雪花曲线与分形云.ppt

英格兰的海岸线到底有多长 美国数学家B Mandelbrot曾出这样一个著名的问题 英格兰的海岸线到底有多长 这个问题在数学上可以理解为 用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效 这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战 此外 在湍流的研究 自然画面的描述等方面 人们发现传统几何依然是无能为力的 人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学 分形几何学 分形入门 在一个充满新奇的几何学世界 我们碰到的将不再是欧几里得几何学的直线 圆 长方体等简单规则的图形 而是海岸线 云彩 花草树木等复杂的自然形体 它们被称为分形 fractal 这些形体 传统的欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的模拟 遗憾地留下了一道道各学科的难题 分形几何学另辟蹊径 用新的观念 从新的角度 为解决这些难题提出了新的思路和方法 在许多领域获得了意想不到的成功 分形成为当代科学最有影响和感召力的基本概念之一 分形几何学成为探索复杂性的有效工具 另一方面 使科学家们惊讶并欢迎的是 分形几何为研究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具 因而在天文 地学 物理 化学 生物 医学 材料乃至语言学 经济学等领域得到了十分广泛的应用 从80年代中期开始 分形 热 了 成了科学界叫得最响的名词 吸引了几乎所有领域科学家和社会工作者的注意 有关分形出版了上百部专著 在国际期刊上发表了几千篇专业论文 20世纪有四项发明 发现足以影响后世 相对论 量子论 分形 混沌 其中 前两项属于物理 后两项属于数学 美国物理学家约翰 惠勒 J A Wheeler 说 在过去 一个人如果不懂得 熵 就不能说是科学上有教养 在将来 一个人如果不熟悉分形 他就不能被认为是科学上的文化人 分形艺术作品欣赏 数学家的模式 就像画家与诗人的一样 必须是美的 数学概念同油彩或语言文字一样 必须非常协调 美是第一性的 丑陋的数学在数学上不会有永久的位置 G H 哈代下面请大家欣赏一组神奇美丽的分形图 感悟数学美 美丽的四季 春夏 美丽的四季 秋 冬 雨季的丁香 傍晚 蝴蝶之树 炫目的分形艺术作品 复杂的大自然与欧氏几何的局限性 人类生活的世界是一个极其复杂的世界 例如 喧闹的都市生活 变幻莫测的股市变化 复杂的生命现象 蜿蜒曲折的海岸线 坑坑洼洼的地面等等 都表现了客观世界丰富多彩的现象 传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体 而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎 与欧几里得几何图形相比 拥有完全不同层次的复杂性 分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法 分形世界 分形是以无穷多的形状呈现出来的美妙物体 欧内斯托 切萨罗 意大利科学家 1859 1906 写过这样一段关于几何分形即科克雪花曲线的话 分形的本质 这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体相似 要想尽可能完全地想像它 必须意识到这个结构中的每一个小三角形包含着以一个适当比例缩小的整体形状 这个形状包含每一小三角形的缩小形式 后者又包含缩得更小的整体形状 如此下去以至无穷 就是这个在它所有无论怎样小的部分都能保持的自相似性质 使这曲线看上去如此奇妙 要是它在现实中出现 那就必须把它完全除去才能摧毁它 因为否则的话 它将会从它的三角形的深处重新不停地生长起来 就像宇宙本身的生命一样 什么是分形 在数学上说 分形是一种形式 它从一个对象 例如线段 点 三角形 开始 重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷 这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述 我们可以把分形当作不断生长的曲线 要观察一个分性 你必须真的看到它在运动中 它是连续不断地发展着的 当我们观察一张分形图片或照片时 我们看到的是它在某一瞬时的样子 它冻结在成长过程中的一个特定阶段 实质上正是这一成长或变化的思想把分形与自然界戏剧性地联系了 因为在自然界中有什么不是变化着的呢 甚至一块岩石在分子层次上也是变化着的 分形可以被设计得对你能想像出的几乎任何形状进行模拟 分形不一定受制于仅仅一个规则 而可以是一系列的规则和规定 它们形成制约它的总规则 试着创造你自己的分形 选取一个简单的对象 设计一个规则应用于其上 分形初探 科克雪 瑞典 1904年 花曲线的作法 第一步 先给出一个正三角形 记为P1 然后把三角形的每一条边三等分 以居中的一条线段为边向外作正三角形 并把居中的线段去掉 这一操作称作迭代规则 于是生成了一个有6个角12条边的对象 记为P2 雪花曲线的作法 