【2010中考数学分类】相似三角形.doc

相似三角形（2010哈尔滨）已知：在ABC中ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在线段DF上，ABEDBM （1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD； （2）如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=（2010珠海）。一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_米. 3.3（桂林2010）6如图，已知ADE与ABC的相似比为1：2，则ADE与ABC的面积比为（ B ）A 1：2 B 1：4 C 2：1 D 4：1（2010年兰州）19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.答案 6（2010宁波市）26如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G（1）求DCB的度数；（2）当点F的坐标为（4，0），求点的坐标；（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到OEF，记直线EF与射线DC的交点为H 如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE； 若EHG的面积为3，请你直接写出点F的坐标24. （2010年金华）(本题12分)如图，把含有30角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，2 (长度单位/秒)一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持lx轴），且分别与OB，AB交于E，F两点设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是 ；（2）当t4时，点P的坐标为 ；当t ，点P与点E重合； （3） 作点P关于直线EF的对称点P. 在运动过程中，若形成的四边形PEPF为菱形，则t的值是多少？ 当t2时，是否存在着点Q，使得FEQ BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；BFAPEOxy(第24题图)若不存在，请说明理由解：（1）；4分 （2）（0,），；4分（各2分）BFAPEOxyGPP(图1) （3）当点在线段上时，过作轴，为垂足（如图1） ,90 ，又,60, 而，,BFAPEOxyMPH（图2) 由得 ；1分 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段上时，过P作，、分别为垂足（如图2） , ， 又 在Rt中， 即，解得1分BFAPEOxQBQCC1D1(图3)y存在理由如下： ，,，将绕点顺时针方向旋转90，得到（如图3） ，点在直线上，C点坐标为（，1） 过作，交于点Q,则 由，可得Q的坐标为（，）1分根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（，）也符合条件1分26（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） 3分(2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 5分四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 6分（3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是： 8分设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 9分 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 10分（2010年湖南郴州市）13.如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是（只要填一个）ABEFDC第13题答案或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点(2010湖北省荆门市)23(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BCCA43，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：ACCDPCBC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S第23题图答案23解：(1)AB为直径，ACB90又PCCD，PCD90而CABCPD，ABCPCDACCDPCBC；3分第23题图(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BEPC于点EP是AB中点，PCB45，CEBEBC2又CABCPB，tanCPBtanCABPE从而PCPEEC由(1)得CDPC7分(3)当点P在AB上运动时，SPCDPCCD由(1)可知，CDPCSPCDPC2故PC最大时，SPCD取得最大值；而PC为直径时最大，SPCD的最大值S5210分（2010年眉山）25如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由答案：25（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （3分）又AEC=FEBACEFBE （4分） （2）解：当时，ACEFBE （5分） 在ACC中，AC=AC ， （6分） 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE （8分） CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE（9分）12(10重庆潼南县)ABC与DEF的相似比为3：4，则ABC与DEF的周长比为_3：41、（2010年杭州市）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. 答案：(1) BDAC，点B，A，E在同一条直线上， DBA = CAE,又 , ABDCAE. (2) AB = 3AC = 3BD，AD =2BD ，(第22题) AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， D =90, 由（1）得 E =D = 90, AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，在RtBCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 , BC =a . （2010陕西省）13、如图在ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使ADC与ABC相似，应添加的条件是 ACD=B ADC=AOB 第（17）题DCAFBEG（2010年天津市）（17）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，与交于点，于点， 则的值为 （2010山西5在R tABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值（）DA扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变ABC（第5题）（2010宁夏16关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 （只填序号） 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比（2010宁夏22(6分) 已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M（1）求证：ABFDAE；（2）找出图中与ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）22(1)证明：在正方形ABCD中：AB=AD=CD, 且BAD=ADC=CE=DFAD-DF=CD-CE 即：AF=DE在ABF与DAE中ABFDAE（SAS）-3分（2）与ABM相似的三角形有：FAM; FBA; EAD-6分（2010山西26在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第26题 图1）FCOMNxy1（2010四川宜宾）如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB于点D.