高中数学新教材的教学建议.ppt

高中数学新教材的教学建议 南京外国语学校陈光立210008guanglichen1943 实行新课程标准 提高教学质量 教育理念是灵魂 教材建设是关键 教师素质是根本 课堂教学是核心 教学评价是导向 现代化技术是推进器 祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献 给我们所有的学生一双能用数学视角观察世界的眼睛 一个能用数学思维思考世界的头脑 一副为谋国家富强人民幸福的心肠 张孝达 数学知识是人类认识的一种成果 包括人对周围事物 数 与 形 方面的经验和 有秩序的论理体系 两个方面 当前 人们把数学知识分为明确知识 如数学事实 数学原理等 和默会知识 如数学思想方法 解决问题的策略等 这是比较科学的 数学知识 技能类化 系统化 概括化 的结果就成为数学能力 一个人数学素养的高低 主要体现在是否能 数学地看问题 和 数学地思维 数学知识和数学能力是数学素养的基本要素 数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式 属实践活动范畴 更容易操作与评价 离开数学能力 数学素养在数学活动中就无从表现 观察 确证和把握 在数学活动中体现的数学素养对数学知识具有决定性依赖关系 数学知识在人的整体素质方面有不可替代的基础性地位 数学知识的获得主要依赖于学校教育的系统传授 这样 人在数学上的发展才得以突破个体经验的局限 学会分析和理解数量与空间关系 具有理解自然和洞察社会的能力 养成数学地思考和行动的习惯 个体数学素养的高低 取决于他所占有的数学知识的广度与深度 正是在数学知识的学习和应用过程中 个体才建构了自己的数学认知结构及相应的数学思考和行为习惯 数学教育方法的核心是学生的再创造 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教 不应该将各种定义 规则 算法灌输给学生 而是应该创造合适的条件 让学生在学习数学的过程中 用自己的体验 用自己的思维方式 重新创造有关的数学知识 Freudenthal M Kline在 西方文化中的数学 中指出 数学是一种精神 一种理性精神 正是这种精神 激发 促进 鼓舞并驱使人类的物质 道德和社会生活 试图回答人类自身存在提出的问题 努力去理解和控制自然 尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵 数学的理性精神被看成西方文明的核心 对数学价值的认识 数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响 数学是探索自然现象 社会现象基本规律的工具和语言 纯粹数学的重要作用 传统观念 上课就是不折不扣执行教案或者事先设定的教学思路的过程 教学活动是教师主导的独角戏 而且主要是完成知识传授而不需顾及学生情感的独角戏 新的教育理念 教学过程是展示学生的过程 是让学生展示的过程 焕发出生命活力的课堂才是理想的课堂 改进学生学习方式是数学教育改革的核心 我国的数学教育比较强调教师的传授 强调经过学生艰苦努力 反复的练习而达到对数学知识的理解 而对学生的自主探究 合作交流等重视不够 学生学得比较被动 所以 把发挥学生主动性 变被动学习为主动学习 重视学生亲身实践 给学生提供探索的空间 使数学学习过程成为学生在自己已有经验 包括数学的和非数学的 基础上的主动建构过程等作为改革的重点 有现实意义 然而 改进学生学习方式并不等于排斥接受学习 实际上 接受学习并不一定就是被动的 举一反三 融会贯通 触类旁通 等都是能动的接受学习的写照 学习方式的被动或主动 关键并不在于它是 接受的 还是 发现的 而在于教学活动中学生主体的数学思维参与程度 提高数学素养 课堂教学总的要求 提供知识背景 创设问题情境 展示思维过程 培养数学能力 高中数学新教材 苏教版 的教学建议 一 从几个案例谈起二 数学教学指导思想三 数学教学的若干策略四 充分利用教科书提供的平台五 教学设计要点六 几点思考 高中阶段数学课程要从提高民族的数学素养出发 内容的选择要适合社会的需求 时代的发展 充分体现基础性 时代性 不仅应该关注知识 技能 而且还要关注过程 方法 解决问题的能力 以及学生的情感 态度 价值观 一句话 要提高学生的数学素养 关于教育目标 新课程明确提出要实现三维目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 构建起课堂教学比较完整的目标体系 由以知识本位 学科本位转向以学生的发展为本 真正对知识 能力 态度进行了有机整合 体现了对人的生命存在及其发展的整体关怀 数学具有抽象性 严谨性 广泛适用性和高度精确性的特点 通过数学教育 