2011年中考数学函数专题复习2.pdf

2011 年中考数学函数专题复习 2011 年中考数学函数专题复习 1 变量之间的关系与平面直角坐标系 1 变量之间的关系与平面直角坐标系 回顾与思考 回顾与思考 知识点 知识点 平面直角坐标系 常量与变量 函数与自变量 函数表示方法 大纲要求 大纲要求 1 了解平面直角坐标系的有关概念 会画直角坐标系 能由点的坐标系确定 点的位置 由点的位置确定点的坐标 2 理解常量和变量的意义 了解函数的一般概念 会用解析法表示简单函数 3 理解自变量的取值范围和函数值的意义 会用描点法画出函数的图像 内容分析 1 平面直角坐标系的初步知识 在平面内画两条互相垂直的数轴 就组成平面直角坐标系 水平的数轴叫做 x 轴或横轴 正方向向右 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 正方向向上 两轴交点 O 是原点 这个平面叫 做坐标平面 x 轴和 y 把坐标平面分成四个象限 每个象限都不包括坐标轴上的点 要注意象限的编 号顺序及各象限内点的坐标的符号 由坐标平面内一点向 x 轴作垂线 垂足在 x 轴上的坐标叫做这个点的横坐标 由这个点 向 y 轴作垂线 垂足在 y 轴上的坐标叫做这个点的纵坐标 这个点的横坐标 纵坐标合在一 起叫做这个点的坐标 横坐标在前 纵坐标在后 一个点的坐标是一对有序实数 对于坐 标平面内任意一点 都有唯一一对有序实数和它对应 对于任意一对有序实数 在坐标平面 都有一点和它对应 也就是说 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 2 函数 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y 如果对于 x 的每一个值 y 都有唯一的值与它 对应 那么就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 用数学式子表示函数的方法叫做解析法 在用解析式表示函数时 要考虑自变量的取值 范围必须使解析式有意义 遇到实际问题 还必须使实际问题有意义 当自变量在取值范围内取一个值时 函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值 3 函数的图象 把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标 可以在 坐标平面内描出一个点 所有这些点组成的图形 就是这个函数的图象 也就是说函数图象 上的点的坐标都满足函数的解析式 以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐 标的点都在函数图象上 知道函数的解析式 一般用描点法按下列步骤画出函数的图象 i 列表 在自变量的取值范围内取一些值 算出对应的函数值 列成表 ii 描点 把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标 在坐标平 面内描出相应的点 iii 连线 按照自变量由小到大的顺序 用平滑的曲线把所描各点连结起来 例题经典 例题经典 了解平面直角坐标系的意义 会判断点的位置或求点的坐标 了解平面直角坐标系的意义 会判断点的位置或求点的坐标 例 1 在平面直角坐标系中 点 1 2 所在的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 考查已知的点的坐标 确定它的象限 答案 D 例 2 如果代数式 ab a 1 有意义 那么直角坐标系中点 A a b 的位置在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 要使根式有意义 a 和 b 都要大于 0 答案 A 例 3 1 2006 年益阳市 在平面直角坐标系中 点 A B C 的坐标分别为 A 2 1 B 3 1 C 1 1 若四边形 ABCD 为平行四边形 那么点 D 的坐标是 2 2006 年德州市 将点 A 3 1 绕原点 O 顺时针旋转 90 到点 B 则点 B 的坐标是 解析 利用数形结合的方法 直观求解 会根据图象获取信息 进行判断 会根据图象获取信息 进行判断 例 4 函数1 xy中 自变量 x 的取值范围是 答案 x l 例 5 下列四个图象中 不表示某一函数图象的是 分析 D 图不能用函数式表示出来 答案 D 例 6 2006 年怀化市 放假了 小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践 两人同时 工作了一段时间后 休息时小明对小丽说 我已加工了 28 千克 你呢 小丽 思考了一会儿说 我来考考 图 1 图 2 分别表示你和我的工作量与工作 时间关系 你能算出我加工了多少千克吗 小明思考后回答 你难不倒我 你现在加工了 千克 1 2 解析 结合已知条件和图象 先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作 效率 是解决问题的关键 例 7 05 枣庄 水池有 2 个进水口 1 个出水口 每个进水口进水量与时 间的关系如图甲所示 出水口出水量与时间的关系如图乙所示 某天 0 点到 6 点 该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示 下列论断 0 点到 1 点 打开两个进水口 关闭出水口 1 点到 3 点 同 时关闭两个进水口和 个出水口 3 点到 4 点 关门两个进水口 打开出水口 5 点到 6 点 同时打开两个进水口和一个出水口 其中 可能正确的论断是 A B C D 选 D 了解函数的表示方法 理解函数图象的意义 了解函数的表示方法 理解函数图象的意义 例 8例 8 2006 年贵阳市 小明根据邻居家的故事写了一道小诗 