2020届高三联考数学（文）试题试卷—附答案

页 共 页 注意事项 本试卷分选择题和非选择题两部分 共 分 考试时间 分钟 答卷前 考生务必将自己的班级 姓名 准考证号 座号用 黑色签字笔和 铅笔分别涂写 在答题卡上 选择题每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 非选择题直接答在答 题卡相应区域 不能答在试卷上 试卷不交 请妥善保存 只交答题卡 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 已知集合犃 狓 狓 狓 犅 犣 则犃 犅 犃 若复数狕满足 犻 狕 犻 则 狕 槡 槡 如图 是一个边长为 的正方形二维码 为了测算图中黑色部分的面积 在正方形区域内随 机投掷 个点 其中落入白色部分的有 个点 据此可估计黑色部分的面积为 若双曲线狓 狔 犿 犿 的焦点到渐近线的距离是 则犿的值是 槡 已知变量狓 狔满足 狓 狔 狓 狓 狔 烅 烄 烆 则犽 狔 狓 的取值范围是 犽 或犽 犽 犽 犽 或犽 在 犃 犅 犆中 犅 犇 犅 犆 若 犃 犅 犪 犃 犆 犫 则 犃犇 犪 犫 犪 犫 犪 犫 犪 犫 中国古代数学著作 算法统综 中有这样一个问题 三百七十八里关 初步健步不为难 次日脚痛减 一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其大意为 有一个人走 里路 第一天 健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了 天后到达目的地 则该人第五天走 的路程为 里 里 里 里 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 第 题图 第 题图 已知 且 则下列结论正确的是 如图 在棱长为 的正方体犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犇 中 犃 犅 的中点是犘 过点犃 作与截面犘 犅 犆 平行 的截面 则该截面的面积为 槡槡槡 函数犳 狓 狓 狓 狓的图像大致为 设函数犳 狓 狓 狓 狓 狓 狓 若函数犵 狓 犳 狓 犫有三个零点 则实数犫的取值范围是 题号 答案 二 填空题 本大题共 小题 每小题 分 共 分 把答案填在答题卡中的横线上 某公司生产犃 犅 犆三种不同型号的轿车 产量之比依次为 为检验该公司的产品质量 用 分层抽样的方法抽取一个容量为狀的样本 若样本中犃种型号的轿车比犅种型号的轿车少 辆 则 狀 在等差数列 犪狀 中 犛狀是它的前狀项和 犪 犛 犛 则犛狀最小时 狀 椭圆犜 狓 犪 狔 犫 犪 犫 的两个顶点犃 犪 犅 犫 过犃 犅分别作犃 犅的垂线交椭圆犜于 犇 犆 不同于顶点 若犅 犆 犃犇 则椭圆犜的离心率为 数学文科 二 2020届高三联考 数学文科 二 第 2020届高三联考试卷2020届高三联考试卷 页 共 页 函数犳 狓 狓 狓 狓 的值域为 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个试题考生 都必须作答 第 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 如图 在四边形犃 犅 犆 犇中 犅 犃 犅槡 犛 犃 犅 犆 槡 求 犃 犆 犅的大小 若犅 犆 