可以让学生学会数学基础知识 掌握处理问题的数学工具 培养几何直观能力 分析思考能力 逻辑推理能力和计算能力等 潜移默化地培养理性精神 实事求是的态度 正直诚实的品格 追求真理的勇气和信心 寻求一般性模式 追求简洁与形式完美的思维方式和行为习惯 追究逻辑的严谨性和结论的可靠性的意识 等等 数学教育目标还是从数学基础知识 基本技能 数学能力和理性精神 即双基 能力和理性精神 进行界定更能反映数学学科特点 同时也能体现显性目标 双基 与隐性目标 数学能力 理性精神 并重 层次清晰 易于把握 可操作性强 容易使隐性目标融合在显性目标中而得到具体落实 新课标初中数学的六个核心概念 数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 新课标初中数学的四个内容领域 数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与综合应用 新课标初中数学的总体目标可细化为 知识与技能 数学思考 解决问题 情感与态度 关于初中数学 苏教版高中数学教科书的特点 在内容处理上 力图做到 入口浅 寓意深 在结构设计上 注重整体贯通 互相联系教科书给学生留有足够的空间 促进学生主动参与教科书为教师留有较为广阔的空间 促进教师创造新的教学范式教科书充分考虑学生的不同需求 为所有学生发展提供帮助 为学生的不同发展提供较大的选择空间教科书突出数学本质 返璞归真 适度形式化教科书注重现代信息技术与课程的整合教科书努力体现数学的文化价值 提升学生的人文素养 关于苏教版高中数学教材 回顾反思 问题情境 学生活动 意义建构 数学理论 数学运用 提出问题 体验数学 感知数学 建立数学 理解数学 应用数学 内容组织主要形式 问题情境 包括实例 情景 问题 叙述等意图 提出问题学生活动 包括观察 操作 归纳 猜想 验证 推理 建立模型 提出方法等个体活动 也包括讨论 合作 交流 互动等小组活动 意图 体验数学意义建构 包括经历过程 感受意义 形成表象 自我表征等 意图 感知数学 数学理论 包括概念定义 定理叙述 模型描述 算法程序等 意图 建立数学数学运用 包括辨别 解释 解决简单问题 解决复杂问题等 意图 运用数学回顾反思 包括回顾 总结 联系 整合 拓广 创新 凝缩 由过程到对象 等 意图 理解数学 一 从几个案例谈起 函数与基本初等函数 数学中的转折点是笛卡尔的变数 有了变数 运动就进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 恩格斯 函数概念是近代数学思想之花 托马斯 名人名言 本章开始给出三个背景例子 人口统计表 自由落体运动公式 温度曲线图 通过对这三个例子的共同特征的分析 引出函数概念 进而利用这三个例子 研究函数的三种表示法和函数的性质 此后 给出函数的应用 指数函数 对数函数等 在学生获得函数的一般研究方法后 又回到开头所提出的问题中 建立模型解决问题 整个内容一气呵成 其主线是函数概念与性质 而入口是学生非常熟悉的情景 简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法 并引出了函数的整个内容与研究方法 学生在这三个例子的反复学习中 不仅对函数概念与性质的理解不断加深 而且获得数学研究的一般方法 设计意图 事物都是运动变化着的 我们可以感受到它们的变化 清晨 太阳从东方冉冉升起 温度随时间在悄悄地改变 随着二氧化碳的大量排放 地球正在逐渐变暖 中国的国内生产总值逐年增长 在所有这些变化着的现象中 都存在在着两个变量 当一个变量变化时 另一个变量随之发生变化 章首语 怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系 这样的数学模型具有怎样的特征 如何借助这样的模型来进一步描述和解释我们周围的世界呢 新授课内容呈现前的辅助性问题要抓住新旧知识的联系 从学生原有认知结构中相关联的观念出发 通过辅助性问题的铺垫 激活新知识的生长点 促进知识的正迁移 新授课内容的呈现要尽可能从学生熟悉的问题情境出发 密切联系学生的生活实际 丰富学生的亲身感受与体验 同时加强学生的应用意识 案例1函数的概念 提出问题1 在初中我们是如何认识函数这个概念的 一 问题情境教师提出本节课的研究课题 在初中 我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型 今天我们将进一步学习有关函数的知识 二 学生活动1 让学生就问题1略加讨论 作为讨论的一部分 教师出示教材中的三个例子 并提出问题2 2 问题2 在上面的例子中 是否确定了函数关系 为什么 通过对问题2的讨论 帮助学生回忆初中所学的函数概念 再引导学生回答问题1 函数的传统定义 变量的观点 f