2011年中考数学分类汇编综合型问题.pdf

1 20112011 年全国各地年全国各地 100100 份中考数学试卷分类汇编份中考数学试卷分类汇编 第第 4646 章综合型问题章综合型问题 一一 选择题选择题 1 2011 浙江湖州 10 3 如图 已知 A B 是反比例面数 k y x k 0 x 0 图象上的两点 BC x 轴 交 y 轴于点 C 动 点 P 从坐标原点 O 出发 沿 O A B C 图中 所示路线 匀速运动 终点为 C 过 P 作 PM x 轴 PN y 轴 垂足分别为 M N 设四边形 0MPN 的面积为 S P 点运动时间为 t 则 S 关于 t 的函数图象大致为 答案 A 2 2011 台湾全区 19 坐标平面上 二次函数36 2 xxy的图形与下列哪一个方程式的图形没 有交点 A x 50 B x 50 C y 50 D y 50 答案 3 2011 广东株洲 8 3 分 某广场有一喷水池 水从地面喷出 如图 以水平地面为x轴 出水点为原点 建 立平面直角坐标系 水在空中划出的曲线是抛物线 y x 2 4 单位 米 的一部分 则水喷出的最大高度是 A 4 米 B 3 米 C 2 米 D 1 米 答案 D 4 2011 山东聊城 12 3 分 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的 为了牢固起见 每段护 栏需要间距 0 4m加设一根不锈钢的支柱 防护栏的最高点距底部 0 5m 如图 则这条防护栏需要不锈钢支柱 的总长度至少为 A 50m B 100m C 160m D 200m 2 答案 C 5 2011 河北 8 3 分 一小球被抛出后 距离地面的高度 h 米 和飞行时间 t 秒 满足下列函数关系式 61t5h 2 则小球距离地面的最大高度是 A 1 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米 答案 C 二 填空题二 填空题 1 2011 湖南怀化 16 3 分 出售某种手工艺品 若每个获利 x 元 一天可售出 8 x 个 则当 x 元时 一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大 答案 4 2 2011 江苏扬州 17 3 分 如图 已知函数 x y 3 与bxaxy 2 a 0 b 0 的图象交于点 P 点 P 的纵坐 标为 1 则关于 x 的方程bxax 2 x 3 0 的解为 答案 3 3 4 5 三 解答题三 解答题 1 2011 山东滨州 25 12 分 如图 某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分 抛物线的顶点 O 落在水平面上 对称轴是水平线 OC 点 A B 在抛物线造型上 且点 A 到水平面的距离 AC 4O 米 点 B 到水平面 距离为 2 米 OC 8 米 1 请建立适当的直角坐标系 求抛物线的函数解析式 3 2 为了安全美观 现需在水平线 OC 上找一点 P 用质地 规格已确定的圆形钢管制作两根支柱 PA PB 对抛 物线造型进行支撑加固 那么怎样才能找到两根支柱用料最省 支柱与地面 造型对接方式的用料多少问 题暂不考虑 时的点 P 无需证明 3 为了施工方便 现需计算出点 O P 之间的距离 那么两根支柱用料最省时点 O P 之间的距离是多少 请 写出求解过程 答案 解 1 以点 O 为原点 射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 1 分 设抛物线的函数解析式为 2 yax 2 分 由题意知点 A 的坐标为 4 8 且点 A 在抛物线上 3 分 所以 8 a 2 4 解得 a 1 2 故所求抛物线的函数解析式为 2 1 2 yx 4 分 2 找法 延长 AC 交建筑物造型所在抛物线于点 D 5 分 则点 A D 关于 OC 对称 连接 BD 交 OC 于点 P 则点 P 即为所求 6 分 3 由题意知点 B 的横坐标为 2 且点 B 在抛物线上 所以点 B 的坐标为 2 2 7 分 又知点 A 的坐标为 4 8 所以点 D 的坐标为 4 8 8 设直线 BD 的函数解析式为 y kx b 9 则有 22 48 kb kb 10 解得 k 1 b 4 故直线 BD 的函数解析式为 y x 4 11 把 x 0 代入 y x 4 得点 P 的坐标为 0 4 4 两根支柱用料最省时 点 O P 之间的距离是 4 米 12 2 2011 四川重庆 25 10 分 某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件 受美元走低的影响 从去年 1 至 9 月 该配件的原材料价格一路攀升 每件配件的原材料价格 y1 元 与月份 x 1 x 9 且 x 取整数 之间的函数 关系如下表 月份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y1 元 件 560 580 600 620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台 原材料价格的涨势趋缓 10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2 元 与月份 x 10 x 12 且 x 取整数 之间存在如图所示的变化趋势 