2.2.1等差数列 (2).doc

等差数列的教案（一）设置问题，引导发现形成概念师：看大屏幕。情景1（播放奥运会女子举重场面）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48，53，58，63情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m） 18，15.5，13，105，8，55情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是： 本利和=本金（1+利率存期）时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）各年末本利和（单位：元） 10072，10144，10216，10288，10360师：思考上述各组数据反映了什么样的信息？每行数有何共同特点？请同学们互相讨论。（学生纷纷议论，有的几个人在一起商量）（从宏观上 : 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志；情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识；情景3 倡导节约意识，纳税意识。）从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。485358631815.51310.585.51007210144102161028810360师：（启发学生）你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗？学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生1：不一样，要加上同一个常数。学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗？学生2：不一样，必须从第二项开始。学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。（教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征：同一个常数；从第二项起）师：能不能用数学语言表示？学生4： 师：等价吗？学生4：应加上（d是常数）,.(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)师：对式子进行变形可得。 这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？学生5：某剧场前8排的座位数分别是 52，50，48，46，44，42，40，38.学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。师：如何用数列表示？学生8：设相邻两盏之间的距离为a,该数列为 a,a,a,a,，为常数列，即常数列都具有这种特征。（让学生举例，加深感性认识）师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？学生（共同）：等差数列。师：（学生叙述，板书定义）一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。提出课题等差数列对定义进行分析，强调：同一个常数；从第二项起。注意对概念严谨性的分析。师：回到表格中，分别说出它们的公差。学生9:依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.师：在计算年末本利和的问题中求时，能不能不按本利和=本金（1+利率存期）求而按数列的特征求呢？学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。（再提出问题，引导发现求通项公式的必要性）（二）启发、引导推出等差数列的通项公式师：把问题推广到一般情况。若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？启发学生：（归纳、猜想）可用首相与公差表示数列中任意一项。学生10：即：即：即：由此可得： 师：从第几项开始归纳的？学生10：第二项，所以n2。师：n=1时呢？学生10：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 （nN*）师：很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？学生11：还可用下面的方法归纳：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 （nN*）师：我们把这种方法称为迭代法。大家按照该同学的思路推导一下。（把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上）还有其他的推导方法吗？（学生面露难色）启发：看方法一的第一个式子 有何规律？学生12：可以用累加的方法，左边累加后得，右边累加的d+d+d+.+d共n-1个即=d+d+d+.+d ，=（n-1）d ，师：总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累差法。共同特点：利用观察、归纳、猜想的数学思想方法，它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。注意两点：1、对通项公式进行分析，通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。若已知三个量，可用方程的思想求第四个量（即知三求一）。2、对通项公式变形，对任意的p、qN+。在等差数列中，有ap=a1+(p-1)d aq=a1+(q-1)d -有ap-aq=(p-q)d，ap=aq+(p-q)d其中p,q关系可以有pq，p=q，pq。通项公式的变形式ap=aq+(p-q)d，请同学记熟，它在解题过程中经常被应用。（三）通项公式的应用大屏幕给出例题，由学生代表讲解例1：（1）求等差数列8，5，2的第20项解：由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列的通项公式得a20=8+（20-1）（-3）=-49（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。（方程思想的运用）例2、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p，q是常数，且p0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？师：如何分析题意？学生13：由等差数列定义，要判定an是不是等差数列，只要看an-an-1（n2）是不是一个与n无关的常数就行了。（学生叙述，教师板书）解：取数列an中的任意相邻两项an-1与an（n2）。an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=(pn+q)-(pn-q+q)=p，它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列，且公差为p。在通项公式中，令n=1得a1=p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。师: 数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系，一个n都对应着一个an，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）学生14：与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列an是等差数列。 师:本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。它也可以作为证明数列an是等差数列的一种方法。那么一次函数的图象有什么特点？你能否作出等差数列的图象？（四）通项公式的图象在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？用几何画板作图显示为下图：师:由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。学生14：公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。当p=0时，an=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x轴）上的均匀公布的一群孤立点。在大屏幕上打出如下幻灯片：等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较不同点关连与相同点等差数列an=pn+qpR，nN+，p是公差。（1）p0时，数列an=pn+q图象所表示的点均匀分布在函数y=px+q图象上。（2）p0时，数列为递增数列，函数为增函数；p0时，数列为递减数列，函数为减函数。一次函数y=px+qp0，xR，p是斜率。（五）、课时小结提出问题：这节课你学到了什么？教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。学生15：等差数列定义。即(n2) 或an+1- an = d （nN*）等差数列通项公式 (nN*)推导出公式： ap=aq+(p-q)d等差数列an=pn+q的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一