t t 0 24 三 建构数学1 建构问题3 如何用集合的观点来理解函数的概念 问题4 如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点 结论 函数是建立在两个非空数集之间的单值对应 1 2 反思 1 结论是否正确地概括了上面例子的共同特征 2 比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异 3 一次函数 二次函数 反比例函数等是否也具有上述特征 4 进一步 你能举出一些 函数 的例子吗 它们具有上述特征吗 作为例子 可以讨论课本P24练习 一般地 设A B是两个非空的数集 如果按某种对应法则f 对于集合A中的每一个元素x 在集合B中都有惟一的元素y和它对应 这样的对应叫做从A到B的一个函数 function 通常记为y f x x A 其中 所有的输入值x组成的集合A叫做函数y f x 的定义域 domain 问题5 如何用集合的观点来表述函数的概念 给出函数的定义 指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素 四 数学理论 函数的近代定义 集合语言 对应的观点 五 数学运用1 定义的直接应用例1 课本P23例1 例2 课本P23例2 2 已知函数确定函数的值域 例3 课本P23例3 注意把握难度 六 总结反思1 初中的 函数定义和今天的定义有什么区别 2 你认为对一个函数来说 最重要的是什么 在函数性质的教学中 首先引导学生体会函数作为描述客观世界变化规律的数学模型 只要认识了函数的性质 相应的现实问题的变化规律也就被把握住了 对于运动变化问题 最基本的就是要描述变化的快或慢 增或减 相应的 函数的重要特征就包含 函数的增与减 单调性 函数的最大值 最小值 函数的增长率 衰减率 函数增长 减少 的快与慢 函数的零点 函数 图象 对称性 奇偶性 函数值的循环往复 周期性 等等 通过这样的教学使学生明确函数性质所要研究的问题 从而明确学习方向 在研究方法上 可以提醒学生注意利用函数图象 用几何直观 数形结合的思想来指导研究 例如可以通过 三步曲 观察图象 描述变化规律 上升 下降 结合图 表 用自然语言描述变化规律 y随x的增大而增大或减小 用数学符号语言描述变化规律 逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律 一 问题情境1 情境 第2 1 1开头的第三个问题 2 问题 说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的 你在图象中 读到哪些信息 怎样用数学语言刻画上述时段内 随着时间的增大气温逐步升高 这一特征 案例2函数的单调性 二 学生活动问题1 观察下列函数的图象 如图1 指出图象变化的趋势 问题2 你能明确说出 图象呈逐渐上升趋势 的意思吗 在某一区间内 当x的值增大时 函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势当x的值增大时 函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势 函数的这种性质称为函数的单调性 三 建构数学问题3 如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢 怎样表述在区间 0 上当x的值增大时 函数y的值也增大 能不能说 由于x 1时 y 3 x 2时 y 5就说随着x的增大 函数值y也随着增大 能不能说 由于x 1 2 3 4 5 时 相应地y 3 5 7 9 就说随着x的增大 函数值y也随着增大 如果有n个正数x1 x2 x3 xn 它们的函数值满足y1 y2 y3 yn 能不能就说在区间 0 上随着x的增大 函数值y也随着增大 无限个呢 通过讨论 结合图 2 给出f x 在区间I上是单调增函数的定义 如果对于区间 o 上任意两个值x1和x2 当x1 x2时 都有y1 y2 那么可以说随着x的增大 函数值y也增大 问题4 如何定义单调减函数 给出函数单调性和单调区间的概念 四 数学理论 函数的单调性是函数的 局部性质 它与区间密切相关 五 数学运用1 例题例1作出下列函数的图象 并写出函数的单调区间 1 y x2 2 2 提问 能不能说 函数 x 0 在整个定义域上是单调减函数 引导讨论 从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论 如取x1 1 x2 2 例2观察下列函数的图象并指出它们是否为定义域上的增函数 1 y x 1 2 2 y x 1 12 练习练习第1 第2 第5题 六 