题目刚体力学gai.ppt

例题1 如图 固定斜面倾角为 质量为m半径为R的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动 求圆柱体质心的加速度ac及斜面作用于柱体的摩擦力F 解 根据质心运动定理 y轴上投影 对质心轴的转动定理 无滑滚动 例2 质量为m的汽车在水平路面上急刹车 前后轮均停止转动 前后轮相距L 与地面的摩擦因数为 汽车质心离地面高度为h 与前轮轴水平距离为l 求前后车轮对地面的压力 解 汽车受力如图 根据质心运动定理 O C x y x y y轴投影 对质心轴的转动定理 由上面方程可解出 根据牛顿第三定律 前后轮对地面的压力大小分别为FN1 FN2 但方向向下 例题3 在例题1中 设圆柱体自静止开始滚下 求质心下落高度h时 圆柱体质心的速率 解 因为是无滑滚动 静摩擦力F不做功 重力W做功 由动能定理有 无滑滚动条件 7 6刚体的平衡条件 刚体平衡的充要条件 一般指刚体静止 共面力系 所有力的作用线位于同一平面内 Oxy 1 对共面力系 在直角坐标系O xyz中平衡条件化为 刚体平衡条件的其它形式 是力对z轴力矩的代数和为零 z是垂直于Oxy面的任意轴 2 在力 共面力 的作用平面内选O和O 两个参考点 OO 连线不与Ox轴相互垂直 3 在力 共面力 的作用平面内选O O 和O 三个参考点 O O 和O 三点不共线 刚体平衡条件 3 2 1 4 任意力 共面力 共面力 共面力 不垂直 不共线 例题 将长为l 质量为m1的均匀梯子斜靠在墙角下 已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为 1和 2 为使质量为m2的人爬到梯子顶端时 梯子尚未发生滑动 试求梯子与地面间的最小夹角 解 平衡条件 联立求解得 1 刚体定轴转动几个重要定理和定律 质心运动定理 转动定律 动能定理 角动量守恒定律 3 刚体平面运动几个定理和定律 质心运动定理 转动定律 动能定理 2 刚体的质心和定轴转动的转动惯量的计算 转动惯量的其它计算方法 4 刚体平衡条件 3 2 1 4 任意力 共面力 共面力 共面力 不垂直 不共线 例题1 求质量均匀 半径为R的半球的质心位置 解 设半球的密度为 将半球分割成许多厚为dx的圆片 任取其一体积元 由对称性得 例题2 在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R 2的小圆板 大小圆板相切 如图所示 求余下部分的质心 解 建立坐标系如图 设平板面密度为 由对称性 yc 0 余下部分 小圆板 大圆板 例题3 一圆盘形均质飞轮质量为m 5 0kg 半径为r 0 15m 转速为n 400r min 飞轮作匀速转动 飞轮质心距转轴d 0 001m 求飞轮作用于轴承的压力 计入飞轮质量但不考虑飞轮重量 这意味着仅计算由于飞轮的转动使轴承受到的压力 不考虑飞轮所受重力对该压力的影响 解 根据质心运动定理 例1 一匀质细棒的质量为M 长为L 转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直 求细棒对给定转轴的转动惯量 解 由题意可给出右图 取一质量元dm 设 M L 建立坐标系如图 质量元的长度为dx dx 由转动惯量定义有 2 2转动惯量的计算举例 dx 讨论 1 当D 0时 2 当D L 2时 例2 1 求薄圆环 m R 过环心且与环面垂直的转轴的转动惯量 薄圆柱环 2 求圆柱环 m R1 R2 对柱环体轴线的转动惯量 3 求圆柱体 m R 对柱体轴线的的转动惯量 解 盘由许多薄环柱组成 例3 一匀质球壳的质量为M 内半径为R0 外半径为R 求球壳对通过球心的转轴的转动惯量 解 球壳的体积为 质量体密度为 如图示 在球壳中取一体积元 其质量为 到转动轴z的距离为 其体积为 转动惯量为 球壳的转动惯量为 讨论 1 当R0 0时 1 当R0 R时 why 例一轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2 m1 m2如图所示 设滑轮的质量为m 半径为r 所受的摩擦阻力矩为Mr 绳与滑轮之间无相对滑动 试求物体的加速度和绳的张力 m 2 T 1 T 2 G 2 G 1 m 1 m 2 T 2 T 1 T 2 G 2 G 1 m 1 m 2 解 按题意 滑轮具有一定的转动惯量 在转动中 两边绳子的张力不再相等 规定竖直向下为X轴正方向 垂直屏幕向里为Z轴的正方向 m T 2 T 1 T 2 G 2 G 1 m 1 m 2 T 2 T 1 T 2 G 2 G 1 m 1 m 2 对m1 对m2 对m 例题2 如图 a 表示半径为R的放水弧形闸门 可绕图中左方支点转动 总质量为m 质心在距转轴2 3R处 闸门及钢架对支点的总转动惯量为 可用钢丝绳将弧形闸门提起放水 近似认为在开始提升时钢架部分处于水平 弧形部分的切向加速度为a 0 1g g为重力加速度 不计摩擦 不计水浮力 1 求开始提升时的瞬时 钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力 2 若以同样加速度提升同样重量的平板闸门 图 b 需拉力是多少 解 1 以弧形闸门及钢架为隔离体 受力如图 a 所示 建立直角坐标系Oxy 根据转动定理 根据质心运动定理 解得 2 用表示提升平板形闸门所用的拉力 对闸门应用牛顿第二定律 得 比较 可见提升弧形闸门所用的拉力较小 例题3 如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置 待测刚体装在转动架上 线的一端绕在转动架的轮轴上 线与线轴垂直 轮轴的轴体半径为r 线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物 已知转动架惯量为I0 并测得m自静止开始下落h高度的时间为t 求待测物体的转动惯量I 不计两轴承处的摩擦 不计滑轮和线的质量 线的长度不变 解 分别以质点m和转动系统I I0作为研究对象 受力分析如图 解得 例 已知均匀直杆 l M 一端挂在光滑水平轴上 开始时静止在竖直位置 有一子弹 m vo 水平射入底部而不出 求杆与子弹一起运动时的角速度 解 重力 轴的作用力对轴的力矩为零 角动量守恒 碰撞前角动量 方向垂直屏幕向外 碰撞后角动量 方向垂直屏幕向外 例 已知均匀直杆 l M 一端挂在光滑水平轴上 开始时静止在竖直位置 有一子弹 m vo 水平射入杆内而不出 问子弹击中杆的何处 系统的动量守恒 vo 0 圆锥摆 以子弹和杆为系统 以子弹和沙袋为系统 圆锥摆系统 下面几种情况系统的动量 角动量和机械能是否守恒 例 圆盘质量M 半径R J MR2 2 转轴光滑 人的质量m 开始时 两者静止 求 人在盘上沿边缘走过一周时 人 盘对地面转过的角度分别为多少 解 在走动过程中 人 盘系统角动量守恒 设任意时刻 人对盘 盘对