cos=1/.3) 由定理一，得平面截正方体的截面面积 S=投影面积IJBKLD平面与正方体底面ABCD的夹角余弦值=SIJBKLDcos=3/41/=/4。所以选择A。【巧解方法二】思路：最值都是出现在临界状态，也就是说截面最大面积要么是出现在图3（或图
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