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文档简介
2020年高考数学模拟自测卷(9)注意事项:1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1在复平面内,复数是虚数单位)对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.复数在复平面内对应点坐标为因为所以则是第二象限点.故选B2已知,则,的大小关系是( )ABCD【答案】B【解析】, , , , ,并且 , ,综上可知.故选:B3若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】由题意得:在上单调递增 在上恒成立又 在上恒成立当时, ,解得:本题正确选项:4在中,已知边上的中线长为2,则( )A12B-12C3D-3【答案】C【解析】 即相减得到故选:5在数列中,若,则该数列的前50项之和是( )A18B8C9D4【答案】D【解析】由题意得故数列为周期为6的周期函数.且.故该数列的前50项之和.故选:D6过抛物线:焦点的直线交该抛物线于点,与抛物线的准线交于点,如图所示,则的最小值是( )A8B12C16D18【答案】C【解析】因为双曲线的焦点,所以设直线的方程为, ,则,将代入到,整理得,则,所以,所以 ,当且仅当,即时取得等号.故选:C7如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下结论:,CF与EN所成的角为,/MN ,二面角的大小为,其中正确的个数是( )A1B2C3D4【答案】C【解析】画出正方体的直观图,如下图所示,设正方体边长为,以分别为轴建立空间直角坐标系.则,所以,所以,故正确.由于,所以CF与EN所成的角为,而在中,也即是等边三角形,故,所以正确.由于,而与相交,故不平行,错误.由于,所以即是二面角的平面角.是等腰直角三角形,所以,故正确.综上所述,正确的命题个数为个.故选:C.8过抛物线的焦点,且斜率为的直线交于点(在轴上方),为的准线,点在上且,则点到直线的距离为( )ABCD【答案】A【解析】设直线与轴相交于点,与直线相交于点,设,因为,所以,所以,解得:,设,由焦半径公式得:,所以,所以,所以点到直线的距离为.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。9已知第一象限角,锐角,小于的角,那么A、B、C关系是( )ABCD【答案】BC【解析】对于A选项,除了锐角,还包括其它角,比如,所以A选项错误.对于B选项,锐角是小于的角,故B选项正确.对于C选项,锐角是第一象限角,故C选项正确.对于D选项,中角的范围不一样,所以D选项错误.故选:BC10演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比,发生改变的数字特征是( )A中位数B平均数C方差D极差【答案】BCD【解析】中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后,处于中间位置的数据,因而去掉1个最高分和1个最低分,不变的是中位数,平均数、方差、极差均受影响故选:BCD 11已知两条直线,及三个平面,则的充分条件是( )A,B,C,D,【答案】ABC【解析】由面面垂直定理可以判断正确,对于选项,也可以得到,故错.故选:.12高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数,则关于函数的叙述中正确的是( )A是偶函数B是奇函数C在上是增函数D的值域是【答案】BC【解析】根据题意知,函数既不是奇函数也不是偶函数,A错误;,是奇函数,B正确;由复合函数的单调性知在上是增函数,C正确;,D错误故选:BC3、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13函数的零点个数是_;满足f(x0)1的x0的取值范围是_【答案】2 (1,0)(2,+) 【解析】时,当时,共2个零点,即零点个数为2;当时,当时,即,的的取值范围是故答案为:2;14已知函数.的最大值为_ ;设当时,取得最大值,则_.【答案】 【解析】, (其中 ,)当,即时,取最大值由题意可知故答案为:;15在平面几何中,若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则,推广到立体几何中,若正方体的内切球体积为外接球体积为,则_【答案】【解析】正方形的内切圆半径为 外接圆半径为,半径比,面积比为半径比的平方,类比正方正方体内切球半径为 外接球半径为,径比,所以体积比是半径比的立方=,填16关于函数,给出以下四个命题,其中真命题的序号是_.时,单调递减且没有最值;方程一定有解;如果方程有解,则解的个数一定是偶数;是偶函数且有最小值.【答案】【解析】对于命题,当时,.当时,则函数在上单调递增,此时,当时,当时,则函数在上单调递减,所以,当时,函数不单调且没有最值,命题错误;对于命题,当时,当时,当时,构造函数,则函数在上单调递增,当时,当时,所以,函数在上有且只有一个零点,即当时,方程在上有解.