2010高考数学湖北理.pdf

高考真题专家全解 1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 数学 理科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 1 若 i 为虚数单位 图中复平面内点 z 表示复数 z 则表 示复数 1 z i 的点是 A E B F C G D H 解 因为 z 3 i 所以 2 2 3 3 1 3342 2 11 1 1 21 ziiiiiii i iiiii 选 D 2 设集合 A 22 1 416 xy x y B 3 x x yy 则 A B 的子集的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 解 作出图 集合 A 中的点是椭圆上的所有点 集合 B 中的点是函数 y 3x的图象上的所有点 可知 A B 的元素有两个 子集的个数是 22 4 选 A 3 在 ABC 中 a 15 b 10 A 60 则 cosB A 2 2 3 B 2 2 3 C 6 3 D 6 3 解 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 3 10 sin3 2 sin 153 bA B a b a 所以 B A 所以 B 为锐角 2 26 cos1 sin 33 BB 选 C 4 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次 记 硬币正面向上 为事件 A 骰于向上的点数 是 3 为事件 B 则事件 A B 中至少有一件发生的概率是 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 3 4 解 11 22 P AP A 15 66 P BP B 高考真题专家全解 2 事件 A B 中至少有一件发生 的对立事件是 事件 A B 都不发生 所以 1 57 1 1 1 2 612 PP A BP AP B 选 C 5 已知 ABC 和点 M 满足0MAMBMC 若存在实数 m 使得ABACmAM 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 解法一 由题目条件可知 M 为 ABC 的重心 连接 AM 并延长 交 BC 于 D 则 2 3 AMAD 因为 AD 为中线 所以2ABACADmAM 即 2ADmAM 联立 可得 m 3 故 B 正确 解法二 2 23ABACAMMBAMMCAMMBMCAMMAAM 所以 m 3 选 B 6 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001 002 600 采用系统抽样法抽取一个容量为 50 的样本 且随机抽得的号码为 003 这 600 名学生分住在三个营区 从 001 到 300 在第 1 营区 从 301 到 495 在第 营区 从 496 到 600 在第 营区 三个营区被抽中的人数依次为 A 26 16 8 B 25 17 8 C 25 16 9 D 24 17 9 解 依题意可知 在系统抽样中 首次抽到 003 号 以后每隔 12 个号抽到一个人 则分别 是 003 015 027 039 构成以 3 为首项 12 为公差的等差数列 故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人 在 301 至 495 号中共有 17 人 则 496 到 600 中有 8 人 所以 B 正确 选 B 7如图 在半径为r的圆内作内接正六边形 再作正六边形的内切圆 又在此内切圆内作内接正六边形 如此无限继续下去 设 n S为前n个 圆的面积之和 则lim n n S N M D A B C 高考真题专家全解 3 A 2 r2 B 2 8 3 r C 4 r2 D 6 r2 解 依题意分析可知 图形中内切圆半径分别为 c o s 3 0 c o s 3 0 c o s 3 0 c o s 3 0 c o s 3 0 c o s 3 0 r rrr即 333 3 rrrr 248 则面积依次为 2222 3927 41664 rrrr 所以 22222 339271 limlim lim 1 4 3 441664 1 4 n nnn Srrrrr 选 C 8 现安排甲 乙 丙 丁 戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会开车但能从事 其他三项工作 丙 丁 戊都能胜四项工作 则不同安排方案的种数是 A 152 B 126 C 90 D 54 解法一 若有 2 人从事司机工作 则方案有 23 33 18CA 若有 1 人从事司机工作 则方案有 123 343 108CCA 种 所以共有 18 108 126 种 故 B 正确 解法二 以人为准分类 甲乙二人分为一组 12 33 18CA 甲乙二人不在一组且有一人和其余 3 人拼成一组 甲乙先入位 2 3 6A 余下三人坐余下的两个位子 2 3 6A 余下的一人占甲乙位子 1 2 A 共有 221 332 72AAA 甲乙二人各占一位子 221 332 36ACA 综上可得 12221221 33332332 126CAAAAACA 解法三 从反面考虑用排除法 总数为 24 54 240C A 高考真题专家全解 4 其中不符合条件的有 甲乙二人做司机 2 3 6A 甲乙二人有 1 人做司机 123 243 72C C A 甲乙二人有 1 人任司机 其余 3 人又有 1 