上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题四.doc

习题四（一）1求下列二次型的矩阵并求出二次型的秩：（1）（2）（3）解 (1) ,r(f)=1(2) ,r(f)=2(3) ,r(f)=n-12.设为实矩阵，n元二次型证明：二次型f的矩阵为证，故f的矩阵为。3已知二次型的矩阵如下，试写出对应的二次型：（1）；（2）；（3）解 (1) (2) (3) 4.用配方法化下列二次型为标准型，并求出所作的非奇异线性替换：(1) (2) (3) 解 (1) 令,得非奇异线性替换为,其中，(2)令，即，其中，令，即，其中，得非奇异线性替换(3) 令，则，即，5设对称矩阵A合同于B，证明B是对称矩阵。证 因为矩阵A合同于B，故存在可逆矩阵C，使得，则。6设矩阵A和B都合同于C，证明矩阵A合同于B。证 存在可逆矩阵D,F,使得,故,即A合同于B。7.证明任一实对称矩阵都能合同于对角阵。证 设A为实对称矩阵，由定理4.1.1，二次型，则存在非奇异线性替换，化为标准二次型，其中为对角阵。8.设矩阵合同于，合同于，则合同于。证 设可逆矩阵,，使得,。则。9证明：任一n阶是对称矩阵A都合同于对角阵,其中r=r(A),p为A的正惯性指数。证 二次型，存在可逆矩阵C使得，且故A合同于对角阵。10证明：n阶实对称矩阵A合同于B的充要条件为r（A）=r（B），且A和B的正惯性指数相等。证 由第9题结论。设A合同于对角阵,其中r=r(A),p为A的正惯性指数。同时A合同于B。从而B合同于对角阵。由惯性定理，r（A）=r（B），且A和B的正惯性指数相等。11证明二次型的符号差s与的秩r的奇偶性相同。证 s=p-q,r=p+q.从而r-s=2q为偶数。故二次型的符号差s与的秩r的奇偶性相同。12判断下列二次型是否正定二次型：(1) ;(2) ;(3) .解 (1) ,不是正定二次型。(2) ，顺序主子式，是正定二次型。(3) ， 取A的k阶顺序主子式，则。即A的顺序主子式都大于零，故为正定二次型。13.判断下列是对称矩阵是否正定矩阵：(1) ; (2) ; (3) .解 (1) ,故不是正定矩阵。(2) ，故是正定矩阵。(3)由第12题（3）结论，为正定矩阵。14.讨论参数t满足什么条件时，下列二次型是正定二次型：(1) (2) (3) 解 (1) ，故t应满足。(2) 故t应满足。(3) ，故t应满足。15.证明实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件为A合同于E。证 若A是正定的，即二次型是正定的，从而可通过实可逆线性替换化为。于是，即A合同于E。 反之，A合同于E，则由g可通过实满秩线性替换化为f。因g是正定的，故f也是正定的，即A为正定矩阵。16.设A为正定矩阵，A合同于B，证明B也是正定矩阵。证 A为正定矩阵，故A合同于E。而A合同于B，故B合同于E。B也是正定矩阵。17.设A和B为n阶正定矩阵，k和l为正实数。证明矩阵为正定矩阵。证 对于非零n维向量x，。，从而是对称矩阵。，故矩阵为正定矩阵。18.设A为正定矩阵，证明：(1) (正整数)都是正定矩阵；(2) 是正定矩阵；(3) 是正定矩阵。证 (1)当m为偶数时，由于且，故是正定的。当m为奇数时，则由于A 是正定的，故存在实可逆矩阵C使。由此可得，从而是正定的。(2)由17题和18题(1)结论，是正定矩阵。(3)由17题和18题(1)结论，是正定矩阵。19.设A为实矩阵，证明的充要条件为是正定矩阵。证 由第二章68题结论，。是正定矩阵，从而。是对称矩阵，且。因为无非零解，故对于任意非零向量，有，则。即是正定矩阵。20.设是正定矩阵，证明矩阵是正定矩阵，其中是非零实常数。证 易验证B为对称矩阵。对于任意非零向量，其中。因是非零实常数，是非零向量，由A是正定矩阵知。即是正定矩阵21.设A为实对称矩阵，t为实数。证明：t充分大之后，矩阵为正定矩阵。证 设是m阶方阵，按行列式完全展开式，应为t的多项式。其展开式有m！