有限域-有限域的结构-有限域特征.ppt

第二章有限域结构 1 有限域的特征特征的含义无零因子含幺环的特征 0或者素数素域 Q和Z p 0 1 p 1 定理设F是域 P是F的素域 若charF p 则P Z p 若charF 0 则P Q 有限域的特征是素数无限域的特征一定是0吗 2 有限域的元素个数特征为p的有限域F都是Fp上的有限 维数 扩张 F pn n F Fp 任意给定素数p和正整数n 是否一定存在pn元有限域 如何构造有限域 3 有限域的存在性与唯一性存在性定理对每个素数p和每个整数n 存在pn元有限域 证明q pn F是xq x在Fp上的分裂域 S a F aq a 0 S F 4 唯一性定理设F是q pn元有限域 则F是同构于xq x在Fp上的分裂域 q元有限域记为Fq 5 CharacterizationofFiniteFields 子域的存在唯一性定理设q pn 若E是Fq的子域 则 E pm 其中m是n的正因子 反之 若m是n的正因子 则Fq有唯一的pm元子域 例 F230的全体子域 6 设f x 是Fp上的n次不可约多项式Fp x 中的同余关系a x b x modf x f x a x b x overFp任意给定的g x Fp x 与Fp x 中某个次数小于n的多项式 包括0 同余g x f x q x r x r x 0或deg r x ng x r x modf x Fp x 模f x 的全体两两不同余的代表元为 r x Fp x r x 0或deg r x n 7 pn 设f x 是Fp上的n次不可约多项式F r x Fp x r x 0或deg r x n 多项式的加 g x h x 模f x 的乘法 g x h x modf x 是否域 F关于加法构成群F 0 关于乘法构成群F是pn元有限域 8 Fp x f x F 16元有限域F24f x x4 x 1是F2上的不可约多项式F 0 1 x x 1 x2 x2 1 x2 x x2 x 1 x3 x3 1 x3 x x3 x 1 x3 x2 x3 x2 1 x3 x2 x x3 x2 1 modf x F2 x x4 x 1 F 9 x2 x x3 x 1 x3 x2 1 x2 x x3 x 1 x3 x2 x 1 16元有限域F24f x x4 x 1是F2上的不可约多项式g x x4 x3 1是F2上的不可约多项式F2 x f x F2 x g x 能否给出同构映射 作业 10 Fp上n次不可约多项式的存在性定理记有限域Fq的全体非零元Fq 则Fq 关于乘法运算是循环群 11 Fp上n次不可约多项式的存在性定理记有限域Fq的全体非零元Fq 则Fq 关于乘法运算是循环群 证明ord 1 2 n q 1 12 本原元 primitiveelement 乘法群Fq 的生成元称为Fq中的本原元 Fq中有 q 1 个本原元 13 Fp上n次不可约多项式的存在性定理设有限域Fr是Fq的扩域 则Fr是Fq上的单代数扩张 推论存在Fp上的n次不可约多项式 14 不可约多项式的根元素 Fqn在Fq上的极小多项式 首一 不可约设f x 是Fq上的n次不可约多项式 是f x 在Fq扩域上的根 问 是否有重根 f x 的全体根 q q2 qn 1Fq 是qn元有限域 Fq Fqn是f x 的分裂域Fq上的n次不可约多项式的分裂域同构Fqn 15 共轭元设Fqm是Fq的扩张 Fqm 则 q q2 qm 1称为 关于Fq的共轭元 注 设 Fqm 则 关于Fq的共轭元两两不同当且仅当 在Fq上的极小多项式次数等于m 注 若d是m的因子 关于Fq共轭元的不同元素为 q q2 qd 1 每个元素重复m d次 16 共轭元定理设Fqm是Fq的扩张 Fqm 则 关于Fq的共轭元在乘法群Fq 中有相同的阶 推论若 Fqm是Fqm中的本原元 则 关于Fq的共轭元都是Fqm中的本原元 17 Fqm的Fq 自同构若 是Fqm的自同构并且对于a Fq有 a a 则称 是Fqm的Fq 自同构 18 Fqm的Fq 自同构定理Fqm的全体不同的Fq 自同构为 0 1 m 1 其 j qj Fqm 0 j m 1 证明验证 j是Fqm的Fq 自同构说明 0 1 m 1两两不同若 是Fqm的Fq 自同构 则 0 1 m 1 19 Fq