2010高考数学山东文.pdf

高考真题专家全解 1 绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文科数学 全解析 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷 草稿纸上无效 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 第 I 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知全集 U R 集合 M x x2 4 0 则 UM A x 2 x 2 B x 2 x 2 C x x2 D x x 2 或 x 2 解 M x 2 x 2 全集 U R 所以 UM x x2 选 C 2 已知 2 ai bi a bR i 其中 i 为虚数单位 则 a b A 1 B 1 C 2 D 3 解 由 2ai bi i 得2 1aibi 所以由复数相等的意义知 a 1 b 2 所以 a b 1 选 B 3 函数 f x log2 3x 1 的值域为 A 0 B 0 C 1 D 1 解 因为 3x 1 1 且 y log2x 为增函数 所以 f x log2 3x 1 log21 0 选 A 高考真题专家全解 2 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 解 A 平行直线的平行投影平行 B 平行于同一直线的两个平面平行 相交 重合 C 错误 例如正方体的一个顶点出发的三个面 D 正确 选 D 5 设 f x 为定义在 R 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x 2x b b 为常数 则 f 1 A 3 B 1 C 1 D 3 解 设 f x 为定义在 R 上的奇函数 则 f 0 f 0 则 f 0 0 则 1 b 0 即 b 1 所以 f 1 2 2 1 3 f 1 f 1 3 选 D 6 在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均分值为和方差分别为 A 92 2 B 92 2 8 C 93 2 D 93 2 8 解 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据为 90 90 93 93 94 3 300 1 9393 192 5 X 方差 22222 9092 9092 93 92 93 92 9492 44 1 1 414 2 8 555 D 选 B 7 设 an n N 是首项大于零的等比数列 则 a1 a2 是 数列 an n N 是递增数列 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解 若已知 a1 a2 则设数列 an n N 的公比为 q 因为 a1 a2 所以有 a10 解 得 q 1 an 1 an a1qn 1 q 1 0 所以 a n 1 an 所以数列 an n N 是递增数列 反之 若数列 an n N 是递增数列 则 an 1 an 所以 a2 a1 即 a1 a2 高考真题专家全解 3 所以 a1 a2是数列 an n N 是递增数列的充分必要条件 选 C 8 已知某生产厂家的年利润 y 单位 万元 与年产量 x 单位 万件 的函数关系式为 3 1 81234 3 yxx 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解 y x2 81 0 解得 x 9 当 0 x0 当 x 9 时 解得 y 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 解 设 A x1 y1 B x2 y2 则 2 1122 12 1212 2 1212 22 2 2 2 2 ypxyy p yyp xx xxyy ypx 因为 kAB 1 所以 2p y1 y2 4 所以 p 2 抛物线的准线方程为 x 1 选 B 10 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推理可得 若定义在 R 上的函数 f x 满 足 f x f x 记 g x 为 f x 的导函数 则 g x A f x B f x C g x D g x 解 由给出的例子可以归纳推理得出 若函数 f x 是偶函数 则它的导函数是奇函数 因为定 义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 即函数 f x 是偶函数 所以它的导函数是奇函数 即有 g x g x 选 D 11 函数 y 2x x2的图像大致是 A B C D 高考真题专家全解 4 解 因为当 x 2 或 4 时 2x x2 0 所以排除 B C 当 x 2 时 2x 2 x 1 4 0 4 故排除 D 所以选 A 另解 作出 y 2x和 y x2的图象 如图所示 交于 x1 y1 2 4 4 16 所以当 x x1时 2x x2 0 x1 x0 2 x 4 时 2x x24 时 2x x2 0 选 A 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 a m n b p q 令 a b mq np 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则 a b 0 B a b b a C 对任意的 R 有 a b a b D a b 2 a b 2 a 2 b 2 解 若 a 与 b 共线 则有 mq np 0 a b 0 故选项 A 正确 因为 b a pn qm 而 a b mq np 所以有 a b b a 故选项 B 错误 a b m n p q mq np mq np a b 故选项 C 正确 a b 2 a b 2 mq np 2 mp nq 2 m2q2 n2p2 m2p2 n2q2 m2 n2 p2 q2 a 2 b 2 选项 D 正确 故选 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 执行右图所示的程序框图 若输入 x 10 则输出 y 的值为 当 x 10 时 y 1 10 1 4 2 此时 y x 6 当 x 4 时 y 1 4 1 1 2 此时 y x 3 当 x 1 时 y 11 1 1 22 此时 y x 3 2 当 x 1 2 时 y 115 1 224 此时 y x 3 1 4 故输出 y 的值为 5 4 14 已知 x y R 且满足1 34 xy 则 xy 的最大值为 解法一 x y R 22 1 34 1212 12 3 3 422 xy x y xy 当 1 342 xy 即 3 2 2 x y 时 xy 的最大值为 3 解法二 如图可得 xymax 3 高考真题专家全解 5 答案 3 15 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若2a b 2 sincos2BB 则角 A 的大小为 解 sincos22sin 2sin 1 44 BBBB 0 B 180 B 45 由正弦定理可得 sin1 sin sinsin2 abaB A ABb a0 的最小正周期为 求 的值 将函数 y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到函数 y g x 的 图像 求函数 y g x 在区间0 16 上的最小值 解 1 f x sin x cos x cos2 x sin xcos x cos2 x 11 cos2 sin2 22 x x 21 sin 2 242 x 2 221 T 2 由 1 知 21 sin 2 242 f xx 将函数 y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到函数 21 sin 4 242 g xx