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识 直接写出 y1 与 x 之间的函 数关系式 根据如图所示的变化趋势 直接写出 y2与 x 之间满足的一次函数关系式 2 若去年该配件每件的售价为 1000 元 生产每件配件的人力成本为 50 元 其它成本 30 元 该配件在 1 至 9 月的销售量 p1 万件 与月份 x 满足关系式 p1 0 1x 1 1 1 x 9 且 x 取整数 10 至 12 月的销售量 p2 万件 p2 0 1x 2 9 10 x 12 且 x 取整数 求去年哪个月销售该配件的利润最大 并求出这个最大利润 3 今年 1 至 5 月 每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元 人力成本比去年增加 20 其它成本没有 变化 该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 a 与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0 1 a 这样 在保证每月上万件配件销量的前提下 完成 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务 请你参考以下数据 估算出 a 的整数值 参考数据 992 9801 982 9604 972 9409 962 9216 952 9025 答案 1 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1 20 x 540 y2 与 x 之间满足的一次函数关系式为 y2 10 x 630 2 去年 1 至 9 月时 销售该配件的利润 w p1 1000 50 30 y1 0 1x 1 1 1000 50 30 20 x 540 0 1x 1 1 380 20 x 2x2 160 x 418 2 x 4 2 450 1 x 9 且 x 取整数 2 0 1 x 9 当 x 4 时 w 最大 450 万元 去年 10 至 12 月时 销售该配件的利润 w p2 1000 50 30 y2 5 0 1x 2 9 1000 50 30 10 x 630 0 1x 2 9 290 10 x x 29 2 10 x 12 且 x 取整数 当 10 x 12 时 x 29 自变量 x 增大 函数值 w 减小 当 x 10 时 w 最大 361 万元 450 361 去年 4 月销售该配件的利润最大 最大利润为 450 万元 3 去年 12 月份销售量为 0 1 12 0 9 1 7 万件 今年原材料的价格为 750 60 810 元 今年人力成本为 50 1 20 60 元 由题意 得 5 1000 1 a 810 60 30 1 7 1 0 1a 1700 设 t a 整理 得 10t2 99t 10 0 解得 t 99 9401 20 972 9409 962 9216 而 9401 更接近 9409 9401 97 t1 0 1 或 t2 9 8 a1 10 或 a2 980 1 7 1 0 1a 1 a2 980 舍去 a 10 答 a 的整数值为 10 3 2011 山东潍坊 22 10 分 2011 年上半年 某种农产品受不良炒作的影响 价格一路上扬 8 月初国家实施 调控措施后 该农产品的价格开始回落 其中 1 月份至 7 月份 该农产品的月平均价格 y 元 千克与月份 x 呈一 次函数关系 7 月份至 12 月份 月平均价格元 千克与月份 x 呈二次函数关系 已知 1 月 7 月 9 月和 12 月这 四个月的月平均价格分别为 8 元 千克 26 元 千克 14 元 千克 11 元 千克 1 分别求出当 1 x 7 和 7 x 12 时 y 关于 x 的函数关系式 2 2011 年的 12 个月中 这种农产品的月平均价格哪个月最低 最低为多少 3 若以 12 个月份的月平均价格的平均数为年平均价格 月平均价格高于年平均价格的月份有哪些 解 1 当17x 时 设ykxm 将点 1 8 7 26 分别代入ykxm 得 8 726 km km 解之 得 5 3 m k 函数解析式为35yx 当712x 时 设 2 yaxbxc 将 7 26 9 14 12 11 分别代入 2 yaxbxc 得 6 49726 81914 1441211 abc abc abc 解之 得 1 22 131 a b c 函数解析式为 2 22131yxx 2 当17x 时 函数35yx 中 y 随 x 的增大而增大 当1x 最小值 时 3 1 58y 最小值 当712x 时 2 2 221311110yxxx 当11x 时 10y 最小值 所以 该农产品平均价格最低的是 1 月 最低为 8 元 千克 3 1 至 7 月份的月平均价格呈一次函数 4x 时的月平均价格 17 是前 7 个月的平均值 将8x 10 x 和11x 分别代入 2 22131yxx 得19y 11y 和10y 后 5 个月的月平均价格分别为 19 14 11 10 11 年平均价格为 17 7 19 14 11 10 1146 15 3 123 y 元 千克 当3x 时 1415 3y 4 5 6 7 8 这五个月的月平均价格高于年平均价格 4 2011 四川成都 26 8 分 某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃 苗圃的一边靠围墙 墙的长 