机械工程控制基础第2章ppt课件.pptVIP

微分方程是在时域中描述系统动态特性的数学模型 建立系统数学模型有两种方法 1 分析法 根据系统遵循的定律建立数学模型Ohm定律 kirchhoff定律 newton定律 hooke定律等2 实验法 根据实验数据整理并拟合建立数学模型 第2章系统的数学模型2 1系统的微分方程 1 连续系统微分方程的一般形式 若所有系数都不是输入 输出及其各阶导数的函数 则微分方程表示的系统为线性系统 否则 系统为非线性系统 对线性系统 若系数为常数则为线性定常系统 为微分方程系数 2 线性系统的叠加原理当有几个输入量同时作用于系统时 可以逐个输入 求出对应输出 然后把各个输出叠加 即为系统的总输出 3 列写微分方程的一般方法 确定系统的输入量和输出量 2 列写系统中各环节的动态微分方程 物理定律 3 消除中间变量 得到只包含输入量和输出量的微分方程 4 整理微分方程 输出量有关项放在方程左侧 输入量有关项放在方程右侧 各阶导数项按降阶排列 4 常用元件关系式 机械系统 在力F的作用下位移为x 5 电路元件两端电压u 常用元件关系式 电网络 6 例1 图示机械系统m c k 列写微分方程 2 根据牛顿第二定律F ma列写原始微分方程 3 整理 系统受力图 7 例2 图示电网络 列写微分方程 2 列写原始微分方程 3 消除中间变量i 并整理 8 例3 图示电网络 列写微分方程 1 明确系统的输入与输出 输入u1 输出u2 2 根据回路电压定律列写微分方程 3 消除中间变量i1 i2 并整理 9 10 2 2系统的传递函数 一 传递函数传递函数定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 零初始条件 系统输入量及其各阶导数在t 0时的值均为0 系统输出量及其各阶导数在t 0时的值也为0 11 在零初始条件下 对方程两边求拉氏变换 得 线性定常系统微分方程的一般形式 系统的传递函数为 则 12 传递函数用以s为变量的代数方程表示系统的动态特性 如果传递函数分母s的最高次数为n 则称该系统为n阶系统 13 传递函数的特点 传递函数比微分方程简单 通过拉式变换 实数域内复杂的微积分运算转化为代数运算 2 零初始条件下 当输入确定时 输出完全取决于系统的传递函数 3 物理性质不同的系统 可以具有相同的传递函数 相似系统 4 由G s 已知 研究系统在各种输入作用下的输出响应 5 G s 未知 给系统加上已知输入 研究其输出 得出传递函数G s 14 6 传递函数与微分方程之间的关系 则传递函数为 例如 15 传递函数的零极点增益模型 二 传递函数的零点 极点和放大系数 放大系数 增益 K 零点 极点 16 传递函数的零点 极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能 设系统输入为单位阶跃函数 17 根据laplace变换终值定理 系统的稳态输出值为 所以G 0 决定系统的稳态输出值 根据式 可知 放大系数 增益 17 例4 求图示系统的传递函数 1 确定系统输入与输出 2 列写原始微分方程 3 零初始条件下 进行拉氏变换 4 消除中间变量I1 I2 并整理得 5 传递函数 18 比例环节 放大环节 无惯性环节 零阶环节 输出量与输入量成正比 输出不失真也不延迟而按比例地反映输入 动力学方程 三 典型环节的传递函数控制系统是由若干典型环节组成的 19 例5 运算放大器 输入电压ui t 输出电压uo t 求传递函数 输入电压ui t 与输出电压uo t 之间的关系 经laplace变换后 得传递函数 20 例6 齿轮传动副 xi xo分别为输入轴 输出轴转速 z1 z2分别为输入齿轮和输出齿轮齿数 求传递函数 传动方程为 21 2 惯性环节 一阶惯性环节 动力学方程为一阶微分方程 动力学方程 22 例7 电网络如图 求传递函数 消除中间变量i 得 经laplace变换得 故传递函数 23 例8 求传递函数 根据newton定律有 经laplace变换得 故传递函数为 即 24 3 微分环节 输出正比于输入的微分 动力学方程 25 例9 微分运算电路如图 求传递函数 故传递函数为 根据电路定律有 推出 经laplace变换得 26 油缸力平衡 节流阀流量 例10 机械流体阻尼器 R为节流阀液阻 p1 p2为油缸左 右腔单位面积上的压力 xi活塞位移 xo油缸位移 求传递函数G s 由上两式得 因此 故传递函数为 可知 此阻尼器包括惯性环节和微分环节 27 微分环节的控制作用 使输出提前如 对比例环节Kp 1输入斜坡函数xi t t 则输出 比例环节的G s Kp 1 若对此比例环节再并联一微分环节Ts 则输出 作图知 原输出铅直向上平移T 得到新输出 系统在每一时刻的输出都增加了T 新输出在t1就已达到原输出在t2值 使输出提前 28 4 积分环节 输出正比于输入对时间的积分 动力学方程 传递函数 29 对积分环节 若输入单位阶跃信号xi t 1 Xi s 1 s 有 由图可知 积分环节的特点 1 输出量为输入量对时间的累积 输出幅值呈线性增长2 输出滞后于输入 经过时间T 输出才等于输入3 输出具有记忆功能经过一段时间后 当输入变为0 输出稳定不变 则输出 30 例11 图示水箱 以流量为输入 液面高度变化量为输出 