北师大版选修12 反证法 课件（29张）.ppt

4反证法 课前预习学案 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘果子 只有王戎站在原地没动 路人不解 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢 提示 如果李子不苦 因为树在道边 那么李子一定会被路人摘吃了 就不会有这么多李子 在证明数学命题时 先 成立 在这个前提下 若推出的结果与 相矛盾 或与命题中的 相矛盾 或与 相矛盾 从而说明 不可能成立 由此断定 成立 这种证明方法叫作反证法 1 反证法 假定命题结论的反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 命题结论的反面 命题的结论 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 等矛盾 2 反证法常见矛盾类型 使用反证法应注意的几个问题1 如果待证命题的相反判断有多种不同情况 需对各种不同情况一一导出矛盾 加以否定 才能使原判断得到充分肯定 2 有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况 但在证明过程中有必要进行分类 首先要求分类必须详尽无遗漏 并且就各类一一导出矛盾 已知条件 假设 定义 公理 定理 事实 3 有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性 对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾 即可予以否定 从而达到证明的目的 4 用直接法证明几何问题时 所画的图形应力求准确 但反证法恰好相反 我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形 才便于探索导出矛盾的途径 5 有些命题在证明过程中 可以连续运用反证法 即反证法中套反证法 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论的否定 已知条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 解析 考查反证法的基本思想 答案 c 3 用反证法证明命题 x2 a b x ab 0 则x a且x b 时应假设为 解析 否定结论时 一定要全面否定x a且x b的否定为x a或x b 答案 x a或x b 4 在不等边 abc中 a是最小角 求证 a 60 证明 假设a 60 a是不等边三角形abc的最小角 不妨设c为最大角 b a 60 c a 60 a b c 180 与三角形内角和等于180 矛盾 假设错误 原结论成立 即a 60 课堂互动讲义 用反证法证明结论中含有 至少 至多 都 等词语的问题 用反证法证明该类问题时 要注意一些常用正面词语的否定形式 已知 一点a和平面 求证 经过点a只能有一条直线和平面 垂直 思路导引 用反证法证明 唯一 型命题 证明 根据点a和平面 的位置关系 分两种情况证明 1 如图 点a在平面 内 假设经过点a至少有平面 的两条垂线ab ac 那么ab ac是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于经过点a的一条直线a 因为ab 平面 ac 平面 a 所以ab a ac a 在平面 内经过点a有两条直线都和直线a垂直 这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 有且只有 有两层含义 1 存在 2 唯一 证明存在性时只需找到一个满足题意的条件即可 而唯一性从正面证明很难 所以可以采用反证法反设结论的反面成立推导矛盾 只要找到矛盾即可 2 求证 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行 证明 点p在直线外 点p和直线a确定一个平面 设该平面为 在平面 内 过点p作直线b 使得b a 则过点p有一条直线与a平行 假设过点p还有一条直线c与a平行 a b a c b c 这与b c相交于一点p矛盾 故假设不成立 原命题正确 12分 设a b c d r 且ad bc 1 求证 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 思路导引 由条件不能正面证明结论 采用反证法假设结论不成立 将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾 否定 型命题 否定性命题从正面突破往往比较困难 故用反证法比较多 常见否定词语的否定形式如下表所示 用反证法证明时 忽略步骤致错已知实数p满足不等式 2p 1 p 2 0 用反证法证明 关于x的方程x2 2x 5 p2 0无实根 错因 利用反证法进行证明时 首先要对所要证明的结论进行否定性的假设 并以此为条件进行推理 得到矛盾 从而证明原命题成立 即反证法必须严格按照 否定 推理 否定 的步骤进行 错解在证明的过程中并没有用到假设的结论 因而证明方法不是反证法 纠