度不限 另三边用木栏围成 建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD 已知木栏总长为 120 米 设 AB 边的长为 x 米 长方形 ABCD 的面积为 S 平方米 1 求 S 与 x 之间的函数关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 当 x 为何值时 S 取得最值 请指出是最大 值还是最小值 并求出这个最值 2 学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等 圆 其圆心分别为 1 O和 2 O 且 1 O到 AB BC AD 的距离与 2 O到 CD BC AD 的距离都相等 并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0 5 米 宽的平直路面 以方便同学们参观学习 当 l 中 S 取得最大值时 请问这 个设计是否可行 若可行 求出圆的半径 若不可行 请说明理由 答案 1 1800 30 2 2120 2 xxxS 当30 x时 S 取最大值为 1800 2 如图所示 过 1 O 2 O分别作到 AB BC AD 和 CD BC AD 的垂直 垂足如图 根据题意可知 O2 O1 围墙 DA BC 7 IOHOGOJOFOEO 222111 当 S 取最大值时 AB CD 30 BC 60 所以15 2 1 OOOO 2211 ABIGJF 15OO 21 HE 30151560 2121 HOEOEHOO 两个等圆的半径为 15 左右能够留 0 5 米的平直路面 而 AD和BC与两圆 相切 不能留 0 5 米的平直路面 6 2011 江苏无锡 25 10 分 本题满分 10 分 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果 他俩商定 张经理 的采购价 y 元 吨 与采购量 x 吨 之间函数关系的图象如图中的折线段 ABC 所示 不包含端点 A 但包含端点 C 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 已知老王种植水果的成本是 2800 元 吨 那么张经理的采购量为多少时 老王在这次买卖中所获的利润 w 最 大 最大利润是多少 答案 解 1 当 0 x 20 时 y 8000 1 分 当 20 x 40 时 设 BC 满足的函数关系式为 y kx b 则 20k b 8 000 40k b 4 000 2 分 解得 k 200 b 12 000 y 200 x 12 000 4 分 2 当 0 x 20 时 老王获得的利润为 w 8000 2800 x 5 分 5 200 x 104 000 此时老王获得的最大利润为 104 000 元 6 分 当 20 104 000 当张经理的采购量为 23 吨时 老王在这次买卖中所获得的利润最大 最大利润为 105 800 元 10 分 7 2011 湖北武汉市 23 10 分 本题满分 10 分 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园 其中 一边靠墙 另外三边用长为 30 米的篱笆围成 已知墙长为 18 米 如图所示 设这个苗圃园垂直于墙的一边的长 y x 0 4 000 8 000 20 40 A B C O2 O1 围墙 DA BC E FG H IJ 8 为 x 米 1 若平行于墙的一边的长为 y 米 直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围 2 垂直于墙的一边的长为多少米时 这个苗圃园的面积最大 并求出这个最大值 3 当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时 试结合函数图像 直接写出 x 的取值范围 答案 解 1 y 30 2x 6 x 15 2 设矩形苗圃园的面积为 S 则 S xy x 30 2x 2x2 30 x 来源 中 考 资 源 网 S 2 x 7 5 2 112 5 由 1 知 6 x 15 当 x 7 5 时 S 最大值 112 5 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为 7 5 米时 这个苗圃园的面积最大 最大值为 112 5 3 6 x 11 8 2011 湖北黄冈 23 12 分 我市某镇的一种特产由于运输原因 长期只能在当地销售 当地政府对该特产的 销售投资收益为 每投入 x 万元 可获得利润 21 6041 100 Px 万元 当地政府拟在 十二 五 规 划中加快开发该特产的销售 其规划方案为 在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资 在实 施规划 5 年的前两年中 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路 两年修成 通车前该特产只能在 当地销售 公路通车后的 3 年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地销售的投资收益为 每投入 x 万元 可获利润 299294 10100160 1005 Qxx 万元 若不进行开发 求 5 年所获利润的最大值是多少 若按规划实施 求 5 年所获利润 