第二步 在对象P2的基础上 将每条小边三等分 然后以居中的一条线段为边向外作正三角形 并把居中的线段去掉 又生成一新对象 记为P3 以后重复此操作 如此一直进行下去 最后生成了一个当时许多数学家认为是 怪物 的 雪花曲线 雪花曲线的数学探究 一 雪花曲线的形的特点从形的角度 粗略的看 雪花曲线 是一条封闭的连续的折线 不光滑 到处都长满了角 当迭代次数增多时 角 的个数增多 角 越来越小 曲线向外生长变得越来越慢等 二 从数的角度 怎样精确刻画其特征 首先 应从哪些方面刻画 确定研究突破点 可研究 雪花曲线 的 边长和边数 角 的个数 周长和面积下面 我们就从边长 边数 周长和面积等数量方面入手 来研究 雪花曲线 的特性 前面介绍的科赫雪花曲线 若把初始元 或生成元 E0 改为边长为1的等边三角形 对它的三边都反复施以同样的变换 直至无穷 最后所得图形称为科赫雪花曲线 图10 它被用作晶莹剔透的雪花模型 图10 在科赫曲线构造过程的每一步 每次去掉中间的1 3 用边长为初始元E0的1 3等边三角形的两边来代替时 如果用掷硬币的方法来决定新添上的部分位于被去掉部分的 上边 或 下边 经过几步后 会得到一个看起来相当不规则的随机科赫曲线 用它来模拟海岸线 国境线和城市边界线会更贴切 随机科赫曲线和随机康托尔集都是随机分形 著名的随机分形还有布朗 R Brown 粒子运动的轨迹 图11 A 只要有足够高的分辨率就可以发现 原来的直线段部分 其实都是由大量更小尺度的折线连接而成的 图11 B 它们在形态上有 统计 自相似性 这种轨迹在物理学 化学和生物学中非常重要 图11 分形的创始人 伯诺瓦 曼德布罗特 我从拉丁文形容词fractus 分裂的 造出了fractal 分形 这个词 相应的拉丁文动词fragere的意义是 使碎裂 造成不规则的碎片 多么符合我们的需要啊 这样 除了 分裂的 像在 分数 或 折射 中那样 fracus还应该有 不规则的 之意 这两个意义都继承保留了下来 伯诺瓦 曼德布罗特 分形的诞生 分形的创立也是基于一个巧合 颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获 分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题 结果却发现了几何学的一个新领域 海岸线具有自相似性 曼得勃罗特 就是在研究海岸线时创立了分形几何学 几何对象的一个局部放大后与其整体相似 这种性质就叫做自相似性 部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形 谁创立了分形几何学 分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约30年的不懈努力的结果 而曼德布罗特的开创性工作功不可没 1973年 曼德布罗特 B B Mandelbrot 在法兰西学院讲课时 首次提出了分维和分形几何的设想 分形 Fractal 一词 是曼德勃罗创造出来的 其原意具有不规则 支离破碎等意义 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学 由于不规则现象在自然界是普遍存在的 因此分形几何又称为描述大自然的几何学 曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象 例如 弯弯曲曲的海岸线 起伏不平的山脉 粗糙不堪的断面 变幻无常的浮云 九曲回肠的河流 纵横交错的血管 令人眼花撩乱的满天繁星等 它们的特点是 极不规则或极不光滑 直观而粗略地说 这些对象都是分形 分形之父 曼德布罗特简介 1 生平简介1924年出生在华沙的一个犹太家庭中 父亲是成衣批发商 母亲是牙科医生 1936年迁往巴黎 他受的教育很不正规 时断时续 他自己说从来没有学过字母表 他当过车窗维修学徒工 然而当他回忆起个人的艰辛历程时 始终记住在学校里与老师成为朋友 其中有几位是因战争而流落的杰出学者 巴黎解放后 由于他天赋好 虽然缺乏准备 却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试 笔试和口试经长达一个月 还包括绘画课 他在临摹维纳斯雕像是表现出潜在的灵巧 数学考试他成功的靠几何知觉掩盖了缺乏训练 不管给出什么解析问题 他几乎总可以用脑海中的形象加以思考 给出一个图形 它可以设法变换它 改变它的对称 使他更为和谐 他的变换往往直接导致问题的解决 在此后的学业和工作中 他沿着自己的路走去 由于学术思想上的尖锐冲突 他离开法国到美国居住 1958年 他接受国际商用机器公司 IBM 沃森研究中心的聘请 开始他的异国科学研究生涯 2 博学 执著的科学探险者 他孤独的搜寻道路 他尝试过语言学 解释词的一种分布规律 在哈佛大学教过经济学 在耶鲁大学教过工程学 在爱因斯坦医学院教过生理学 等等 他自己说过 当我听到过去从事过的一连串职业时 常常怀疑自己是否存在 这些集合的交集肯定是空集 他在IBM公司工作的初期 主要是研究商品价格 不久碰上公司非常关心的一个实际问题 工程师们被计算机和计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题所困扰 