求传递函数G s A为水箱截面积 为水的密度 根据质量守恒定律有 经laplace变换得 故传递函数为 31 例12 积分运算电路 求传递函数 根据电路定律有 故传递函数为 式中 32 5 振荡环节 二阶振荡环节 传递函数为 wn 无阻尼固有频率阻尼比 T 1 wn 时间常数 33 例13 求传递函数 根据牛顿第二定律有 34 例14 作旋转运动的惯性 阻尼 弹簧系统 在转动惯量为J的转子上带有叶片和弹簧 在外部施加一扭矩M作为输入 以转子转角 作为输出 求传递函数 故传递函数为 系统动力学方程为 35 例15 电气系统 输入ui 输出uo 求传递函数 故微分方程为 传递函数为 解 根据kirchhoff定律 有 Laplace变换为 36 传递函数 6 延时环节 输出滞后输入时间 但不失真地反映输入 37 延时环节 惯性环节 比例环节的区别以阶跃信号为输入 惯性环节 比例环节 延时环节 输出延迟一段时间才接近于所要求的输出量 但从输入开始起就有输出 输出 输入时间上延迟 38 典型环节传递函数小结 3 同一物理元件在不同系统中的作用不同时 其传递函数也不同 39 2 3系统的传递函数方框图及其简化 一 传递函数方框图将组成系统的各个环节用方框表示 并将相应的变量及信号流向联系起来 构成系统的方框图 1 传递函数方框图的三要素 1 函数方框 指向方框的箭头表示输入的laplace变换离开方框的箭头表示输出的laplace变换方框中表示的是输入与输出之间的传递函数 40 3 相加点 多个输入 一个输出 输出信号等于输入信号代数和指向相加点箭头前方的 或 表示该输入信号在代数运算中的符号 2 分支点 同一信号向不同方向传递 量纲相同 数值相等 41 1 建立系统原始微分方程 每个元件 2 在零初始条件下 对原始微分方程进行拉氏变换 按因果关系 绘制方框图 3 按信号流向 依次连接各方框图左边输入 右边输出 反馈则 倒流 2 建立系统方框图的步骤 42 43 例16 绘制传递函数方框图 43 等效变换指变换前后输入 输出总的数学关系保持不变 1 串联环节的等效变换规则环节的串联 前一环节的输出为后一环节的输入 二 传递函数方框图的等效变换 串联后的传递函数为 环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积 44 2 并联环节的等效变换规则并联 各环节的输入相同 输出为各环节输出的代数和 并联后的传递函数为 环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和 45 3 反馈环节的等效变换规则 推导过程 前向通道传递函数 反馈通道传递函数 开环传递函数 开环传递函数可以理解为 封闭回路在相加点断开后 以E s 为输入 经G s H s 产生输出B s B s E S 在相加点的量纲相同 因此 开环传递函数无量纲 46 反馈回路闭合后 展开得 注意 若相加点的B s 处为负号 上式中G s H s 前为正号 若相加点的B s 处为正号 上式中G s H s 前为负号 相加点的B s 处取 称为正反馈 取 称为负反馈 负反馈连接是控制系统的基本结构形式 47 若反馈回路传递函数H s 1 则反馈称为单位反馈 注意 前向通道传递函数 反馈通道传递函数 开环传递函数均为局部传递函数 闭环传递函数才是系统传递函数 48 4 分支点移动规则分支点由方框之后移到方框之前 为了保证移动后X3不变 应在分支路上串入相同传递函数的方框 49 分支点由方框之前移到方框之后 为了保证移动后X3不变 应在分支路上串入相同传递函数倒数的方框 50 5 相加点移动规则相加点由方框之前移到方框之后 为了保证X3不变 应在移动的支路上串入相同传递函数的方框 51 相加点由方框之后移到方框之前 为了保证X3不变 应在移动的支路上串入相同传递函数倒数的方框 52 6 相邻相加点的移动规则 可以相互移动 7 相邻分支点的移动规则 可以相互移动 分支点相加点之间不能相互移动 53 传递函数方框图的简化方法方法1 利用等效变换规则通过移动分支点或相加点 消除交叉连接 使其成为独立的小回路 以便用串 并联和反馈连接的等效规则进一步简化 一般先解内回路 再逐步向外回路 一环环简化 最后求得系统的闭环传递函数 54 例17 简化图示三环回路 并求系统传递函数 a b 55 c 56 c d e 57 例18 简化回路 并求系统传递函数 58 59 确定括号内每一项的符号 在相加点处 对反馈信号为相加时 取负号对反馈信号为相减时 取正号应用上式必须具备两个条件 1 整个方框图只有一条前向通道 2 各局部反馈回路中存在公共的传递函数方框 方法2 用公式求含有多个局部反馈回路的闭环传递函数 60 反馈回路L1 L2 L3有公共传递函数方框G2 一条前向通道 例19 简化回路 并求系统传递函数 由公式直接求出闭环传递函数 61 2 4考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 控制系统受两类输入作用 一类是有用输入或称给定输入 加在系统的输入端 另一类则是扰动或称干扰 作用在被控对象上 为了尽可能消除干扰对系统输出的影响 一般采用反馈控制方式 将系统设计成闭环系统 一个考虑扰动的反馈控制系统的典型结构如图 62 只考虑给