扣除修路后 的最大值是多少 根据 该方案是否具有实施价值 答案 解 当 x 60 时 P 最大且为 41 故五年获利最大值是 41 5 205 万元 前两年 0 x 50 此时因为 P 随 x 增大而增大 所以 x 50 时 P 值最大且为 40 万元 所以这两年获利最大 为 40 2 80 万元 后三年 设每年获利为 y 设当地投资额为 x 则外地投资额为 100 x 所以 y P Q 21 6041 100 x 2 99294 160 1005 xx 2 60165xx 2 301065x 表明 x 30 时 y 最大且为 1065 那么三年获利最大为 1065 3 3495 万元 故五年获利最大值为 80 3495 50 2 3475 万元 9 有极大的实施价值 9 2011 贵州贵阳 25 12 分 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架 如图 1 2 3 中的一种 设竖档 AB x 米 请根据以上图案回答下列问题 题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和 所 有横档和竖档分别与 AD AB 平行 1 在图 1 中 如果不锈钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米 4 分 2 在图 2 中 如果不锈钢材料总长度为 12 米 当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是 多少 4 分 3 在图 3 中 如果不锈钢材料总长度为 a 米 共有 n 条竖档 那么当 x 为多少时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积是多少 1 2 3 第 25 题图 答案 解 1 当不锈钢材料总长度为 12 米 共有 3 条竖档时 BC 12 3x 3 4 x x 4 x 3 解得 x 1 或 3 2 当不锈钢材料总长度为 12 米 共有 4 条竖档时 BC 12 4x 3 矩形框架 ABCD 的面积 S x 12 4x 3 4 3x 2 4x 当 x 4 2 4 3 3 2时 S 3 当 x 3 2时时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积为 3 平方米 3 当不锈钢材料总长度为 a 米 共有 n 条竖档时 BC a nx 3 矩形框架 ABCD 的面积 S x a nx 3 n 3x 2 a 3x 来源 中 考 资 源 网 当 x a 3 2 n 3 a 2n时 S a2 12n 10 当 x a 2n时 矩形框架 ABCD 的面积 S 最大 最大面积为 a2 12n平方米 10 2011 江苏盐城 26 10 分 利民商店经销甲 乙两种商品 现有如下信息 请根据以上信息 解答下列问题 1 甲 乙两种商品的进货单价各多少元 2 该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件 经调查发现 甲 乙两种商品零售单价分别每降 0 1 元 这两种商品每天可各多销售 100 件 为了使每天获取更大的利润 商店决定把甲 乙两种商品的零售 单价都下降 m 元 在不考虑其他因素的条件下 当 m 定为多少时 才能使商店每天销售甲 乙两种商品获 取的利润最大 每天的最大利润是多少 答案 1 设甲商品的进货单价是 x 元 乙商品的进货单价是 y 元 根据题意 得 x y 5 3 x 1 2 2y 1 19 解得 x 2 y 3 答 甲商品的进货单价是 2 元 乙商品的进货单价是 3 元 2 设商店每天销售甲 乙两种商品获取的利润为 s 元 则 s 1 m 500 100 m 0 1 5 3 m 300 100 m 0 1 即 s 2000m 2 2200m 1100 2000 m 0 55 2 1705 当 m 0 55 时 s 有最大值 最大值为 1705 答 当 m 定为 0 55 时 才能使商店每天销售甲 乙两种商品获取的利润最大 每天的最大利润是 1705 元 11 2011 湖北鄂州 23 12 分 我市某镇的一种特产由于运输原因 长期只能在当地销售 当地政府对该特产的 销售投资收益为 每投入 x 万元 可获得利润 21 6041 100 Px 万元 当地政府拟在 十二 五 规 划中加快开发该特产的销售 其规划方案为 在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资 在实 施规划 5 年的前两年中 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路 两年修成 通车前该特产只能在 当地销售 公路通车后的 3 年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地销售的投资收益为 每投入 x 万元 可获利润 299294 10100160 1005 Qxx 万元 若不进行开发 求 5 年所获利润的最大值是多少 若按规划实施 求 5 年所获利润 扣除修路后 的最大值是多少 根据 该方案是否具有实施价值 信息 1 甲 乙两种商品的进货单价之和是 5 元 信息 2 甲商品零售单价比进货单价多 1 元 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元 信息 3 