人教A版必修五 第二章 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学案.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.知识点一等比数列前n项和公式的函数特征思考若数列an的前n项和sn2n1，那么数列an是不是等比数列？若数列an的前n项和sn2n11呢？答案当sn2n1时，annn*是等比数列；当sn2n11时，annn*不是等比数列.梳理当公比q1时，设a，等比数列的前n项和公式是sna(qn1).即sn是n的指数型函数.当公比q1时，因为a10，所以snna1，sn是n的正比例函数.知识点二等比数列前n项和的性质思考若公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列吗？答案设an的公比为q，则sn，s2nsn，s3ns2n都不为0，sna1a2an，s2nsnan1an2a2na1qna2qnanqnqnsn，s3ns2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(s2nsn)，sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列，公比为qn.梳理等比数列an前n项和的三个常用性质(1)数列an为公比不为1的等比数列，sn为其前n项和，则sn，s2nsn，s3ns2n仍构成等比数列.(2)若an是公比为q的等比数列，则snmsnqnsm(n，mn*).(3)若an是公比为q的等比数列，s偶，s奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，s奇s偶a1a2a3a4a2na2n1(q1).1.对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.()2.当an为等差数列，bn为公比不是1的等比数列时，求数列的前n项和，适用错位相减法.()类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1已知数列an的前n项和snan1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列an为等比数列.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题证明当n2时，ansnsn1(a1)an1；当n1时，a1a1，满足上式，an(a1)an1，nn*.a，数列an是等比数列.反思与感悟(1)已知sn，通过an求通项an，应特别注意n2时，ansnsn1.(2)若数列an的前n项和sna(qn1)，其中a0，q0且q1，则an是等比数列.跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为sn3n1t，则t_.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案解析显然q1，此时应有sna(qn1)，又sn3nt，t.类型二等比数列前n项和的性质例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为sn，s2n，s3n，求证：sssn(s2ns3n).考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，snna1，s2n2na1，s3n3na1，ssn2a4n2a5n2a，sn(s2ns3n)na1(2na13na1)5n2a，sssn(s2ns3n).当q1时，sn(1qn)，s2n(1q2n)，s3n(1q3n)，ss2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n).又sn(s2ns3n)2(1qn)2(22qnq2n)，sssn(s2ns3n).方法二根据等比数列的性质有s2nsnqnsnsn(1qn)，s3nsnqnsnq2nsn，ssssn(1qn)2s(22qnq2n)，sn(s2ns3n)s(22qnq2n).sssn(s2ns3n).反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练2在等比数列an中，已知sn48，s2n60，求s3n.考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列解因为s2n2sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以s3n6463.例3已知等比数列an的公比q，则等于()a.3b.c.3d.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案a解析a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案126解析是首项为b2，公比为2的等比数列.类型三错位相减法求和例4求数列的前n项和.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解设sn，则有sn，两式相减，得snsn，即sn1.sn22.反思与感悟一般地，如果数列an是等差数列，bn是公比不为1的等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.跟踪训练4求和：snx2x23x3nxn (x0).考点错位相减求和题点错位相减求和解当x1时，sn123n；当x1时，snx2x23x3nxn，xsnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)snxx2x3xnnxn1nxn1，sn.综上可得，sn1.已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于()a.31b.33c.35d.37考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案b解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，s1013233.2.已知等比数列an的前n项和为snx3n1，则x的值为()a.b.c.d.考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案c解析方法一snx3n13n，由sna(qn1)，得，x，故选c.方法二当n1时，a1s1x；当n2时，ansnsn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.3.已知等差数列an的前n项和snn2bnc，等比数列bn的前n项和tn3nd，则向量a(c，d)的模为()a.1b.c.d.无法确定考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案a解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.4.设等比数列an的前n项和为sn，若q2，s10036，则a1a3a99等于()a.24b.12c.18d.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案b解析设a1a3a99s，则a2a4a1002s.s10036，3s36，s12，a1a3a5a9912.1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lgan构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和sn(qn1)(q1).设a，则sna(qn1)与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解.一、选择题1.等比数列an中，a33s22，a43s32，则公比q等于()a.2b.c.4d.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案c解析a33s22，a43s32，a4a33(s3s2)3a3，即a44a3，q4，故选c.2.设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和，若sn是等差数列，则q等于()a.1b.0c.1或0d.1考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案a解析snsn1an，又sn是等差数列，an为定值，即数列an为常数列，q1.3.在等比数列an中，已知s3013s10，s10s30140，则s20等于()a.90b.70c.40d.30考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案c解析s303s10，q1.由得q20q10120，q103，s20s10(1q10)10(13)40.4.已知sn是等比数列an的前n项和，若存在mn*，满足9，则数列an的公比为()a.2b.2c.3d.3考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案b解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.5.已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nn*)，则以下结论一定正确的是()a.数列bn为等差数列，公差为qmb.数列bn为等比数列，公比为q2mc.数列cn为等比数列，公比为qm2d.数列cn为等比数列，公比为qmm考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案c解析an是等比数列，qmnmm(n1)mqm，(qm)m.6.设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和，已知a2a41，s37，则s5等于()a.b.c.d.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案b解析an是由正数组成的等比数列，且a2a41，设an的公比为q，则q0，且a1，即a31.s37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.s58.7.数列an的前n项和为sn，若a11，an13sn(n1，nn*)，则a6等于()a.344b.3441c.45d.451考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案a解析当n1时，an13sn，则an23sn1，an2an13sn13sn3an1，即an24an1，该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.又a23s13a13，an当n6时，a63462344.8.记等比数列an的前n项和为sn，若s32，s618，则等于()a.3b.5c.31d.33考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案d解析由题意知公比q1，1q39，q2，1q512533.二、填空题9.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案2解析根据题意得q2.10.已知首项为1的等比数列an是摆动数列，sn是an的前n项和，且5，则数列的前5项和为_.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案解析1q25，q2.an是摆动数列，q2.首项为1，公比为，前5项和为.三、解答题11.已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和sn.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列an的公比为q，由题意知2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n，nn*.(2)由题意得，bnn2n，sn12222323n2n，2sn122223324(n1)2nn2n1，得sn212223242nn2n12(n1)2n1.sn2(n1)2n1，nn*.12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解(1)当n10时，数列an是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以an45.50.5(n1)450.5n.当n11时，数列an是以0.99为公比的等比数列.又a1050，所以an500.99n10，因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an(2)设sn为数列an的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得s20s10(a11a12a20)477.54950(10.9910)950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为47.54万.因为49，故到2036年不需要调整政策.13.已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，sn为它的前n项和.(1)当s1，s3，s4成等差数列时，求q的值；(2)当sm，sn，sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合(1)解由已知，得anaqn1，因此s1a，s3a(1