则BCD与ABC的周长之比为（ ）A12 B13 C14 D157题图答案： A（2010年安徽）23.如图，已知ABC，相似比为（），且ABC的三边长分别为、（），的三边长分别为、。若，求证：；若，试给出符合条件的一对ABC和，使得、和、进都是正整数，并加以说明；若，是否存在ABC和使得？请说明理由。（2010河北省）图15-2ADOBC21MN图15-1ADBMN12图15-3ADOBC21MNO24（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，1=2=45（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB求证：AC=BD，ACBD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值解：（1）AO=BD，AOBD； 图4ADOBC21MNEF（2）证明：如图4，过点B作BECA交DO于E，ACO=BEO又AO=OB，AOC= BOE，AOCBOEAC=BE 又1=45， ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延长AC交DB的延长线于F，如图4BEAC，AFD=90ACBD（3）如图5，过点B作BECA交DO于E，BEO =ACO又BOE =AOC ， AOBC1D2图5MNEBOEAOC 又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BD （2010河南）4如图，ABC中，点DE分别是ABAC的中点，则下列结论：BC=2DE；（第4题）ADEABC；其中正确的有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个A1、（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是答案：D2、（2010山东烟台）如图， ABC中，点D在线段BC上，且 ABC DBA，则下列结论一定正确的是A、AB2=BCBD B、AB2=ACBD C、ABAD=BDBC D、ABAD=ADCD答案：A（2010山东烟台）如图，ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E。（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0t6）秒，平移后的四边形ADCE与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。答案：（2010珠海）8.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_米. 3.3（2010珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(3) 求证：ADFDEC(4) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=(苏州2010中考题28)(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合) (1)在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程答案：5. （上海）下列命题中，是真命题的为（ D ）A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似16. （上海）如图2，ABC中，点D在边AB上，满足ACD =ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = _3_.图2 25（上海）如图9，在RtABC中，ACB90.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备用)（1）解：B30ACB90BAC60AD=AE AED60=CEPEPC30三角形BDP为等腰三角形AEP与BDP相似EAP=EPA=DBP=DPB=30AE=EP=1在RTECP中，EC=EP=（2）过点D作DQAC于点Q，且设AQ=a，BD=xAE=1,EC=2QC=3-aACB90ADQ与ABC相似即，在RTADQ中解之得x=4，即BC=4过点C作CF/DPADE与AFC相似， ，即AF=AC，即DF=EC=2, BF=DF=2BFC与BDP相似，即：BC=CP=4tanBPD=(3)过D点作DQAC于点Q，则DQE与PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a且在RtADQ中，据勾股定理得：即：，解之得ADQ与ABC相似三角形ABC的周长即：，其中x0（2010绵阳）GABDCO10如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ A ）A1 : 2 B1 : 3C2 : 3 D11 : 20（2010绵阳）BFGHADEC114如图，ABCD，A = 60，C = 25，G、H分别为CF、CE的中点，则1 = 答案：145（2010浙江湖州）15如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若ABC与A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_答案：第15题x109876543211234567891011A1B1C1ABCy1（2010，安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_m【答案】1.82（2010，安徽芜湖）如图，直角梯形ABCD中，ADC=90,ADBC,点E在BC上，点F在AC上，(1)求证：ADFCAF （2）当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积【答案】证明： （1）在梯形ABCD中，ADBCDAF=ACED FC=AEBDFC=DAF+ADF, AEB= A C E+CAEADF=CAEADFCAF(2) AD=8,DC=6，ADC=90，AC=10又F是AC的中点，AF=5ADFCAF CE=E是BC的中点 BC=直角梯形ABCD的面积=(+8)6=3（2010，安徽芜湖）如图，BD是O的直径，OAOB,M是劣弧上一点，过点M作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BCMP交O于C点，求BC的长【答案】（1）证明：连结OM, MP是O的切线，OMMP OMD +DMP=90OAOB，OND +ODM=90MNP=OND, ODN=OMD DMP=MNPPM=PN（2）解：设BC交OM于E, BD=4, OA=OB=2, PA=OA=3PO=5BCMP, OMMP, OMBC, BE=BCBOM +MOP=90,在RtOMP中，MPO +MOP=90BOM=MPO.又BEO=OMP=90OMPBEO ,BE= BC=4（2010，浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限PAx轴于点A，PBy轴于点B一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且SPBD4，（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围. yxPBDAOC【答案】（1）在中，令得 点D的坐标为（0，2）（2） APOD RtPAC RtDOC AP6又BD由SPBD4可得BP2P(2，6) 把P(2，6)分别代入与可得一次函数解析式为：y2x+2 ，反比例函数解析式为： （3）由图可得x25（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，