按零售单价购买 甲商品 3 件和乙商品 2 件 共付了 19 元 11 答案 解 当 x 60 时 P 最大且为 41 故五年获利最大值是 41 5 205 万元 前两年 0 x 50 此时因为 P 随 x 增大而增大 所以 x 50 时 P 值最大且为 40 万元 所以这两年获利最大 为 40 2 80 万元 后三年 设每年获利为 y 设当地投资额为 x 则外地投资额为 100 x 所以 y P Q 21 6041 100 x 2 99294 160 1005 xx 2 60165xx 2 301065x 表明 x 30 时 y 最大且为 1065 那么三年获利最大为 1065 3 3495 万元 故五年获利最大值为 80 3495 50 2 3475 万元 有极大的实施价值 12 2011 湖北荆州 23 10 分 本题满分 10 分 2011 年长江中下游地区发生了特大旱情 为抗旱保丰收 某 地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法 其中购买 型 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存 在下表所示的函数对应关系 型 号 金 额 型设备 型设备 投资金额 x 万元 x 5 x 2 4 补贴金额 y 万元 y1 kx k 0 2 y2 ax2 bx a 0 2 4 3 2 1 分别求出 1 y和 2 y的函数解析式 2 有一农户同时对 型 型两种设备共投资 10 万元购买 请你设计一个能获得最大补贴金额的方案 并求出 按此方案能获得的最大补贴金额 答案 解 1 由题意得 5k 2 k 5 2 xy 5 2 1 2 3416 4 224 ba ba 解之得 5 8 5 1 b a xxy 5 8 5 1 2 2 2 设购 型设备投资 t 万元 购 型设备投资 10 t 万元 共获补贴 Q 万元 tty 5 2 4 10 5 2 1 tty 5 8 5 1 2 2 5 29 3 5 1 5 8 5 1 5 2 4 22 21 ttttyyQ 12 当 t 3 时 Q 有最大值为 5 29 此时 10 t 7 万元 即投资 7 万元购 型设备 投资 3 万元购 型设备 共获最大补贴 5 8 万元 13 2011 浙江金华 23 10 分 在平面直角坐标系中 如图 1 将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC 相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上 设抛物线 y ax2 bx c a0 的图象经过点 C 0 1 且与 x 轴交于不同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 1 求 c 的值 2 求 a 的取值范围 3 该二次函数的图象与直线 y 1 交于 C D 两点 设 A B C D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P 记 PCD 的面积为 S1 PAB 的面积为 S2 当 0 a 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 答案 1 c 1 2 将 C 0 1 A 1 0 得 A B K H N M D E Q x y O l 16 a b 1 0 故 b a 1 由 b2 4ac 0 可得 a 1 2 4a 0 即 a 1 2 0 故 a 1 又 a 0 所以 a 的取值范围是 a 0 且 a 1 3 由题意 0 a 1 b a 1 可得 b 2a 1 故 B 在 A 的右边 B 点坐标为 b a 1 0 C 0 1 D b a 1 AB b a 1 1 b a 2 CD b a S1 S2 S CDA SABC 1 2 CD 1 1 2 AB 1 1 2 b a 1 1 2 b a 2 1 1 所以 S1 S2为常数 该常数为 1 16 2011 山东日照 24 10 分 如图 抛物线 y ax2 bx a0 与双曲线 y x k 相交于点 A B 已知点 B 的坐 标为 2 2 点 A 在第一象限内 且 tan AOx 4 过点 A 作直线 AC x 轴 交抛物线于另一点 C 1 求双曲线和抛物线的解析式 2 计算 ABC 的面积 3 在抛物线上是否存在点 D 使 ABD 的面积等于 ABC 的面积 若存在 请你写出点 D 的坐标 若不存在 请你说明理由 答案 答案 1 把把点点 B 2 2 的坐标 代入 的坐标 代入 y x k 17 得 得 2 2 k k 4 即即双曲线的解析式为 双曲线的解析式为 y x 4 设设 A 点的坐标为 点的坐标为 m n A 点在双曲线上 点在双曲线上 mn 4 又又 tan AOx 4 n m 4 即即 m 4n 又 得 又 得 n2 1 n 1 A 点在第一象限 点在第一象限 n 1 m 4 A 点的坐标为 点的坐标为 1 4 把把 A B 点的坐标代入点的坐标代入 y ax2 b x 得 得 ba ba 242 4 解得解得 a 1 b 3 抛物线的解析式为 抛物线的解析式为 y x2 3x 2 AC x 轴轴 点 点 C 的纵坐标的纵坐标 y 4 代入代入 y x2 3x 得方程 得方程 x2 3x 4 0 解得 解得 x1 4 x2 1 舍去 舍去 C 点的坐标为 点的坐标为 4 4 且且 AC 5 