犆 犇 犃犇 犆 求 犃犇的长 本小题满分 分 为了研究高一阶段男生 女生对数学学科学习的差异性 某校在高一年级所有学生中随机抽取 名男生和 名女生 计算它们高一上学期期中 期末和下学期期中 期末的四次数学考试成绩的 各自的平均分 并绘制成如图所示的茎叶图 请根据茎叶图判断 男生组与女生组中哪组学生的数学成绩较好 请用数据证明你的判断 以样本中 名同学数学成绩的平均分狓 为分界点 将各类人数填人如下的列联表 分数 性别 高于或等于狓 低于狓 合计 男生 女生 合计 请根据 中的列联表 判断能否有 的把握认为 数学学科的学习能力与性别有关 附 犓 狀 犪 犱 犫 犮 犪 犫 犮 犱 犪 犮 犫 犱 犘 犓 犽 犽 本小题满分 分 如图 菱形犃 犅 犆 犇和直角梯形犆 犇 犈 犉所在平面互相垂直 犃 犅 犇 犈 犆 犉 犅 犃犇 犇 犈 犆 犉 犆 犇 犇 犈 求证 犅 犇 犃 犉 求四棱锥犃 犆 犇 犈 犉的体积 本小题满分 分 设抛物线犆 狔 狓 点犃 过点犃的直线犾与犆交于犕 犖两点 当点犕为犃犖中点时 求直线犾的方程 设点犕关于狓轴的对称点为犘 证明 直线犘犖过定点 本小题满分 分 已知函数犳 狓 狓 犪 狓 狓 犪 犚 犪为常数 当犪 时 若方程犳 狓 犫 狓 有实根 求犫的最小值 设犉 狓 犳 狓 狓 若犉 狓 在区间 上是单调函数 求犪的取值范围 二 选考题 共 分 请考生在 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 坐标系与参数方程 分 在平面直角坐标系中 曲线犆 狓 狔 曲线犆 的参数方程为 狓 狔 为参数 以 坐标原点犗为极点 狓轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线犆 犆 的极坐标方程 在极坐标系中 射线 与曲线犆 犆 分别交于犃 犅两点 异于极点犗 定点犕 求 犕犃 犅的面积 选修 不等式选讲 分 已知函数犳 狓 狓 犿 狓 犿 犿 当犿 时 求不等式犳 狓 的解集 对于任意的实数狓 存在实数狋 使得不等式犳 狓 狋 狋 成立 求实数犿的取值范围 2020届高三联考 数学文科 二 第 解析 犃 狓 狓 且犅 犣 犃 犅 故选 解析 由 犻 狕 犻 得狕 犻 犻 犻 犻 犻 犻 犻 狕 狕 槡 槡 故选 解析 由题意得在正方形区域内随机投掷 个点 其中落入白色部分 的有 个点 则其中落入黑色部分的有 个点 由随机模拟试验可得 犛黑 犛正 又犛 正 可得犛黑 故选 解析 双曲线狓 狔 犿 犿 的焦点设为 犮 渐近线方程设为犫 狓 犪 狔 可得 犱 犫 犮 犫 犪 槡 犫 由题意可得犫 犿 故选 解析 作出可行域如图 由 狓 狓 狔 解得犃 犽 狔 狓 的几何意义为可行域内动点与定点 犇 连线的斜率 犽犇 犃 犽的取值范围是犽 或犽 故选 解析 犃 犅 犪 犃 犆 犫 犅 犇 犅 犆 犃犇 犃 犅 犃 犆 犃 犅 犃犇 犃 犅 犃 犆 犪 犫 故选 解析 记每天走的路程里数为 犪狀 由题意知 犪狀 是公比 的等比数列 由犛 得犛 犪 解得犪 犪 里 故选 解析 根据三视图 转换为几何体为 左侧是一个半圆 锥 右侧是一个四棱锥 如图所示 所以犞几何体 犞 犞 故选 解析 由 得 因为 所以 即 由于 所以 故选 解析 在棱长为 的正方体犃 犅 犆 犇 犃 犅 犆 犇 中 犃 犅 的中点是犘 过点犃 作与 截面犘 犅 犆 平行的截面 