2019—2020学年第一学期普通高中期末质量检测高二数学试题—附答案

高二数学试题 第 1 页 共 4 页 2019 2020 学年第一学期普通高中期末质量检测 高二数学试题 本试卷共 4 页 满分 150 分 注意事项 1 答题前 考生务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 准考证号 考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的 准考证号 姓名 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 非选择题用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写 作答 在试题卷上作答 答案无效 3 考试结束后 考生必须将本试卷和答题卡一并交回 一 单选题 本题共一 单选题 本题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个 选项符合题目要求 分 在每小题给出的四个选项中 只有一个 选项符合题目要求 1 1 已知直线l的倾斜角为45 则l的斜率为 A 3 B 1 C 2 2 D 3 3 2 已知i为虚数单位 则复数 2i 1i A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3 计算 1 0 3 8 3 27 A 7 3 B 2 3 C 1 2 D 1 3 4 以 1 2 为圆心且过原点的圆的方程为 A 22 1 2 5xy B 22 1 2 5xy C 22 1 2 5xy D 22 1 2 5xy 5 双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 A 1 4 yx B 1 2 yx C 2yx D 4yx 6 函数 2 1 yx x 的图象大致是 A B C D 高二数学试题 第 2 页 共 4 页 x y z A B C D A1 B1 C1 D1 7 若 22 x y 且 sinsin0 xxyy 则下列不等式一定成立的是 A x y B x y C xy D xy 8 已知直线 l 2 ytk xtt 与圆 22 4O xy 有交点 若k的最大值和最小值分别 是 Mm 则 loglog tt Mm 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 2 2 log 4 t t t 二 多选题 二 多选题 本题共本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 有多个选有多个选 项符合题目要求 全部选对的得项符合题目要求 全部选对的得 5 5 分 选对但不全的得分 选对但不全的得 3 3 分 有选错的得分 有选错的得 0 0 分 分 9 已知方程 22 1 mxnym n R 则 A 当0mn 时 方程表示椭圆 B 当0mn 时 方程表示双曲线 C 当0m 时 方程表示两条直线 D 方程表示的曲线不可能为抛物线 10 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 5 4 3ABADAA 以直线DA DC 1 DD分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则 A 点 1 B的坐标为 4 5 3 B 点 1 C关于点B对称的点为 5 8 3 C 点A关于直线 1 BD对称的点为 0 5 3 D 点C关于平面 11 ABB A对称的点为 8 5 0 11 下列说法正确的是 A 命题 若x y 且x y 则 xy 为真命题 B 若直线 10axy 与直线 20 xay 平行 则1a 的逆命题是真命题 C 若p x R 使得 2 10 xx 则 p x R 使得 2 10 xx D ln 1 xx yx 是 1 x 的充要条件 12 已知函数 3 exf xx 则以下结论正确的是 A f x在R上单调递增 B 1 2 5 log 2 e ln fff C 方程 1f x 有实数解 D 存在实数k 使得方程 f xkx 有 4 个实数解 高二数学试题 第 3 页 共 4 页 三 填空题 本题共三 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 已知直线 210l xy 则过点 1 2 且垂直于l的直线方程为 14 为迎接2022年北京冬奥会 短道速滑队组织甲 乙 丙等6名队员参加选拔赛 比赛结 果没有并列名次 记 甲得第一名 为p 乙得第一名 为q 丙得第一名 为r 若p q 是真命题 pr 是真命题 则得第一名的是 15 已知 f x是定义在R上的奇函数 当0 x 时 32 23f xxxa 则 2 f 曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程为 第一空 2 分 第二空 3 分 16 设过原点的直线与双曲线 22 22 1 yx C ab 0 0 ab 交于P Q两个不同点 F为C的 一个焦点 若 4 tan 3 PFQ 5 QFPF 则双曲线C的离心率为 四 解答题 四 解答题 本题共本题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 1 10 0 分 分 已知i是虚数单位 复数 2i42i iz 1 求复数z的模 z 2 若1 3izmzn m n R z是z的共轭复数 求m和n的值 1818 1212 分分 已知函数 2 0 log 0 x a x f x x x 且 2 1f f 1 求实数a的值 2 当 2 2 x 时 求 f x的值域 1 19 9 1212 分 分 已知动点P在y轴的右侧 且点P到y轴的距离比它到点 1 0F的距离小1 1 求动点P的轨迹C的方程 2 设斜率为1 且不过点 1 2 M的直线交C于 A B两点 直线 MA MB的斜率分别 为 12 kk 求 12 kk 的值 高二数学试题 第 4 页 共 4 页 AB CD P O 2020 1212 分 分 已知四棱锥PABCD 的底面ABCD是等腰梯形 ABCD ACBDO 22AOOC 2 2 PAPBABACPB 1 证明 平面PBD 平面ABCD 2 求二面角APDB 的余弦值 2121 1212 分 分 阿基米德 公元前 287 年 公元前 212 年 不仅是著名的物理学家 也是著名的数学家 他利用 逼近法 得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积 