x 0 16 时 4 44 2 x 2 sin 4 1 42 x 2112 xsin 4 1 2422 gx 当 x 0 时 g x 取得最小值 1 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前 n 项和为 Sn 求 an及 Sn 令 bn 2 1 1 n a n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解 设等差数列 an 的公差为 d 因为 a3 7 a5 a7 26 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 a1 3 d 2 所以 an 3 2 n 1 2n 1 n S 1 32 2 n n n n2 2n 由 知 an 2n 1 所以 bn 2 1 1 n a 2 1 21 1n 11 4 1 n n 111 41n n 所以 n T 111111 1 42231n n 11 1 41n 4 1 n n 即数列 bn 的前 n 项和 n T 4 1 n n 高考真题专家全解 7 19 本小题满分 12 分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为 1 2 3 4 从袋中随机抽取两个球 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为 n 求 n m 2 的概率 解 从袋中随机抽取两个球 所有可能情况如下表 1 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 2 3 2 4 3 3 1 3 2 3 4 4 4 1 4 2 4 3 从袋中随机抽取两个球 总事件数为 12 取出的球的编号之和不大于 4 的事件数为 4 取出的球的编号之和不大于 4 的概率为 1 3 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为 n 所有事件如下表所示 总数为 16 满足 n m 2 的事件总数为 13 个 1 2 3 4 1 1 1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 2 2 2 3 2 4 3 3 1 3 2 3 3 3 4 4 4 1 4 2 4 3 4 4 n m 2 的概率为 13 16 20 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是正方形 MA 平面 ABCD PD MA E G F 分别为 MB PB PC 中 点 且 AD PD 2MA 求证 平面 EFG 平面 PDC 求三棱锥 P MAB 与四棱锥 P ABCD 的体积之比 解 I 证明 由已知 MA 平面 ABCD PD MA 高考真题专家全解 8 所以 PD 平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD 所以 PD BC 因为 四边形 ABCD 为正方形 又 PD DC D 因此 BC 平面 PDC 在 PBC 中 因为 G 平分为 PC 的中点 所以 GF BC 因此 GF 平面 PDC 又 GF 平面 EFG 所以 平面 EFG 平面 PDC 解 因为 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 不妨设 MA 1 则 PD AD 2 所以 1 3 pA B C DA B C D VS 正方形 8 3 PD 由于 DA 面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离 三棱锥 VP MAB 112 1 2 2 323 所以 VP MAB VP ABCD 1 4 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 当 1 2 a 时 讨论 f x 的单调性 解 当 a 1 时 2 ln1f xxx x 2 12 1fx xx 12 2 11 24 f 2 2 ln221ln22 2 f 切线方程为 y ln2 2 x 2 切线方程为 x y ln2 0 高考真题专家全解 9 f x 的定义域是 x 0 2 22 11 1 aaxxa fxa xxx 当 a0 ax2 x 1 a x 1 ax a 1 当 x 1 时 f x 0 当 0 x 1 时 f x 0 所以当 a1 时 f x 0 当 0 x 时 f x 0 所以当 a 0 时 f x 的递增区间是 1 递减区间是 0 1 当 0 a0 当 x 0 1 1 1 a 时 f x 0 f x 的递增区间是 1 1 1 a 递减区间是 0 1 和 1 1 a 当 a 1 2 时 1 12 11 a 2 2 1 0 a x fx x f x 的递减区间是 0 综上所述 当 a 0 时 函数 f x 在 0 1 上单调递减 函数 f x 在 1 上单调递增 当 a 1 2 时 函数 f x 在 0 上单调递减 当 0 a 1 2 时 函数 f x 在 0 1 上单调递减 函数 f x 在 1 1 1 a 上单调递增 函数 f x 在 1 1 a 上单调递减 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 过点 2 1 2 离心 率为 2 2 左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 为直线 l x y 2 上 且不在 x 轴上的任意一点 直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分 别为 A B 和 C D O 为坐标原点 求椭圆的标准方程 高考真题专家全解 10 设直线 PF1和 PF2的斜率分别为 k1 k2 i 证明 12 13 2 kk ii 问直线 l 上是否存在点 P 使得直线 OA OB OC OD 的斜率 kOA kOB kOC kOD满足 kOA kOB kOC kOD 0 若存在 求出所有满足条件的点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解 因为椭圆过点 1 2 2 e 2 2 所以 22 11 1 2ab 2 2 c a 又 222 abc 所以211abc 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y i 解法一 由 I 可得 F1 1 0 F 1 0 设 P x0 y0 则 y0 2 x0 因为 P 不在 x 轴上 所以 y0 0 0 1 0 0000 0120000 2 0 113 1 242 2 13 2 1 y k xxxxx ykkyyyy k x 解法二 由 I 可得 F1 1 0 F 1 0 21 1121 2212 21 1 1 2 kk x PFyk xkk PFykxk k y kk 点 P 为直线 l x y 2 上 2112 2112211212 212121 231 2022203202 kkk k kkk kkkkkk k kkkkkk 所以 12 13 2 kk ii 设 A xA yA B xB yB C xC yC D xD yD 联立直线 PF1与椭圆方程可得 1 2222 2 111 2 1 21 4220 1 2 yk x kxk xk x y 4222 1111 164 21 22 8 1 0kkkk 高考真题专家全解 11 2 1 2 1 2 1 2 1 4 21 22 21 AB AB k xx k k x x k 1111 1 1 2 ABABBAABBAABAB OAOB ABABABAB yyx yx yx k xx k xk x xk xx kk xxx xx xx x 因为 kOA kOB存在 xA 0 xB 0 且 k1 0 1 2 1 2 11 111 22 11 2 1 4 212 2 2 221 21 AB OAOB AB k