回顾小结本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法 问题情境 学生活动 建构数学 数学理论 数学应用 回顾小结 对案例的分析 与教材编写的程序是一致的 从课 例题 到章到学科 1 课例展开的程序 模式 案例1函数的概念问题1 在初中我们是如何认识函数这个概念的 问题2 在上述例子中 是否确定了函数关系 为什么 问题3 如何用集合的观点来理解函数的概念 2 问题串 问题4 如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点 1 结论是不是正确地概括了例子的共同特征 2 比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异 3 一次函数 二次函数 反比例函数等是否也具有上述特征 4 进一步地 你能举出一些 函数 的例子吗 问题5 如何用集合的观点来表述函数的概念 问题6 你认为对一个函数来说 最重要的是什么 案例2函数的单调性 问题 说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的 怎样用数学语言刻画 随着时间的增大气温逐步升高 这一特征 问题1 观察下列函数的图象 指出图象变化的趋势 从图象中 你读到了哪些信息 问题2 你能明确说出 图象呈逐渐上升趋势 的意思吗 问题3 如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢 能不能说 由于x 1时 y 3 x 2时 y 5就说随着x的增大 函数值y也随着增大 能不能说 由于x 1 2 3 4 5 时 相应地y 3 5 7 9 就说随着x的增大 函数值y也随着增大 如果有n个正数x1 x2 x3 xn 它们的函数值满足y1 y2 y3 yn 能不能就说在区间 0 上随着x的增大 函数值y也随着增大 无限个呢 通过讨论 结合图 2 给出f x 在区间I上是单调增函数的定义 问题4 如何定义单调减函数 教学的艺术全在于如何恰当地提出问题和巧妙地引导学生作答 开课敲响 第一锤 续课奏出 最强音 结课留下 满口香 如果对于区间 o 上任意两个值x1和x2 当x1 x2时 都有y1 y2 那么可以说随着x的增大 函数值y也增大 设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课 因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开 可以说 在初始问题确定以后 课的大体发展方向和框架就已经确定了 它是会按照自身的逻辑展开的 教师在设计好初始问题 以及提出问题的方案 准备好概略性解决方案 不止一个 和几种适应学生状况的思维模式以后 再重点地弄清关键部分的细节 就可以去上课了 当然 在上课时你可能会遇到不少意外的情况 但是只要坚持过程性教学原则 不回避问题和矛盾 只要熟悉并应用数学文化的规范 就一定会上好课 而且会出乎意料的精彩 自然和富有创造性 课堂提问是在课堂教学过程中 根据教学内容 目的 要求设置问题进行教学问答的一种形式 它是教学过程的有机组成部分 是整个教学过程推进和发展的重要动力 是影响课堂教学的重要因素之一 它具有强化知识信息的传输 评价学生学习的状态 调控课堂教学的进程 激发思维活动的开展 沟通师生感情的交流等多项功能 3 重视思维活动重视问题在数学教学中的作用教学过程就是提出问题和解决问题的过程重视提出问题的过程重视对解决问题过程的调控 4 重视突出学科的结构从章到节到问题模式化的方法和程序 4 1 5平面上两点间的距离 已知A 1 3 B 3 2 C 6 1 D 2 4 四边形ABCD是否为平行四边形 除了用对边是否平行的判定方法 还可以通过对边是否相等来判别 下面我们先计算点A 1 3 B 3 2 间的距离 转化到坐标轴 特殊到一般 由此我们得到平面上P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点间的距离公式 严格证明 得到结论 案例3直线与方程 现在我们再来考察本小节开头的问题 由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 所以 只需说明对角线AC和BD的中点相同 即可推得四边形ABCD是平行四边形 怎样来求线段AC中点的坐标呢 转化到坐标轴 特殊到一般 类比猜想 严格证明 一般地 对于平面上的两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 线段P1P2的中点是M x0 y0 则 A 1 3 C 6 1 AC中点为 第一步 证明方法凸现解析几何的基本思想 第二步 4 1 6点到直线的距离 活动课的设计 