则该截面是一个对角 线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形 如图所示 则犈 犉 槡 犃 犆槡 犈 犉 犃 犆 则截面的面积犛 犈 犉 犃 犆槡 故 选 解析 函数犳 狓 狓 狓 狓是偶函数 关于狔轴对称 故排除 令犵 狓 狓 狓 犵 狓 狓 恒成立 犵 狓 在犚上单调递增 犵 犳 狓 狓 犵 狓 排除 当狓 时 犳 狓 狓 犵 狓 单调递增 当狓 时 犳 狓 狓 犵 狓 单调递减 排除 故选 解析 函数犵 狓 犳 狓 犫有三个零点 则函数犵 狓 犳 狓 犫 即犳 狓 犫有三个根 当狓 时 犳 狓 狓 狓 则 犳 狓 狓 狓 狓 狓 狓 由 犳 狓 得狓 即狓 此时犳 狓 为 减函数 由 犳 狓 得狓 即 狓 此时犳 狓 为增函数 即当狓 时 犳 狓 取得极小值犳 作出犳 狓 的图像如图 要使犳 狓 犫有三个根 则 犫 故选 解析 设样本中犃型号车为狓 辆 则犅型号为 狓 辆 则 狓 狓 解得狓 即犃型号车 辆 则 狀 解得狀 解析 在等差数列 犪狀 中 犛狀是它的前狀项和 犪 犛 犛 犱 犱 解得犱 犛狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 犛 狀最小时 狀 槡 解析 依题意可得犽 犅 犆 犽犃 犇 犽犃 犅 犪 犫 过犃 犅分别作犃 犅的垂线交椭圆犜于犇 犆 不同于顶点 直线犅 犆 狔 犪 犫狓 犫 直线犃犇 狔 犪 犫 狓 犪 由 狔 犪 犫狓 犫 犫 狓 犪 狔 犪 犫 烅 烄 烆 犫 犪 狓 犪 犫 狓 狓犮 狓犅 犪 犫 犫 犪 狓犆 犪 犫 犫 犪 由 狔 犪 犫 狓 犪 犫 狓 犪 狔 犪 犫 烅 烄 烆 犫 犪 狓 犪 狓 犪 犪 犫 狓犃 狓犇 犪 犪 犫 犪 犫 狓犇 犪 犪 犫 犫 犪 犆 犅 犪 犫槡 狓犆 犃犇 犪 犫槡 犪 狓犇 由犅 犆 犃犇可得 狓犇 狓犆 犪 犪 犫 椭圆犜的离心率犲 犫 犪槡 槡 槡 槡 解 析 犳 狓 狓 狓 狓 狓 狓 令狋 狓 狋 槡 即犵 狋 狋 狋 狋 槡 则 犵 狋 狋 狋 狋 狋 当 槡 狋 时 犵 狋 当 狋 时 犵 狋 即狔 犵 狋 在 槡 为增函数 在 为减函数 又犵 槡 槡 犵 犵 故函数的值域为 槡 解析 在 犃 犅 犆中 犛 犃 犅 犆 犃 犅 犅 犆 犃 犅 犆 分 高三联考数学2 评分标准 数学文科2 所以 槡 犅 犆 槡 犅 犆 槡 犃 犅 犅 犆 分 又因为 犅 所以 犃 犆 犅 分 因为犅 犆 犆 犇 所以 犃 犆 犇 分 由余弦定理 得犃 犆 犃 犅 犅 犆 犃 犅 犅 犆 槡 槡 槡 槡 所以犃 犆 分 在 犃 犆 犇中由正弦定理 得 犃 犆 犃犇 犆 犃犇 犃 犆 犇 所以犃犇 犃 犆 犃 犆 犇 犃犇 犆 槡 分 解析 男生组数学成绩比女生组数学成绩好 理由如下 由茎叶图可知 男生成绩分布在 的较多 其它分布关于茎 具有初步 对称性 女生成绩分布在 的较多 其它分布关于茎 具有初步对称性 因 此男生成绩比女生成绩较好 由茎叶图可知 男生组 人中 有 人 占 超过 分 女生组 人 中 只有 人 占 超过 分 因此男生组成绩比女生组成绩好 由茎叶图可知 男生组成绩的中位数是 女生组成绩的中位数是 由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好 用茎叶图数据估计 男生组成绩的平均分是 分 