项，每项是不同行不同列的m个元素的乘积，其中t的最高方幂应是主对角线上m个元素之积：。其他任一项至少包含一个主对角线外元素，这时就不能含和，故这些项最多出现，它的常数项应为t=0时的，故因此，时。利用上述结果可知当t充分大之后，的顺序主子式分别为因此，为正定矩阵。22.在中，设。试求：（1），； （2），；（3）与的夹角，与的夹角。解 （1）=3，=0（2），（3），。23.在中，求一个单位向量，使之与下列向量都正交。解 设向量与，都正交，则解此其次线性方程组，则为单位向量。24.由以下的基，利用Schmidt正交化构造的标准正交基：（1）（2）解 （1）则，。单位化，。（2）从而，单位化，。25.设，是中的一个标准正交基。，试求：，。解=3-2+2=3=26.设，是的基，。（1）若，有，则；（2）若，对任意，有，则。证 （1），因，故从而。（2）对任意，。因此取，故，。27.求其次线性方程组解空间的一个标准正交基。解 基础解系标准正交基。28.在中，设，令。（1） 求S的一个标准正交基；（2） 将（1）中求得的S的标准正交基，并将其扩充为的标准正交基。解 （1）解方程基础解系，标准正交基 （2）设，解得一组解，然后利用施密特法可得。 29.设，是中的向量，L是由，生成的子空间。若有，。证明：与L中的每一个向量都正交。证 对于L中任一向量，。30.判断下列矩阵是否正交矩阵：（1）； （2）。解 （1）列向量不是单位向量，故不是正交矩阵。（2）列向量组是单位正交向量，故是正交矩阵。31.求实数a,b,c,使A为正交矩阵。其中解，得，或者。32.设实矩阵A为正交矩阵，证明和都是正交矩阵。证，故=存在。故是正交矩阵。=,.故是正交矩阵。33.设A和B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵。证.34.设A为实对阵矩阵，且。证明矩阵是正交矩阵。证.35.设A 和B都是正交矩阵，证明也是正交矩阵。证。36.设A为n阶实矩阵，若对任意n维实列向量，有，则A为反对称矩阵。证 反正法。若存在，取则，矛盾。37.证明正交矩阵的实特征值的可能取值为1或-1。证 设A为正交矩阵，为A的实特征值，x是的特征向量，则有Ax=x，取共轭转置得，再右乘Ax，有，由于，故，由于，所以，即。38.求正交矩阵,使为对角矩阵。（1）； （2）。解 （1）特征值：1,2,5，分别对应特征向量：，标准化：。令，故=（2）特征值：-1,-1,2。对应-1的特征向量：，正交化：，标准化：。对应2的特征向量：。令，故=39.设3阶实对称矩阵A的特征值为-1，-1,8，且A对应的特征值-1有特征向量，。试求矩阵A。解 设A对应特征值8的特征向量为。，故。令，则P为可逆矩阵，且,所以。40.设A为实对称矩阵，且A正交相似于B，证明：B为实对称矩阵。证 存在正交矩阵C，使得.41.证明：正交矩阵A是正定矩阵的充要条件为A是单位矩阵。证 显然，单位矩阵是正交矩阵且正定。由37题结论，A的实特征值的可能取值为1或-1。因A是实对称矩阵，由定理4.5.1，A的特征值都是实数。又因A正定，故A的特征值只能取1。由定理4.5.3，存在正交矩阵C使得，。42.证明：实对阵矩阵A是正定矩阵的充要条件为A的特征值都大于零。证 充分性显然。由定理4.5.3，存在正交矩阵C，使得其中，是A的特征值。因为A正定，均大于零。43.设A为实对称矩阵，且满足.证明：A为正定矩阵。证是A的化零多项式，因此A得特征值可能的取值为1,2，均大于零，故A 为正定矩阵。44.若A是正定矩阵，证明：存在正定矩阵B，使.证 存在正交矩阵U使其中0，i=1,2，n。令由于,且是正定矩阵，从而与其合同的B也是正定矩阵且有。45.用正交替换化下列二次型为标准形，并求出所用的正交替换。(1) ;(2) ;(3) 解 (1) 特征值-1,2,5，分别对应特征向量，令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为(2) 特征值-1，-1,2。