又又 ABC 的的高为高为 6 ABC 的的面积面积 2 1 5 6 15 3 存在 存在 D 点使点使 ABD 的面积等于的面积等于 ABC 的面积的面积 过点过点 C 作作 CD AB 交抛物线于另一点交抛物线于另一点 D 因为直线因为直线 AB 相应的一次函数是 相应的一次函数是 y 2x 2 且 且 C 点的坐标为 点的坐标为 4 4 CD AB 所以直线所以直线 CD 相应的一次函数是 相应的一次函数是 y 2x 12 解方程组解方程组 122 3 2 xy xxy 得得 18 3 y x 所以点所以点 D 的坐标是 的坐标是 3 18 17 2011 浙江省 24 14 分 如图 在直角坐标系中 抛物线cbxaxy 2 a 0 与 x 轴交与点 A 1 0 B 3 0 两点 抛物线交 y 轴于点 C 0 3 点 D 为抛物线的顶点 直线 y x 1 交抛物线于点 M N 两点 过线段 MN 上一点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 Q 1 求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 问点 P 在何处时 线段 PQ 最长 最长为多少 3 设 E 为线段 OC 上的三等分点 链接 EP EQ 若 EP EQ 求点 P 的坐标 18 答案 1 由题意 得 由题意 得 3 039 0 c cba cba 解得 解得 3 2 1 c b a 32 2 xxy 4 1 2 x 顶点坐标为 顶点坐标为 1 4 2 由题意 得 由题意 得 P x x 1 Q x 32 2 xx 线段线段 PQ 32 2 xx x 1 4 2 xx 4 1 4 2 1 2 x 当当 x 2 1 时 线段时 线段 PQ 最长为最长为 4 1 4 3 E 为线段为线段 OC 上的三等分点 上的三等分点 OC 3 E 0 1 或 或 E 0 2 EP EQ PQ 与与 y 轴平行 轴平行 2 OE 32 2 xx x 1 当当 OE 1 时 时 x1 0 x2 3 点 点 P 坐标为 坐标为 0 1 或 或 3 2 当当 OE 2 时 时 x1 1 x2 2 点点 P 坐标为 坐标为 1 0 或 或 2 1 18 2011 浙江温州 22 10 分 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 2 4 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B 连结 OA 1 求 OAB 的面积 2 若抛物线 2 2yxxc 经过点 A 求 c 的值 将抛物线向下平移 m 个单位 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部 不包括 OAB 的边界 求 m 的取值范围 直接写出答案即可 19 答案 答案 解 解 1 点点 A 的坐标是 的坐标是 2 4 AB y 轴 轴 AB 2 OB 4 11 2 44 22 OAB SAB OB 2 把点把点 A 的坐标 的坐标 2 4 代入 代入 2 2yxxc 得得 2 2 2 2 4c c 4 22 24 1 4yxxx 抛物线顶点抛物线顶点 D 的坐标是的坐标是 1 5 AB 的中点的中点 E 的坐标是 的坐标是 1 4 OA 的中点的中点 F 的坐标是 的坐标是 1 2 m 的取值范围为的取值范围为 l m 3 19 2011 浙江丽水 23 10 分 在平面直角坐标系中 如图 1 将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC 相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上 设抛物线 y ax2 bx c a 0 过矩形顶点 B C 1 当 n 1 时 如果 a 1 试求 b 的值 2 当 n 2 时 如图 2 在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN 使 EF 在线段 CB 上 如果 M N 两点也 在抛物线上 求出此时抛物线的解析式 3 将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 使得点 B 落到 x 轴的正半轴上 如果该抛物线同时经过原点 O 20 试求出当 n 3 时 a 的值 直接写出 a 关于 n 的关系式 解 1 由题意可知 抛物线对称轴为直线 x 1 2 b 2a 1 2 得 b 1 2 设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx 1 由对称性可知抛物线经过点 B 2 1 和点 M 1 2 2 1 4a 2b 1 2 1 4a 1 2b 1 解得 a 4 3 b 8 3 所求抛物线解析式为 y 4 3x 2 8 3 x 1 3 当 n 3 时 OC 1 BC 3 设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx N M FE y x C B A O 图 1 图 2 图 3 y x C B A O CD 1 15厘米 y x CB AO 21 过 C 作 CD OB 于点 D 则 Rt OCD Rt CBD OD CD OC BC 1 3 设 OD t 则 CD 3t OD2 CD2 OC2 3t 