我们已经证明了图4 1 23中的四边形ABCD为平行四边形 如何计算它的面积呢 方法1作垂线 得交点 转化为两点间距离 方法2作坐标轴的平行线 构造直角三角形 转化为斜边上的高 用两点间的距离公式可求得AB 因此 只要知道AB边上的高 即点D 或点C 到直线AB的距离 就能算出这个平行四边形的面积 如何计算点D到直线AB 5x 4y 7 0的距离呢 用方法2严格证明公式 旁白 当A 0 B 0时 公式也成立进一步提出 思考 你还能通过其它途径求出点P到直线l的距离吗 一般地 对于直线l Ax By C 0 A 0 B 0 和直线外一点P x0 y0 点P到l的距离为 例1直接应用公式求点到直线的距离 例2求平行线间的距离 转化 例3解析法证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 世界充满着变化 有些变化几乎不被人们所感觉 而有些变化却让人们发出感叹与惊呼 例如苏州市2004年4月20日最高气温为33 4 而此前的两天 4月19日和4月18日最高气温分别为24 4 和18 6 短短两天时间 气温 陡增 14 8 闷热中的人们无不感叹 天气热得太快了 但是 如果我们将该市2004年3月18日最高气温3 5 与4月18日最高气温18 6 进行比较 我们发现两者温差为15 1 甚至超过了14 8 而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢 原来前者变化得 太快 而后者变化得 缓慢 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢 这样的数学模型有哪些应用 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态 而且也表明过程 运动 恩格斯 案例4导数及其应用 如何量化陡峭程度呢 容易看出B C之间的曲线较A B之间的曲线更加 陡峭 陡峭的程度反映了气温变化的快与慢 4 1 1平均变化率 在前面的案例中 气温陡增 的数学意义是什么呢 为了弄清这个问题 我们先来观察下面的气温曲线图 以3月18日作为第一天 例1婴儿从出生到第24个月的体重变化 如图 试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率 例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙 如图 t秒钟后容器甲中水的体积为V t 5e 0 1t 单位cm3 计算第一个10秒内V的平均变化率 例3已知函数f x x2 分别计算函数f x 在下列区间上的平均变化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 1 1 001 例4已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在下列区间上函数f x 及g x 的平均变化率 1 3 1 2 0 5 4 1 2瞬时变化率 导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢 为了研究曲线上某一点P处的变化趋势 我们将点P附近的曲线放大后进行观察 我们发现 曲线在点P附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大 我们发现点P附近的曲线看上去几乎成了直线 事实上 如果继续放大 可以发现点P附近的曲线将接近 逼近 一条确定的直线L 该直线L是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 1 曲线上一点处的切线 因此 我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线 也就是说 在点P附近 曲线可以看作直线 即在很小范围内以直代曲 既然点P附近的曲线被看作直线L 从而 该直线L的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的 变化趋势 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线L呢 如图4 1 7 设Q为曲线C上另一点 随着点Q沿曲线C向点P运动 直线PQ 又称割线 在点P附近越来越逼近曲线C 当点Q无限逼近点P时 直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线L 这条直线L也称为曲线在点P处的切线 有了割线逼近切线的方法 我们可以来计算曲线上一点处切线的斜率 例1已知f x x2 求f x 在x 2处的切线斜率 2 瞬时速度在物理学中 