对应特征值-1的特征向量为，标准正交化，对应2的特征向量令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为(3) 特征值5,5，-4。对应特征值5的特征向量为,标准正交化，对应-4的特征向量令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为46.设A 为n阶实对称矩阵，且，则，（m为正整数）是正定矩阵。证 设为A的任一特征值，且，。于是从而=1或0。由于A是是对称的，故存在正交方阵Q，使,从而为正定矩阵。从而B正定。47.已知二次型的秩为2，试求(1)参数a的值；(2) 在正交替换下的标准形。解 (1) 秩为2。(2)A的特征值为0,4,9，分别对应特征向量，令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为（二）48.证明：对任何实数，和，有。证 记其中，显然，即是半正定的，所以，即。49.已知向量与，都正交，证明：与，的任一线性组合都正交。证 对于任意实数（i=1，m），。50.设，是中线性无关的向量组，又向量，都与，正交，证明：向量，线性相关。证 不妨设，是标准正交向量组，扩充成的一组标准正交基，。设，。，从而，线性相关。51.设A为n阶实矩阵，为n阶实列向量，证明：。证52.设A为实反对陈矩阵，是n维实列向量，且，证明：与正交。证,从而。53.设A和B都是n阶实对称矩阵，且有正交阵Q，使和都是对角阵，证明：AB也是实对称矩阵。证是对角阵，所以。54.设矩阵试判断二次型是否正定？解 是。因为=，而A的秩为3，只有零解。55.设A为实矩阵，证明：矩阵是正定矩阵的充要条件为。证 对于任意非零向量x,要使，即只有零解56.设A和B为n阶正定矩阵，证明：矩阵AB为正定矩阵的充要条件为AB=BA.证 必要性。因A和B为n阶正定矩阵，A与B是实对称的。设AB实正定的，则AB首先也是是对称的：.从而有故AB=BA.充分性。设AB=BA,则即AB为实对称的。其次，由于A与B都是正定的，故存在实可逆方阵P，Q，使于是与相似。从而两者有相同的特征根。但是为正定矩阵，其特征根都是正实数，故AB的特征根都是正实数，从而为正定矩阵。57.设A和B为n阶实对称矩阵，并且A是正定矩阵，证明：存在n阶实可逆矩阵P，使得与都是对角阵。证 因为A是正定的，故存在实可逆矩阵Q使又由于B为实对称，从而为实对称。因此存在正交方阵U使为对角阵。现在令P=QU，于是由知且为对角矩阵。58.设A和B为n阶正定矩阵，且方程的根是1。证明：A=B。证 由57题结论，存在n阶实可逆矩阵P，使得=E，=是对角阵。的根是1由于P可逆，相当于的根是1即的特征值为1，又是对角阵，故=E。从而，已知A=B。59.设二次型已知，试求(1)参数的值；(2)正交替换，将化为标准形；(3) 的解。解 (1) (2)A的特征值为0,2,2-2.若=0，A的特征值为0,2,2。对应2的特征向量，标准正交化，对应0的特征向量令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为若，A的特征值为0,2,2-2.分别对应特征向量，令显然Q为正交矩阵。则经，其中正交替换为(3) 的解，即其中k为任意实数。60.用正交替换化二次型为标准形。解：易证主对角线上为其他元素都为的阶方阵的行列式为，的矩阵 ，所以，可以解得属于的个特征向量为 属于的特征向量为 将(1)与(2)分别正交化后组合就可以得到要求的正交矩阵。61设矩阵是正定矩阵，证明：二次型是负定二次型。证 记则两端取行列式，得所以可知f是一个二次型，作实满秩线性替换X=AY，则有因为A是正定的，所以，且是正定二次型，因此f为负定二次型。62证明：二次型能分解为两个实一次齐次式乘积的充要条件是f的秩为2，且符号差s=0，或者f的秩为1。证 充分性。可通过满秩线性代换X=CY化为由,即，可由线性表示，代入上式即知f是的两个一次齐次的乘积。 若f的秩是1，则f的规范形为，根据同样道理知，结论成立。必要性。设若与成比例，设，且，则可对f进行满秩线性代换化成，此时f的秩为163设，是标准正交列向