人任司机 113 233 36C C A 所以共有 243123113 543243233 240 114126C AAC C AC C A 选 B 9 若直线 y x b 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围是 A 1 122 B 1 2 2 1 2 2 C 1 2 2 3 D 12 3 解 因为 0 4x x2 x 2 2 4 4 2 1343yxx 且 0 x 4 曲线方程可化简为 x 2 2 y 3 2 4 1 y 3 即表示圆心为 2 3 半径为 2 的半圆 依据数形结合 当直线 y x b 与此半圆相切时须 满足圆心 2 3 到直线 y x b 距离等于 2 解得 1 2 21 2 2bb 或 因为是下半圆故可得1 2 2b 舍 当 直线过 0 3 时 解得 b 3 故1 2 23 b 所以 C 正确 解法二 直线 y x b 与曲线 2 34yxx 有公共点 即方程 2 34xxxb 在 x 0 4 时有解 2 34bxxx 显然当 x 0 时 b 最大为 3 由 22 22 4 24 10 2 44 xxxxx b xxxx 可得 2 24xxx 所以 x 2 2 4x x2 x 2 0 所以 2x2 8x 4 0 所以 x2 4x 2 0 高考真题专家全解 5 因为 2 x 4 所以 22x 当22x 时 b 0 当22x 时 b 取得最小值3 22 4 12 22 22 1 2 2xx 所以 1 2 23b 选 C 10 记实数 x1 x2 xn中的最大数为 max x1 x2 xn 最小数为 min x1 x2 xn 已知 ABC 的三边长为 a b c a b c 定义它的倾斜度为 max min a b ca b c b c ab c a 则 1 是 ABC为等边三角形 来源 Zxxk Com A 必要而不充分的条件 B 充分而不必要的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 解 若 ABC 为等边三角形时 即 a b c 则max 1min a b ca b c b c ab c a 则 l 1 若 ABC 为等腰三角形 如 a 2 b 2 c 3 时 则 32 max min 23 a b ca b c b c ab c a 此时 l 1 仍成立但 ABC 不为等边三角形 所以 A 正确 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上 一题两空的题 其答案按先后次序填写 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 11 在 204 3 xy 展开式中 系数为有理数的项共有 项 解 根据二项式展开式的通项公式可得 20204 4 12020 3 3 r rrrrrr r TC xyCxy 0 r 20 系数为有理数可知 r 是 4 的整数倍 r 0 4 8 12 16 20 共 6 项 答案 6 12 己知 z 2x y 式中变量 x y 满足约束条件 1 2 yx xy x 则 z 的最大值为 解 依题意 画出可行域 如图示 则对于目标函数 y 2x z z 的意义是直线纵截距的相反数 高考真题专家全解 6 当直线经过 A 2 1 时 z 取到最大值 max 5Z 答案 5 13 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水 若放入三个相同的球 球的半 径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球 的半径是 cm 解 设球半径为 r 则由3VVV 球水柱可得 322 4 386 3 rrrr 解 得 r 4 答案 4 14 某射手射击所得环数 的分布列如下 7 8 9 10 P x 0 1 0 3 y 已知 的期望 E 8 9 则 y 的值为 解 由分布列可知 0 1 0 310 2 70 1 89 0 3 108 90 4 xyx xyy 答案 0 4 15 设 a 0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线殴 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为直径作半圆 过点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 连结 OD AD BD 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术平均数 线段 的长度是 a b 的几 何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 解 1 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 CD2 AC CB 故CDab 即 CD 长 度为 a b 的几何平均数 高考真题专家全解 7 2 解法一 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CE OC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为 a b 的调和平均数 解法二 在 Rt OCD 中 由射影定理可知 CD2 DE DO 所以 22 2 2 CDabab DE ab ODab 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 