猎狗追兔子数学实验报告.docx

数学实验报告猎狗追赶兔子模型实验一.实验问题有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验：(1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？(2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？(3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。(4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于害怕,奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情况下，再按前面的（1）（3）完成实验任务。 一 问题的分析模型求解（1） 求解析解有方程：dp1+p2=rdxx,pc=0 解该变量分离方程得 p+1+p2=(xc)r,等价地亦可转换为 P -1+p2=-(cx)r从而可得dydx=12xcr-cxryc=01)当r1时，方程的解为 y=c211+r(xc)1+r+1r-1(cx)r-1-crr2-1,(2)用MATLAB软件求解析解在MATLAB软件命令窗中执行命令Dsolve(Dy=1/2*(x/c)r-(c/x)r),y(c)=0,x)得方程的解析解为ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)*cr*(1/c)r/(r+1)*x+1/2*exp(r*(log(c)-log(x)/(-1+r)*x-1/2*c*(-(1/c)r*cr+cr*(1/c)r*r+r+1)/(r2-1)(3)用MATLAB软件求数值解先生成初值问题的函数文件。Function y=hs(t,y)Y=8/18*(t/3)(8/18)-(3/t)(8/18)保存为hs.m，然后在MATLAB软件命令窗中用二三阶龙格库塔算法计算初值问题的数值解。执行命令Ode23(hs,200,0.0005,0)若选用四五阶龙格库塔算法解初值问题，则执行命令Ode45(hs,200,0.0005,0)最终得到猎狗的坐标。此次问题可以选用计算机仿真饭显然可以将事件坐标转换到第一象限内，设兔子初始位置O为（0，0）,运动方向为沿x轴正方向，速度为a。洞口A坐标为(0,120)。猎狗初始位置B为（200,0），运动速度为b。t=tk时兔子坐标为（0,tzy）,猎狗坐标为（lgx,lgy）。追赶的方向可以用方向余弦表示：cosk=0-lgx(0-lgx)2+(a*tk-lgy)2,sink=a*tk-lgy(0-lgx)2+(a*tk-lgy)2,取时间步长为t，则在时刻t+t时，猎狗位置可表示为lgxk+1-lgxk=lgxk=btcosk，lgyk+1-lgyk=lgyk=btsink。仿真算法：第一步：设置时间步长为t，速度a,b，猎狗跑过的路程s初始化为0,初始位置；第二步：由tk猎狗与兔子的位置坐标计算二者在tk+1=tk+t时的坐标(lgxk+1,lgyk+1)和（tzxk+1,tzyk+1）:lgxk+1=lgxk+bttzx-lgx(tzx-lgx)2+(tzy+a*t-lgy)2，lgyk+1=lgyk+bttzy+a*t-lgy(tzx-lgx)2+(tzy+a*t-lgy)2，tzk+1=0，tzyk+1=tzyk+a*t，并在图中标出改点。stk+1=stk+a*t。第三步：计算猎狗与兔子之间的距离dk=(lgxk+1-tzxk+1)2+(lgyk+1-tzyk+1)2，如果dk小于事先设定的距离（就是认为猎狗追上兔子之间的距离），则退出循环，否则让时间产生一个步长，返回第二步继续进行下一次循环。第四步：当循环成功退出后，tzyk+1为兔子被捉时跑过的距离，通过改变猎狗的速度b使其等于120，此时的b即为猎狗能追上兔子的最小速度，stk+1为猎狗跑过的路程，由第二步中所标出的点构成的图即为够追兔子奔跑的曲线图。2.问题（4）的分析过程与前三问类似，只需在第三步中增加一个对dk的判断，当dk小于等于30米时，t每增加一秒分别对a、b进行一次修正，即a=a/2，b=1.1*b。三程序设计的流程1.取时间步长为0.1，当猎狗与兔子相距小于等于0.3米时视为追上。问题（1）（3）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）：当猎狗速度为15m/s时：c=200;a=8;b=15;lgxb=;lgyb=;tzxb=;tzyb=;d=1;dt=0.1;t=0;lgx=c;lgy=0;tzx=0;tzy=0;hold onaxis(0,200,0,150)title(猎狗追兔子)text(0,120,洞口A)text(200,0,B)text(0,0,O)while (sqrt(lgx-tzx)2+(lgy-tzy)2)d) t=t+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); lgxb=lgxb,lgx; lgy=lgy+b*dt*(a*t-lgy)/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); lgyb=lgyb,lgy; tzy=a*t; tzyb=tzyb,tzy;endlgxb;lgyb;tzyb;tzxb=zeros(length(tzyb);plot(lgxb,lgyb,m*,tzxb,tzyb,c*) gtext(猎狗)gtext(兔子)当猎狗速度为18m/s时：c=200;a=8;b=18;lgxb=;lgyb=;tzxb=;tzyb=;d=1;dt=0.1;t=0;lgx=c;lgy=0;tzx=0;tzy=0;hold onaxis(0,200,0,150)title(猎狗追兔子)text(0,120,洞口A)text(200,0,B)text(0,0,O)while (sqrt(lgx-tzx)2+(lgy-tzy)2)d) t=t+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); lgxb=lgxb,lgx; lgy=lgy+b*dt*(a*t-lgy)/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); lgyb=lgyb,lgy; tzy=a*t; tzyb=tzyb,tzy;endlgxb;lgyb;tzyb;tzxb=zeros(length(tzyb);plot(lgxb,lgyb,m*,tzxb,tzyb,c*) gtext(猎狗)gtext(兔子)2问题（4）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）;a=8;b=15.4;dt=0.1;t=0;s=0;D=30;d=1;e=0;lgx=200;lgy=0;tzx=0;tzy=0;hold onaxis(0,200,0,150)title(猎狗追兔子)text(0,120,洞口A)text(200,0,B)text(0,0,O)while (sqrt(lgx-tzx)2+(lgy-tzy)2)d) if(sqrt(lgx-tzx)2+(lgy-tzy)2)D) t=t+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); lgy=lgy+b*dt*(a*t-lgy)/sqrt(lgx2+(a*t-lgy)2); tzy=tzy+a*dt; plot(lgx,lgy,r*,tzx,tzy,b*) pause(0.1) else t=t+dt; if(e=0|e=1) a=a/2; b=1.1*b; e=0; ende=e+dt;lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx2+(tzy+a*dt-lgy)2);lgy=lgy+b*dt*(tzy+a*dt-lgy)/sqrt(lgx2+(tzy+a*dt-lgy)2);tzy=tzy+a*dt; plot(lgx,lgy,r+,tzx,tzy,b+) pause(0.1) ends=s+b*dt;endgtext(猎狗)gtext(兔子)lgx,lgy,tzx,tzy,t,s四上机实验的结果与结论1.问题（1）（3）：lgx =0.0110lgy =118.9382tzx = 0tzy =119.2000t =14.9000s = 253.300结论：（1）猎狗能追上兔子的最小速度是17米/秒； （2）在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是253.3米； （3）猎狗追赶兔子奔跑的曲线图2.问题（4）：lgx = -0.00