女生组成绩的平均分是 分 因此男生组成绩比女生组成绩高 或者 由茎叶图直观发现 男生平 均成绩必然高于 分 女生平均成绩必然低于 分 可以判断男生成绩高于 女生成绩 以上给出了 种理由 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 分 计算样本 个数据的平均值为狓 以此为分界点 将各类人数填入 列联表如下 分数 性别 高于或等于狓 低于狓 合计 男生 女生 合计 分 计算得犓 所以没有 的把握认为 男生和女生对数学学习具有明显的差异 或者回答 为 没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异 分 解析 犇 犈 犆 犉 犆 犇 犇 犈 犆 犉 犆 犇 又面犃 犅 犆 犇 面犆 犇 犈 犉 且面犃 犅 犆 犇 面犆 犇 犈 犉 犆 犇 犆 犉 面犃 犅 犆 犇 分 犅 犇 面犃 犅 犆 犇 犆 犉 犅 犇 四边形犃 犅 犆 犇是菱形 犃 犆 犅 犇 分 又犃 犆 面犃 犆 犉 犆 犉 面犃 犆 犉 犃 犆 犆 犉 犆 犅 犇 面犃 犆 犉 又犃 犉 面犃 犆 犉 犅 犇 犃 犉 分 过点犃向犆 犇作垂线 垂足为犎 即犃犎 犆 犇 面犃 犅 犆 犇 面犆 犇 犈 犉 且 面犃 犅 犆 犇 面犆 犇 犈 犉 犆 犇 犃犎 面犆 犇 犈 犉 分 在 犃犇犎中 犃犇 犃犇犎 犃犎槡 分 四棱锥犃 犆 犇 犈 犉的体积犞犃 犆 犇 犈 犉 犛 犆 犇 犈 犉 犃犎 槡槡 分 解析 设犕 狓 狔 则犖 狓 狔 由犕 犖在抛物线犆上 得狔 狓 狔 狓 解得犕 槡 故犾的斜率为 槡 直线犾的方程为狔 槡 狓 分 由题意知 犾的斜率存在且不为 设犾 狔 犽 狓 犽 分 代入狔 狓 得 犽 狔 狔 犽 分 由 得犽 分 设犕 狓 狔 犖 狓 狔 则犘 狓 狔 狔 狔 犽 狔 狔 分 犽犘 犖 狔 狔 狓 狓 分 故直线犘犖的方程为狔 狔 狔 狔 狓 狓 狓 狓 分 整理得 狔 狔 狔 狓 狓 狓 分 直线犘犖过定点 分 解析 当犪 时 犳 狓 狓 狓 狓 犳 狓 狓 狓 狓 狓 狓 分 当狓 时 犳 狓 犳 狓 为减函数 当狓 时 犳 狓 犳 狓 为增函数 分 犳 狓 犳 分 由犳 狓 犫 狓 得犫 狓 犳 狓 分 又狓 犫 即犫的最小值为 分 犉 狓 犳 狓 狓 犉 狓 狓 犪 狓 犪 狓 狓 狓 分 设犺 狓 狓 犪 狓 犪 狓 狓 则犺 狓 狓 狓 狓 犪 分 可知犺 狓 在 上为减函数 从而犺 狓 犺 犪 分 当 犪 即犪 时 犺 狓 犺 狓 在区间 上为增函数 犺 犺 狓 在区间 上恒成立 即犉 狓 在区间 上恒 成立 犉 狓 在区间 上是减函数 故犪 满足题意 分 当 犪 即犪 时 设函数犺 狓 的唯一零点为狓 则犺 狓 在 狓 上单 调递增 在 狓 上单调递减 又 犺 犺 狓 犉 狓 在 狓 上单调递增 犺 犪 犉 狓 在 犪 上递减 这与犉 狓 在区间 上是单调函数 矛盾 犪 不合题意 分 综合 得 犪 分 解析 曲线犆 狓 狔 曲线犆 的极坐标方程为 即 分 曲线犆 的参数方程为 狓 狔 为参数 曲线犆 的普通方程为 狓 狔 分 即狓 狔 狓 曲线犆 的极坐标方程为 分 由 得 点犃的极坐标为 点犅的极坐标为 槡 分 犃 犅 槡 槡 分 犕 点到射线 的距离为犱 分 犕犃 犅的面积为 犛 犕 犃 犅 犃 犅 犱 槡 槡 分 解 析 因 为犿 所 以犳 狓 狓 犿 狓 犿 狓