coscos 33 f xxx 11 sin2 24 g xx 求函数 f x 的最小正周期 求函数 h x f x g x 的最大值 并求使 h x 取得最大值的x的集合 解 1313 cos cos cossin cossin 332222 f xxxxxxx 22 131 cos23 3cos211 cossincos2 448824 xx xxx f x 的最小正周期为 2 2 112 cos2sin2cos 2 2224 h xf xg xxxx 当22 4 x xkkZ 时 h x 取得最大值 2 2 h x 取得最大值时 对应的 x 的集合为 8 x xkkZ 17 本小题满分 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的 能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 010 35 k C xx x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚对 总费用 f x 达到最小 并求最小值 解 设隔热层厚度为 x cm 由题设 每年能源消耗费用为 35 k C x x 高考真题专家全解 8 再由 C 0 8 得 k 40 因此 40 35 C x x 而建造费用为 C1 x 6x 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 1 40800 20 2066 010 3535 f xC xC xxxx xx 解法一 注意到 3x 5 0 可考虑用均值定理求 得 800 2 35 10 010 35 f xxx x 800 22 35 10 010 35 f xxx x 80 10 70 当 800 2 35 35 x x 即 x 5 时 f x 取得最小值 70 当隔热层修建 5cm 厚时 总费用达到最小值为 70 万元 解法二 2 2400 6 35 fx x 令 f x 0 即 2 2400 6 35 x 解得 x 5 25 3 x 舍去 当 0 x 5 时 f x 0 当 5 x0 故 x 5 是 f x 的最小值点 对 应的最小值为 800 5 6 570 155 f 当隔热层修建 5cm 厚时 总费用达到最小值为 70 万元 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 证明 在 AB 上存在一点 Q 使 PQ OA 并计算 AB AQ 的值 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 解法一 OC OA OC OB OC 平面 AOB 平面 AOC 平面 AOB 且平面 AOC 平面 AOB OA 高考真题专家全解 9 过 P 作 PD OA 于 D 过 D 作 DE AO 交 AB 于 Q 连结 PQ PD AOB PD DQ OA 平面 PDQ PQ OA 设 AC 2 在 Rt PDA 中 2 2 AD 在 Rt ADQ 中 6 cos303 AD AQ 在 AOB 中 AO OB 2 AOB 120 AB2 2 2 2 2cos120 6 AB 6 3 AB AQ 解法二 在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N 连接 NC 又 OA OC OA 平面 ONC NC 平面 ONC OA NC 取 Q 为 AN 的中点 则 PQ NC PQ OA 在等腰 AOB 中 AOB 120 OAB OBA 30 在 Rt AON 中 OAN 30 1 2 ONANAQ 在 ONB 中 NOB 120 90 30 NBO NB ON AQ 3 AB AQ 解法三 Q P O A B C N 高考真题专家全解 10 取 O 为坐标原点 分别以 OA OC 所在的 直线为 x 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 O xyz 如图所示 则 A 1 0 0 C 0 0 1 13 0 22 B P 为 AC 中点 11 0 22 P 设 0 1 AQAB 33 0 22 AB 3333 1 0 0 0 1 0 2222 O QO AA Q 1331 2222 P QO QO P PQ OA 0PQ OA 即 13 0 22 1 3 所以存在点 13 0 26 Q 使得 PQ OA 且3 AB AQ 解法一 连接 PN PO 由 OC OA OC OB 知 OC 平面 OAB 又 ON OAB OC ON 又由 ON OA ON 平面 AOC OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影 在等腰 Rt COA 中 P 为 AC 的中点 AC OP 根据三垂线定理 知 AC NP OPN 为二面角 O AC B 的平面角 在等腰 Rt COA 中 OC OA 1 2 2 OP 在 Rt AON 中 3 tan30 3 ONOA Rt PON 中 22 30 6 PNOPON Q P O A B C N 高考真题专家全解 11 2 15 2 cos 530 6 PO OPN PN 解法二 记平面 ABC 的法向量为 n n1 n2 n3 则由 nCA nAB 且 1 0 1 CA 得 13 23 0 33 0 22 nn nn 故可取 3n 1 1 又平面OAC的法向量为 0 1 0 e 1 3 1 0 1 0 3 cos 5 15 n e 二面角 O AC B 的平面角是锐角 记为 则 