2 t 2 12 t 1 10 10 10 C 10 10 3 10 10 又 B 10 0 把 B C 坐标代入抛物线解析式 得 0 10a 10b 3 10 10 1 10a 10 10 b 解得 a 10 3 a n2 1 n 20 2011 江西 24 10 分 将抛物线 c1 y 3x2 3沿 x 轴翻折 得抛物线 c2 如图所示 1 请直接写出抛物线 c2的表达式 2 现将抛物线 c1向左平移 m个单位长度 平移后得的新抛物线的顶点为 M 与 x 轴的交点从左到右依次为 A B 将抛物线 c2向右也平移 m个单位长度 平移后得到的新抛物线的顶点为 N 与 x 轴交点从左到右依次为 D E 当 B D 是线段 AE 的三等分点时 求 m的值 在平移过程中 是否存在以点 A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形 若存在 请求出此时 m 的值 若不 存在 请说明理由 22 答案 答案 解 1 y 3x 2 3 2 令 3x 2 3 0 得 x1 1 x2 1 则抛物线 c1与 x 轴的两个交点坐标为 1 0 1 0 A 1 m 0 B 1 m 0 当 AD 3 1 AE 时 如图 1 m 1 m 3 1 1 m 1 m m 2 1 当 AB 3 1 AE 时 如图 1 m 1 m 3 1 1 m 1 m m 2 当 m 2 1 或 2 时 B D 是线段 AE 的三等分点 存在 理由 连接 AN NE EM MA 依题意可得 M m 3 即 M N 关于原点 O 对称 OM ON A 1 m 0 E 1 m 0 A E 关于原点 O 对称 OA OE 四边形 ANEM 为平行四边形 要使平行四边形 ANEM 为矩形 必需满足 OM OA 即 m 2 3 2 1 m 2 m 1 当 m 1 时 以点 A N E M 为顶点的四边形是矩形 21 2011 甘肃兰州 28 12 分 如图所示 在平面直角坐标系 xoy 中 正方形 OABC 的边长为 2cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 2 yaxbxc 经过点 A B 和 D 4 2 3 1 求抛物线的表达式 2 如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm s 的速度向点 B 运动 同时点 Q 由点 B 出发 沿 BC 边以 1cm s 的速度向点 C 运动 当其中一点到达终点时 另一点也随之停止运动 设 S PQ2 cm2 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取 5 4 时 在抛物线上是否存在点 R 使得以点 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 3 在抛物线的对称轴上求点 M 使得 M 到 D A 的距离之差最大 求出点 M 的坐标 23 答案 1 由题意得 A 0 2 B 2 2 抛物线 2 yaxbxc 过 A B D 三点得 422 2 164 3 2 abc abc c 解得 1 6 1 3 2 a b c 抛物线的表达式为 2 11 2 63 yxx 来源 中 考 资 源 网 2 S PQ2 22222 22 584BPBQtttt 0 t 1 由 2 5 584 4 tt 解得 t 1 2 或 t 11 10 不合题意 舍去 此时 P 1 2 B 2 2 Q 2 3 2 若以点 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 则 R 3 3 2 或 1 5 2 或 1 3 2 经代入抛物线表达式检验 只有点 R 3 3 2 在抛物线上 所以抛物线上存在点 R 3 3 2 使得以点 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 3 过 B D 的直线交抛物线对称轴于点 M 则该点即为所求 因为如在对称轴上另取一点 N 则 ND NA ND NB2 AP 2 因此以 1 2 3 4 为边或以 2 3 4 5 为边都不符合题意 所以四条边的长只能是 3 4 5 6 的一种情况 在 Rt AOM 中 534 2222 OMOAAM 因为抛物线对称轴过点 M 所 以在抛物线5 x的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5 即 PM 5 此时点 P 横坐标为 6 即 AP 6 故以 A O M P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3 4 5 6 成立 即 P 6 4 法一 在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N 使 NAC 面积最大 38 设 N 点的横坐标为t 此时点 N 4 5 24 5 4 2 ttt 50 t 过点 N 作 NG y轴交 AC 于 G 由点 A 0 4 和点 C 5 0 可求出直线 AC 的解析式为 4 5 4 xy 把tx 代入得 4 5 4 ty 则 G 4 5 4 tt 此时 NG 4 5 4 t 4 5 24 5 4 2 tt tt 5 20 5 4 2 2 25 2 5 21025 5 20 5 4 2 1 2 1 222 tttttOCNGS ACN 当 2 5 