工程师们采用加强信号来淹没噪声的方法 但某些自发噪声怎么也无法消除 而且偶尔会抹掉信号 而造成误差 他提出一种描述误差分布的方式 可以对观察到的模式作出预言 这种描述 正是以19世纪数学家康托尔命名的抽象构造 这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的 分析表明 不应靠加强信号来淹没噪声 而应采用适当的信号为好 弯弯曲曲的海岸线 蜿蜒起伏的山峦轮廓线 变换飞渡的浮云 袅袅上升的烟柱 一泻千里的江河 他反复观察 持续思考 试图从中悟出大自然的真谛 1967年 他在美国 科学 杂志上发表了一篇题为 英国的海岸线有多长 的论文 他对海岸线的本质作了独特的分析而震惊学术界 这篇论文成为分形诞生的标志 3 成功者荣誉的光环 1977年 他出版了奠基性著作 分形 形 机遇与维数 Fratal Form ChanceandDimension Freeman SanFrancisco 1977 提出了分形的三要素 即构形 机遇和维数 紧接着于1982年又出版了 自然界的分形几何学 TheFractalGeometryofNature Freeman SanFrancisco 1982 这两部著作的发表标志着分形论迈进了现代新兴科学之林 曼德布罗特的持续奋斗 获得了巨大的成就 赢得了崇高的荣誉 他是IBM公司的高级研究员 哈佛大学应用数学教授 美国国家科学院院士 美国艺术与科学研究员院士 近年来 他获得了许多荣誉奖 获1985年巴纳德奖 以表彰他以科学造福于人类取得新成就 1986年获富兰克林奖 1988年获科学为艺术奖等 Mandelbrot集 Mandelbrot集 Mandelbrot集 Julia集合 一棵厥类植物 仔细观察 你会发现 它的每个枝杈都在外形上和整体相同 仅仅在尺寸上小了一些 而枝杈的枝杈也和整体相同 只是变得更加小了 那么 枝杈的枝杈的枝杈呢 自不必赘言 自然界中的分形 高山的表面 您无论怎样放大其局部 它都如此粗糙不平等等 天空中的云朵 股票价格曲线例如 在道 琼斯指数中 某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似 岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布 动物也不例外 一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息 这些例子在我们的身边到处可见 分形几何揭示了世界的本质 分形几何是真正描述大自然的几何学 分形的应用 分形在股票市场的应用股票交易收益实例分析表 分形在地震预报中的应用分形生长及其应用 1 癌症增殖模型 艾登模型 2 DLA模型 3 渗流模型 分形几何的价值与研究 分形几何的基本思想 1 客观事物具有自相似的层次结构 局部与整体在形态 功能 信息 时间 空间等方面具有统计意义的相似性 2 分数维是刻划分形的特征量 分形几何与欧氏几何的比较 描述对象特征长度表达方式维数欧氏几何学人类创造的有用数学公式0或正整数简单的标准物体 1或2或3 分形几何学大自然创造无用迭代语言一般是分数的复杂的真实物体 也可以是整数 分形在哲学上的意义 复杂与简单的统一 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性 分形最显著的性质是 本来看来十分复杂的事物 事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述 其实简单并不简单 它蕴含着复杂 分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子 分形高度复杂 又特别简单 无穷精致的细节和独特的数学特征 没有两个分形是一样的 是分形的复杂性一面 连续不断的 从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成 又是分形简单的一面 分形在认知哲学上的意义分形几何建立以后 很快就引起了许多学科的关注 这是由于它不仅在理论上 而且在实用上都具有重要价值 超级观察者是传统哲学和经典物理学的一个基本前提 即假定有一位理想的观察者能够不受观察对象的任何影响 经过精密观察和严密思考能够对观察对象的属性给出绝对正确的界定 从笛卡尔以来 这个超级观察者基本上已被等同于人类理性 而当理性难以说明问题的时候 哲学家和科学家都不约而同地抬出上帝的观念来搪塞 比如牛顿为了解决第一推动力的问题 不得不回到神学 爱因斯坦反对量子力学的重要理由就是 上帝不掷骰子 然而 这种超级观察者神话在现代物理学那里 已经遭到了决定性的打击 1 观察尺度著名的海岸线问题 英国的海岸线有多长 这个问题是没有答案的 它完全取决于观察尺度的选取 显然 用人的脚步来测量 和让一只蚂蚁来测量 得出的结果将有天壤之别 因为蚂蚁会爬过比人多得多的弯曲 从而测量的结果将比人的结果大得多 假设有一种无限小的生物 那么测量结果将是无穷大 不要忘了 在蚂蚁眼中 我们是比鲸还要大的庞然大物 关于观察尺度 格列佛游记 里面有精彩的描述 当格列佛到了巨人国 他