15 cos 5 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有FA FB 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 解 解法一 设 P x y 是曲线 C 上任意一点 那么点 P x y 满足 22 1 1 0 xyxx 化简得 y2 4x x 0 解法二 定义法 过 H 1 0 作直线 l x 轴 过 C 上任一点 P 作 PE l 于 E 由已知得 PF PE 所以 P 点轨迹是以 F 1 0 为焦点 l x 1 为准线的抛物线 所以曲线 C 的方程为 y2 4x Q P O A B C x y z N 高考真题专家全解 12 解法一 设过点 M m 0 m 0 的直线 l 与 曲线C的交点为 A x1 y1 B x2 y2 设 l 的方程为 x ty m 由 2 4 xtym yx 得 y2 4ty 4m 0 16 t2 m 0 于是 12 12 4 4 yyt y ym 又 1122 1 1 FAxyFBxy 1212121212 0 1 1 10FA FBxxy yx xxxy y 又 2 4 y x 于是不等式 等价于 2222 1212 12 10 4444 yyyy y y 2 212 121212 1 210 164 y y y yyyy y 由 式 不等式 等价于 m2 6m 1 4t2 对任意实数 t 4t2的最小值为 0 所以不等式 对于一切t成立等价于 m2 6m 10 方程 的两个根 y1 y2分别是 A B 两点的纵坐标 则 2222 12 114 1 AByytttmt 设 AB 中点为 Q x y 则 12 2 2 yy yt x ty m 2t2 m 高考真题专家全解 13 则以 AB 为直径的圆 Q 的方程是 x 2t2 m 2 y 2t 2 4 t2 m t2 1 AFB 为直角的充要条件是 F 在圆 C 内 即 1 2t2 m 2 0 2t 2 4 t2 m t2 1 化简得 m2 6m 1 4t2 t R 式对 x R 都成立 等价于 m2 6m 1 小于 4t2 t R 的最小值 所以 m2 6m 1 0 解得32 232 2m 由此可知存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都 有0FA FB 且 m 的取值范围是 32 2 32 2 20 本小题满分 13 分 已知数列 an 满足 1 1 2 a 1 1 3 12 1 11 nn nn aa aa anan 1 0 n 1 数列 bn 满足 22 1 1 nnn baa n 求数列 an bn 的通项公式 证明 数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列 解 由题意可知 22 1 2 1 1 3 nn aa 令 2 1 nn ca 则 1 2 3 nn cc 又 2 11 3 1 4 ca 则数列 cn 是首项为 1 3 4 c 公比为 2 3 的等比数列 即 1 3 2 4 3 n n c 故 1 212 3 23 2 1 1 4 34 3 n n nn aa 又 1 1 0 2 a 1 0 n n a a 故 11 3 2 1 1 4 3 nn n a 用反证法证明 1 22 1 3 23 2 11 4 34 3 nn nnn baa 1 3 3 223 21 2 4 2 338 34 3 nnnn 1 1 2 4 3 n n b 高考真题专家全解 14 假设数列 bn 存在三项 br bs bt r sbs bt 则只有可能有 2 bs br bt成立 321 121212 2 434343 srt 321 222 2 333 srt 两边同乘以 3t 123 s可得 2 3t 1 s 32s 3 3 s 3t 1 r 22r 2 3 s 2t 1 3 s 2 3t s 2 3t r 12r s 1 2t s 2 3t s 2 3t r 12r s 2t s 1 因为 t s 2 0 t r 1 0 r s 1 0 t s 2 0 且都是整数 上式左边为奇数 右边为偶数 故上式不可能成立 导致矛盾 故数列 bn 中任意三项不可能成等差数列 21 已知函数 f x ax b x c a 0 的图象在点 1 f 1 处的切线方程为 y x 1 用 a 表示出 b c 若 f x lnx 在 1 上恒成立 求 a 的取值范围 证明 1 1 2 1 3 1 n ln n 1 21 n n n 1 解 2 b fxa x 则有 1 0 1 1 fabc fab 解得 1 1 2 ba ca 由 知 1 1 2 a f xaxa x 令 1 ln1 2ln a g xf xxaxax x 1 x 则 g 1 0 2 222 1 1 11 1 a a xx aaxxa a g xa xxxx i 当 1 0 2 a 11 a a 若 1 1 a x a 则 g x 0 g x 是减函数 所以 g x lnx 故 f x lnx 在 1 上恒不成立 ii 1 2 a 时 1 1 a a g x 在 1 上是增函数 g x g 1 0 故当 x 1 时 f x lnx 高考真题专家全解 15 综上所述 所求 a 的取值范围为 1 2 解法一 用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 左边 1 右边 1 ln21 4 不等式成立 2 假设 n k 时 不等式成立 即 111 1ln 1 232 1 k k kk 则 111112 1ln 1 ln 1 231