t时 CAN 面积的最大值为 2 25 由 2 5 t 得 34 5 24 5 4 2 tty N 2 5 3 法二 提示 过点 N 作x轴的平行线交y轴于点 E 作 CF EN 于点 F 则 NFCAENAEFCANC SSSS 梯形 再设出点 N 的坐标 同样可求 余下过程略 32 2011 湖南永州 24 10 分 如图 已知二次函数cbxxy 2 的图象经过 A 2 1 B 0 7 两点 求该抛物线的解析式及对称轴 当x为何值时 0 y 在x轴上方作平行于x轴的直线l 与抛物线交于 C D 两点 点 C 在对称轴的左侧 过点 C D 作x轴的垂线 垂足分别为 F E 当矩形 CDEF 为正方形时 求 C 点的坐标 39 答案 解 把 A 2 1 B 0 7 两点的坐标代入cbxxy 2 得 7 124 c cb 解得 7 2 c b 所以 该抛物线的解析式为72 2 xxy 又因为8 1 72 22 xxxy 所以对称轴为直线1 x 当函数值0 y时 072 2 xx的解为221 x 结合图象 容易知道221221 x时 0 y 当矩形 CDEF 为正方形时 设 C 点的坐标为 m n 则72 2 mmn 即72 2 mmCF 因为 C D 两点的纵坐标相等 所以 C D 两点关于对称轴1 x对称 设点 D 的横坐标为p 则11 pm 所 以mp 2 所以 CD mmm22 2 因为 CD CF 所以7222 2 mmm 整理 得054 2 mm 解得1 m或 5 因为点 C 在对称轴的左侧 所以m只能取1 当1 m时 72 2 mmn 7 1 2 1 2 4 于是 得点 C 的坐标为 1 4 33 2011 山东东营 23 10 分 本题满分 10 分 在平面直角坐标系中 现将一块等腰直角三角形 ABC 放在第一 象限 斜靠在两坐标轴上 且点 A 0 2 点 C 1 0 如图所示 抛物线 2 2yaxax 经过点 B 第 24 题 40 1 求点 B 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否还存在点 P 点 B 除外 使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形 若存在 求所以点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案 解 1 过点 B 作 BD x 轴 垂足为 D BCD ACO 90 ACO OAC 90 BCD CAO 又 BDC COA 90 CB AC BDC CAO 90 BD OC 1 CD OA 2 点 B 的坐标为 3 1 2 抛物线 2 2yaxax 经过点 B 3 1 则得1 932aa 解得 1 2 a 所以抛物线的解析式为 2 11 2 22 yxx 3 假设存在点 P 似的 ACP 是直角三角形 若以 AC 为直角边 点 C 为直角顶点 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C BC 得到等腰直角三角形 ACP1 过点 P1作 P1M x 轴 如图 1 CP1 BC MCP1 BCD P1MC BDC 90 MCP1 BCD CM CD 2 P1M BD 1 可求得点 P1 1 1 经检验点 P1 1 1 在抛物线为 2 11 2 22 yxx 上 若以 AC 为直角边 点 A 为直角顶点 则过点 A 作 AP2 CA 且使得 AP2 AC 得到等腰直角三角形 ACP2 过点 P2作 P2N y 轴 如图 2 同理可得 AP2N CAO NP2 OA 2 AN OC 1 可求得点 P2 2 1 41 经检验点 P2 2 1 也在抛物线 2 11 2 22 yxx 上 若以 AC 为直角边 点 A 为直角顶点 则过点 A 作 AP3 CA 且使得 AP3 AC 得到等腰直角三角形 ACP3 过点 P3作 P3H y 轴 如图 3 同理可得 AP3H CAO HP3 OA 2 AH OC 1 可求得点 P3 2 3 经 检验点 P3 2 3 不抛物线 2 11 2 22 yxx 上 故符合条件的点有 P1 1 1 P2 2 1 两个 34 2011 内蒙古乌兰察布 24 16 分 如图 正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A 3 3 把直线 OA 向下平移后 与反比例函数的图象交于点 B 6 m 与 x 轴 y 轴分别交于 C D 两点 1 求 m 的值 2 求过 A B D 三点的抛物线的解析式 3 若点 E 是抛物线上的一个动点 是否存在点 E 使四边形 OECD 的面积 1 S 是四边形 OACD 面积S的 3 2 若存在 求点 E 的坐标 若不存在 请说明理由 42 答案 设反比例函数的解析式为 k y x 把3 3xy 代人解析式中求得9k 当6x 时 93 62 y 所以 3 2 m 设直线 OA 的解析式为 1OA yk x 把3 3xy 代人解析式中求得 1 1k 则有 OA yx 设直线 BD 的解析式为yBDxb 把 3 6 2 xy 代人解析式中求得4 5b 则有4 5 BD yx 所以 B 6 1 5 D 0 4 5 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc 由题意知 2 2 333 661 5 4 5 abc abc c 解得 0 5 4 4 5 a b c 所以 2