函数的定义域为,关于原点对称,则函数为偶函数,同理可知,当时,方程在上有解.所以,命题正确;对于命题,当时,令,解得,则命题错误;对于命题,由可知,函数是偶函数,由绝对值的性质可知且,则函数为偶函数且最小值为,命题正确.因此,正确命题的序号为.故答案为:.4、 解答题:本小题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分10分)在中,内角的对边分别为,且.(1)求角的大小.(2)若边上的中线,且,求的周长.【答案】(1)(2)【解析】(1)由已知 由正弦定理得: 由余弦定理得:在中,因为,所以 (2)由,得 由(1)知,即 在中,由余弦定理得: 在中,由余弦定理得: 因为,所以 由,得所以所以的周长.18(本小题满分12分)已知数列满足,其中(1)若数列前四项,依次成等差数列,求,的值;(2)若,且数列为等比数列,求的值;(3)若,且是数列的最小项,求的取值范围【答案】(1) (2)答案不唯一,见解析 (3)【解析】(1)由已知递推式可得,;,由等差数列知,得;(2),则,由,得或当时,满足题意;当时,由累加法得,满足题意;(3)时,当时,由恒成立得,恒成立设,只需求出的最小值当时,有;当时,直接验证;故为最小值,其值为,;当时,需满足恒成立,对验证,;,;,;,综上,19(本小题满分12分)为进一步优化教育质量平台,更好的服务全体师生,七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析,分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量,该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“,”三个不同的等级,并按照不同的等级,设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分,如下表所示.测试分数的范围分数对应的等级贡献的积分等1分等2分等3分(1)用样本的频率分布估计总体的频率分布,若将甲学校考生的数学测试等级划分为“等”和“非等”两种,利用分层抽样抽取10名考生,再从这10人随机抽取3人,求3人中至少1人数学测试为“等”的概率;(2)视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体,若从乙学校全体考生中随机抽取3人,记3人中数学测试等级为“等”的人数为,求的分布列和数学期望;(3)根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则,分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为和,用样本估计总体,求和的估计值,并以此分析,你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色?【答案】(1);(2)答案见解析;(3)答案见解析.【解析】(1)由题意知抽取的10人中,数学成绩为“等”和“非等”的人数分别为2人和8人.设从这10人随机抽取3人,求3人中至少1人数学测试为“等”的事件为,则.(2)视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体,则每位考生数学测试等级为“等”的概率为.记3人中数学测试等级为“等”的人数为,则.,.0123故.(3)由题可知,设和的估计值为和,则,如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看,本次考试,我认为乙学校本次数学测试更加出色.20(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)若E为PC中点,求证:PA平面BDE;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正切值【答案】见解析【解析】(1)四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a所以:=证明:(2)在正方形ABCD中,连接AC和BD交与点O,连接OE,所以:O是AC的中点,由于E是PC的中点,所以:OE是PAC的中位线,则:OEPAOE平面BDEPA平面BDE,所以:PA平面BDE解:(3)PD底面ABCD,底面ABCD是边长为a的正方形,且PD=a则:BD=所以:PBD就是PB与平面ABCD所成角则:所以:直线PB与平面ABCD所成角的正切值为21(本小题满分12分)已知函数,是的导函数.(1)证明:当时,在上有唯一零点;(2)若存在,且时,证明:.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明:当时,.当时,为增函数,且,在上有唯一零点;当时,在上没有零点.综上知,在上有唯一零点.(2)证明:不妨设,由得,.设,则,故在为增函数,从而,下面证明:.令,则,即证明,只要证明.(*)设,则,在单调递减.当时,从而(*)得证,即.,即.22(本小题满分1
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