运动物体的位移与所用时间的比 称为平均速度 平均速度是物体运动快慢程度的量化 但它是针对某一时间段而言的 在变速运动中 每一时刻的速度都是不同的 那么如何精确刻画每一时刻的速度呢 例210米高台跳水 运动员从腾空到入水的过程中 不同时刻的速度是不同的 假设t秒后运动员相对于水面的高度为H t 4 9t2 6 5t 10 试确定t 2秒时运动员的速度为多少 例3设一辆轿车在高速公路上作匀加速直线运动 假设t秒时的速度为v t t2 3 求t t0秒时轿车的加速度 若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的变化而变化 因而也是自变量x的函数 该函数称为的导函数 记作f x 二 教学指导思想 1 数学教学的基本目标是促进学生的发展数学的价值工具价值思维价值文化价值数学教育的价值知识能力精神品格 观念 2 数学教学是师生双边活动的过程数学教学活动应是学生经历 数学化 再创造 的活动过程教师不仅是教学活动的设计者 组织者 而且是学生的合作者 因势利导地帮助学生创设问题情境 激活学生的思维帮助学生进行思维的监控和反思 情感上对学生给予鼓励 帮助学生树立克服困难的信心 现代数学文化的代表在教学中教师的语言 行为 思维方式 感情 价值观都会潜移默化地影响学生 3 数学教学是数学文化背景下的思维活动数学教学是思维活动的教学数学的价值 教学的价值是由思维活动产生的 思维活动是数学活动的主体 数学思维是数学文化传统下的思维数学文化传统形成了数学思维的规范 数学观念 思维方式的形成过程可以看成是对数学文化的传承 思维和文化是数学教育的双翼微观和宏观继续和创新 三 数学教学的若干策略 总策略 促使学生形成积极主动 勇于探索的学习方式 1 以问题为中心数学的心脏数学活动的载体数学思维活动的成果数学发现模式和数学教学程序问题背景 建构数学模式 运用模式解决问题问题背景 学生活动 建构数学 数学理论 数学运用 回顾反思 2 突出数学的基本结构知识结构思维结构数学思想和数学观念数学整体的价值 立体几何结构图 核心概念胚胎和生长点逻辑的发展例子 解析几何 三角函数 四 充分利用教科书提供的平台 弄清教材的定位和特点突出学科的核心概念突出学科的基本方法准确掌握教学要求例子 三角函数 解析几何立体几何 老教材的引言 三角函数 教材的定位 三角函数 教材的定位 实验教材1提供背景 广泛存在的周期性现象 提出问题 如何用数学的方法来刻画这种变化的规律 明确任务 研究三角函数 刻画周期性变化规律的数学模型 的意义 性质和应用 提出了研究纲领 学习的起点是 三角函数究竟是什么 教材的定位是 学习和研究是描述周期现象的重要数学模型 三角函数 三角函数 苏教版教材的定位 苏教版教材的定位 展示对周期现象进行数学研究的过程 即建构刻画周期性现象的数学模型的 思维 过程 提供背景 自然界广泛地存在着周期性现象 圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子 提出问题 用什么样的数学模型来刻画周期性运动 明确任务 建构这样的数学模型 教学的起点 对周期性现象的数学 分析 研究 教科书的特点 作为定位的具体体现 教材形成了鲜明的特点 1 采用以问题链为线索的呈现方式2 以 数学地研究 的一般程序来组织 选取教学内容 3 突出周期性4 加强几何直观 强调数形结合 既然教材要展示 思维过程 而思维是从问题开始的 思维的过程就是不断地提出问题 解决问题的过程 所以教材采用了以问题链展开的呈现方式 注意提出问题的环节 注意问题间的逻辑联系 强化目标 建构刻画周期性现象的数学模型 的指向作用 例子 任意角的三角函数 实验教材1 8 2任意角三角函数 苏教版 问题串怎样刻画圆周上点的运动 怎样建构刻画周期性现象的数学模型 怎样表示圆周上的点 用怎样的数学模型建立 x y 与 r 之间的关系 用 r 与用坐标 x y 都可以表示圆周上的点P 那么这两种表示有什么内在联系 确切地说 用怎样的数学模型建立 x y 与 r 之间的关系 五 教学设计要点 教学过程设计的核心是要充分展现和暴露思维过程 让学生在获得知识的同时掌握思维方法 发展思维品质 提高学习能力 获得创造性活动的体验 五 教学设计要点 1 问题情境的创设数学教学设计就是问题的设计教学中的问题对问题的要求初始性结构性情境性简单而有深度应用问题和结构问题多方位地设置问题问题串 平面解析几何初步 现实世界中 到处有美妙的曲线 从飞逝的流星到雨后的彩虹 从古代的石拱桥到现代 这些曲线都和方程息息相关 行星围绕太阳运行 人们要认识行星的运行规律 首先就要建立行星运行的轨道方程 在建造桥梁时 我们首先要确定桥拱的方程 然后才能进一步地设计和施工 引进平面直角坐标系 用有序实数对 x y 表示平面内的点 