已知平面 直角坐标系xOy中 椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的面积为2 3 两焦点与短轴的一个 顶点构成等边三角形 1 求椭圆C的标准方程 2 过点 1 0 P的直线l与C交于不同的两点A B 求OAB 面积的最大值 2222 1212 分 分 已知函数 ln f xxax a R 1 讨论 f x的单调性 2 若 f x有极值点 0 x 有两个零点 12 xx 且 12012 0 x xmxxx 恒成立 求实 数m的取值范围 高二数学试题答案 第 1 页 共 5 页 高二数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C D D B 二 多选题 9 BD 10 ACD 11 AB 12 BCD 三 填空题 13 240 xy 14 乙 15 4 12200 xy 16 2 四 解答题 17 解 1 因为2i42i iz 所以2i4i243iz 3 分 则 22 435z 5 分 2 由 1 知43iz 43iz 6 分 所以 43i 43i 1 3izmznmn 即4 4 3 3 i1 3imnm 8 分 所以 441 333 mn m 解得 0 3 m n 10 分 18 解 1 由已知 2 1 2 2 4 f 2 分 所以 11 2 log 44 a f ff 4 分 令 1 log1 4 a 解得4a 6 分 2 当 2 0 x 时 2xf x 区间 2 0 上单调递增 所以 1 1 4 f x 8 分 高二数学试题答案 第 2 页 共 5 页 当 0 2 x 时 4 logf xx 区间 0 2 上单调递增 所以 1 2 f x 10 分 综上 当 2 2 x 时 函数 f x的值域是 1 12 分 19 解法一 1 依题意动点P的轨迹是抛物线 除原点 其焦点为 1 0 F 准线为1x 3 分 设其方程为 2 2 0 ypx p 则1 2 p 解得2p 所以动点P的轨迹C的方程是 2 4 0 yx x 5 分 2 设直线 3 AB yxb b 11 A xy 22 B xy 由 2 4 yx yxb 得 2 4 y yb 即 2 440yyb 7 分 16160b 所以1b 12 4yy 8 分 因为 2 1 1 4 y x 2 2 2 4 y x 所以 2121 12 2222 2121 224 2 4 2 44 11 44 yyyy kk yyyy 12 2121 4 22 44 0 22 2 2 yy yyyy 因此 12 0kk 12 分 解法二 1 同解法一 5 分 2 设 11 A xy 22 B xy 12 yy 是直线l与C的交点 所以 2 1 1 4 y x 2 2 2 4 y x 所以 21 22 2112 4 44 AB yy k yyyy 7 分 又直线l的斜率为1 所以 12 4 1 yy 即 12 4yy 8 分 所以 2121 12 2222 2121 224 2 4 2 44 11 44 yyyy kk yyyy 12 2121 4 22 44 0 22 2 2 yy yyyy 因此 12 0kk 12 分 高二数学试题答案 第 3 页 共 5 页 z y x O P DC BA 20 解 1 在等腰梯形ABCD中 2OAOB 2 2AB 222 ABOAOB 所以OAOB 即ACBD 2 分 又因为PBAC 且BDPBB 所以AC 平面PBD 3 分 又因为AC 平面ABCD 因此平面PBD 平面ABCD 4 分 2 连接PO 由 1 知 AC 平面PBD 所以ACPO 所以 22 2POPAOA 所以 222 PBPOOB 即POOB 5 分 又OAOB 以 OA OB OP所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 2 0 0 0 1 0 0 0 2ADP 7 分 设平面PAD的法向量为 x y z n 因为 2 0 2 0 1 2PAPD 所以 0 0 PA PD n n 即 220 20 xz yz 令1z 则1 2xy 所以平面PAD的一个法向量 1 2 1 n 9 分 AC 平面PBD 平面PBD的一个法向量 1 0 0 m 10 分 所以 6 cos 6 m n m n m n 所以二面角APDB 的余弦值为 6 6 12 分 21 解 1 依题意有 222 2 3 2 ab ac abc 2 分 解得 2 3 a b 高二数学试题答案 第 4 页 共 5 页 所以椭圆C的标准方程是 22 1 43 yx 4 分 2 由题意直线l的斜率不能为 0 设直线l的方程为 1xmy 5 分 由方程组 22 1 1 43 xmy yx 得 22 34 690mymy 7 分 设 11 A xy 22 B xy 所以 12 2 6 34 m yy m 12 2 9 34 yy m 8 分 所以 2 2 121212 2 121 4 34 m yyyyyy m 9 分 所以 12 1 2 OAB SOPyy 2 2 61 34 m m 10 分 令 2 1tm 1t 则 22 1mt 2 66 1 31 3 OAB t S t t t 11 分 因为 1 3t t 在 1 上单调递增 所以当1t 即0m 时 OAB 面积取得最大值为 3 2 12 分 22 解 1 f x定义域为 0 且 11 ax fxa xx 1 分 当0a 时 0fx f x在 0 上单调递增 2 分 当0a 时 令 0fx 则 1 x a 当 1 0 x a 时 0fx 当 1 x a 时 0fx 所以 f x在 1 0 a 上单调递增 在 1 a 上单调递减 4 分 2 由 1 知 0 1 0 xa a 5 分 高二数学试题答案 第 5 页 共 5 页 12 x x为 f x的两个零点 11 22 ln ln xax xax 2 21 1 ln x a xx x 6 分 12012 0 x xmxxx 恒成立 12 12 0 m xx x x a 恒成立 1212 0ax xm xx 恒成立 212 12 121 ln0 xx x m xx xxx 恒成立 不妨设 12 xx 22 221 112 ln0 xxx m xx x 恒成立 221 112 ln0 xxx m xxx 恒成立 令 2 1 1 x t t x 1 ln 0tm t t 在 1 t 上恒成立 8 分 因为 1 ln0 0tt t 所以0m 时 1 ln 0tm t t 在 1 t 上不成立 令 1 ln g ttm t t 则 22 222 11 1 1 0 1 mttmttm gg tm tttt