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小结与复习 第十三章轴对称 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 八年级数学上 RJ 教学课件 要点梳理 一 轴对称相关定义和性质 1 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形就叫作 这条直线就是它的 2 如果一个图形沿一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线对称 这条直线就是它的对称轴 轴对称图形 对称轴 1 定义 3 轴对称图形的 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2 性质 1 关于某直线对称的两个图形是全等图形 2 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线 对称轴 三 平面直角坐标系中轴对称 x y 点 x y 关于x轴对称的点的坐标为 点 x y 关于y轴对称的点的坐标为 x y 四 等腰三角形的性质及判定 1 性质 1 两腰相等 二 垂直平分线的性质和判定 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 判定 与线段两个 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 端点 4 底边上的中线和底边上的高互相重合 简称 三线合一 顶角平分线 2 判定 1 有两边相等的三角形是等腰三角形 2 如果一个三角形中有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 3 两个 相等 简称 等边对等角 底角 2 轴对称图形 等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴 五 等边三角形的性质及判定 1 性质 等边三角形的三边都相等 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个角都等于 是轴对称图形 对称轴是三条高所在的直线 任意角平分线 角对边上的中线 对边上的高互相重合 简称 三线合一 60 2 判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60 的 是等边三角形 等腰三角形 六 有关作图 1 过已知直线外的一点作该直线的垂线 2 作线段的垂直平分线 3 最短路径 1 牧人饮马问题 2 造桥选址马问题 考点讲练 例1下列 禁止行人通行 注意危险 禁止非机动车通行 限速60 四个交通标志图中 为轴对称图形的是 B D 2 如图 3 30 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中 那么击打白球时 必须保证 1的度数为 60 例2按要求完成作图 1 作 ABC关于y轴对称的 A1B1C1 2 在x轴上找出点P 使PA PC最小 并直接写出P点的坐标 解析 1 先找出点A B C关于y轴的对称点 再依次连线即可 2 找出点A关于x轴的对称点A 连接A C A C与x轴的交点即是点P的位置 A1 B1 C1 A1 P C 坐标轴中作轴对称图形 一般先根据点关于坐标轴对称的点的特征 找出对称点 而后连线即可 点 x y 关于x轴对称的点的坐标为 x y 关于y轴对称的点的坐标为 x y 例3在 ABC中 AD是高 在线段DC上取一点E 使BD DE 已知AB BD DC 求证 E点在线段AC的垂直平分线上 解析 要证明点E在线段AC的垂直平分线上 即要证明AE EC 根据题意及线段垂直平分线的定义 得出AB AE 而后根据AB BD DC 进行等量变换 可到AE EC 证明 AD是高 AD BC 又 BD DE AD所在的直线是线段BE的垂直平分线 AB AE AB BD AE DE 又 AB BD DC DC AE DE DE EC AE DE EC AE 点E在线段AC的垂直平分线上 16cm 线段的垂直平分线一般会与中点 90 角 等腰三角形一同出现 在求角度 三角形的周长 或证明线段之间的等量关系时 要注意角或线段之间的转化 例4如图所示 在 ABC中 AB AC BD AC于D 求证 BAC 2 DBC 解析 根据等腰三角形 三线合一 的性质 可作顶角 BAC的平分线 来获取角的数量关系 解 作 BAC的平分线AE 交BC于点E 如图所示 则 AB AC AE BC 2 ACB 90 BD AC DBC ACB 90 2 DBC BAC 2 DBC 在涉及等腰三角形的有关计算和证明中 常用的作辅助线的方法是作顶角的角平分线 而后利用等腰三角形三线合一的性质 可以实现线段或角之间的相互转化 例5等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍 求该等腰三角形的顶角的度数 解 设该等腰三角形中 小角的度数为x 则大角的度数为2x 当x为底角时 x x 2x 180 解得x 45 则2x 90 当x为顶角时 x 2x 2x 180 解得x 36 故该等腰三角形顶角的度数为90 或36 在等腰三角形中 常用到分类讨论思想 一般有如下情况 1 在求角度时 未指明底角和顶角 2 在求三角形周长时 未指明底边和腰 3 未给定图形时 有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 5 如图 ABC中 A 36 AB AC BD平分 ABC交AC于点D 则图中的等腰三角形共有个 3 6 如图 已知等边 ABC中 点D E分别在边AB BC上 把 BDE沿直线DE翻折 使点B落在B1处 DB1 EB1分别交边AC于M H点 若 ADM 50 则 EHC的度数为 70 7 如图 在 ABC中 AD是角平分线 AC AB BD 求证 B 2 C 证明 在AC上截取AE AB 连结DE E AD是角平分线 EAD BAD 又 AD AD EAD BAD DE DB AED B AC AB BD AE DE AE EC CE ED AED C CDE 2 C 即 B 2 C 想一想 还有别的证明方法吗 提示 延长AB至F 使BF BD 连结DF 8 如图所示 ABC中 AB AC BAC 120 AC的垂直平分线EF交AC于点E 交BC于点F 求证 BF 2CF 证明 连接AF AB AC BAC 120 B C 30 AC的垂直平分线EF交AC于点E 交BC于点F CF AF FAC C 30 BAF BAC FAC 120 30 90 在Rt ABF中 B