根据曲线的几何性质 可以得到关于x y的一个代数方程f x y 0 反过来 把代数方程f x y 0的解 x y 看作平面上点的坐标 这些点的集合是一条曲线 我们知道直线和圆是基本的几何图形 那么 如何建立它们的方程 如何通过方程来研究它们的性质 直线是最常见的图形 过一点沿确定的方向就可以画出一条直线 如何用数学语言刻画直线的方向 进而建立直线的方程 如何利用直线的方程研究直线的位置关系 确定直线位置的要素除了点之外 还有直线的倾斜程度 通过建立直角坐标系 点可以用坐标来刻画 那么 直线的倾斜程度如何来刻画呢 4 1 1直线的斜率 4 1直线与方程 问题串 解析几何 直线 如何建立它们的方程 如何通过方程来研究它们的性质 直线是最常见的图形 过一点沿着确定方向就可以画出一条直线 如何用数学语言刻画直线的方向 进而建立直线的方程 如何用直线方程来研究直线的位置关系 确定直线位置的要素除了点以外 还有直线的倾斜程度 通过建立直角坐标系 点可以用坐标来刻画 那么直线的倾斜程度如何来刻画呢 在平面直角坐标系中 我们可以类似地利用这种方法来刻画直线的倾斜程度 如图4 1 2 1 已知两点P x1 y1 Q x2 y2 如果x1 x2 那么直线PQ的斜率 slope 为 如果x1 x2 那么直线PQ的斜率不存在 如图4 1 2 如图4 1 2 1 对于与x轴不垂直的直线PQ 它的斜率也可看做是 对于一条与x轴不垂直的定直线而言 它的斜率是一个定值 由该直线上任意两点确定的斜率总是相等的 如何建立它们的方程 如何通过方程来研究它们的性质 圆是最完美的曲线 它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合 定点就是圆心 定长就是半径 如何建立圆的方程 如何利用圆的方程研究圆的性质 河北省的赵县的赵州桥 是世界著名的古代石拱桥 也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥 赵州桥的跨度是37 4m 圆拱高约为7 2m 如何写出这个圆拱所在圆的方程 问题串 解析几何 圆 问题串 立体几何 空间几何体是由哪些几何体构成的 如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系 复杂的几何体 通常是由一些简单几何体 如柱 锥 台 球 组合而成的 柱 锥 台 球分别具有怎样的结构特征 如何在平面上表示空间几何体 如何计算柱 锥 台 球的表面积和体积 仔细观察下面的几何体 它们有什么共同的特点 问题串 立体几何 2 空间几何体是由哪些几何体构成的 如何描述刻画这些基本几何体的形状和大小 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系 在上一节中 我们已经对简单的几何体有了直观的认识 简单的几何体是由空间的点 线 面所构成的 本节我们将对点 线面的位置关系作进一步的讨论 空间的点 直线和平面具有怎样的位置关系 如何用数学语言来表述和研究这些位置关系 用两个合页和一把锁就可以把一扇门固定 将一把直尺置于桌面上 通过是否漏光就能检查桌面是否平整 为什么 椅子放不稳 是地面不平还是椅子本身有问题 2 学生活动的组织学生活动是为了解决问题而展开的 以建构数学为目的 活动方式 观察 操作 归纳 猜想 验证 推理 建立模型 提出方案 查阅资料 讨论 合作交流 调查 教师的价值判断 学生活动要符合数学文化的规范 学生活动要体现学生的个性 多样性 学生活动应该有利于思维活动的展开 例子 学生活动要照顾到不同发展层次的学生 以解决问题为最终目标还是以学生的发展为最终目标 合理和有用 成功与失败 失败的价值 3 建构数学的过程 胚胎和生长点经历过程 从直觉到逻辑 再发现 感受意义 反思领悟 形成表象 建构的成果 例 函数 单调性 垂直自我表征 初步的概括 生长中的数学 朴素的数学 未包装的数学数学建构活动中的核心环节最终 建立数学 4 数学理论的呈现定义 定理叙述 模型描述 算法程序等 抽象 形式化的表述 5 数学运用包括辨别 解释 变式训练 解决简单问题 解决复杂问题等 解题的重要性训练性问题和发展性问题最终 应用数学 6 回顾小结 反思 包括回顾 总结 联系 整合 拓广 创新 凝缩 由过程到对象 等 反思贯穿于始终提出新问题 形成观念 最终 理解数学 六 几点思考 1 与时俱进认识双基2 促进学生数学地思维3 发展以学生为主体的教学4 注重现代信息技术的使用5 注重体现数学的文化价值 1 与时俱进认识双基 1 传统的双基终极目标是知识 是技巧 我们认为双基的终极目标是过程 载体 通过双基的学习与训练 使学生获得能力 解决问题的思想方法 学会研究方法 从而上升到思想层面 通过数学学习 学生有灵性了 会思考了 我们的编写着眼于怎样让学生