儿子学成今日返 老父早早到车站 儿子到后细端详 父子高兴把家还 如果用纵轴 y 表示父亲 与儿子行进中离家的距离 用横轴 x 表示父亲离家的时间 那么下面的图象与 上述诗的含义大致吻合的是 评析 本例主要考查识图能力 对于函数图象信息题 要充分挖掘图象所 含信息 通过读图 想图 析图找出解题的突破口 另外 函数图象信息通常是 以其他学科为背景 因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助 例 9 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时 实验记录得到的相应数 据如下表 砝码的质量x 克 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置 y 厘米 2 3 4 5 6 7 7 5 7 5 7 5 则 y 关于 x 的函数图象是 分析 当砝码的质量大于或等于 275 克时 指针位置 7 5 厘米 不变 答案 D 2 正比例 反比例 一次函数 2 正比例 反比例 一次函数 知识点 正比例函数及其图像 一次函数及其图像 反比例函数及其图像 大纲要求 1 理解正比例函数 一次函数 反比例函数的概念 2 理解正比例函数 一次函数 反比例函数的性质 3 会画出它们的图像 4 会用待定系数法求正比例 反比例函数 一次函数的解析式 内容分析 1 一次函数 1 一次函数及其图象 如果 y kx b K b 是常数 K 0 那么 Y 叫做 X 的一次函数 特别地 如果 y kx k 是常数 K 0 那么 y 叫做 x 的正比例函数 一次函数的图象是直线 画一次函数的图象 只要先描出两点 再连成直线 2 一次函数的性质 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k0 时 图象的两个分支分别在一 二 三象限内 在每个象限内 y 随 x 的增大 而减小 当 K 0 时 yx 的取值范围是 A x 4 B x 0 C x 4 D x0 b 0 而k 2 只需考虑m 2 0 由 2 22 20 mm m 1 便可求出m的值 用待定系数法确定一次函数表达式及其应用 用待定系数法确定一次函数表达式及其应用 例 5例 5 2006 年济宁市 鞋子的 鞋码 和鞋长 cm 存在一种换算关系 下表 是几组 鞋码 与鞋长的对应数值 鞋长16192427 鞋码22283844 1 分析上表 鞋码 与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数 2 设鞋长为 x 鞋码 为 y 求 y 与 x 之间的函数关系式 3 如果你需要的鞋长为 26cm 那么应该买多大码的鞋 评析 本题是以生活实际为背景的考题 题目提供了一个与现实生活密切 联系的问题情境 以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能 力 同时为学生构思留下了空间 建立函数模型解决实际问题 建立函数模型解决实际问题 例 6例 6 2006 年南京市 某块试验田里的农作物每天的需水量 y 千克 与生长时 间 x 天 之间的关系如折线图所示 这些农作物在第 10 天 第 30 天的 需水量分别为 2000 千克 3000 千克 在第 40 天后每天的需水量比前一天增 加 100 千克 1 分别求出 x 40 和 x 40 时 y 与 x 之间的 关系式 2 如果这些农作物每天的需水量大于或等于 4000 千克时 需要进行人工灌溉 那么应从 第几天开始进行人工灌溉 评析 本题提供了一个与生产实践密切联系的问题 情境 要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息 判断函数类 型 建立函数关系 为学生解决实际问题留下了思维空间 第二节 反比例函数 第二节 反比例函数 回顾与思考 回顾与思考 反比例函数 概念 图像与性质 应用 例题经典 例题经典 理解反比例函数的意义 理解反比例函数的意义 例1 若函数y m2 1 x为反比例函数 则m 2 3mm 5 解析 在反比例函数y k x 中 其解析式也可以写为y k x 1 故需满足两 点 一是m2 1 0 二是 3m2 m 5 1 会灵活运用反比例函数图象和性质解题 会灵活运用反比例函数图象和性质解题 例 2 若 M 1 2 1 y N 2 4 1 y P 3 2 1 y三点都在函数 x k y 0 的图 象上 则的大小关系为 321 yyy A B 2 y 3 y 1 y 2 y 1 y 3 y C D 3 y 1 y 2 y 3 y 2 y 1 y 点评 本题旨在考查学生对反比例函数性质的掌握情况 画出图象便一目了然 渗透了数形结合的数学思想 例 3 2006 年常德市 已知P1 x1 y1 P2 x2 y2 P3 x3 y3 是反比例 函数 y 的图象上的三点 且x1 x2 0 x3 则y1 y2 y3的大小关系是 A y3 y2 y1 B y1 y2 y3 C y2 y1 y3 D y2 y30 知双曲线两个分支分别 位于第一 三象限内 且在每一个象限内 y的值随着x值的增大而减小 点P1 P2 P3 的横坐标均为负数 故点P1 P2均在第三象限内 而P3的第一象限 故y 0 此题也可以将P P P三点的横坐标取特殊值分别代入y 2 x 中 求出y1 y2 y3的 值 再比较大小 例 4 某蓄电池的电压为定值 右图表示的是该蓄电池电流 I A 与电阻 R 之间的函数关系图像 请你写出它的函数解析式 是 答案 I 36 R 例 5 已知直线y kx b与双曲线y x k 交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则x1 x2的值 A 与 k 有关 与 b 无关 B 与 k 无关 与 b 有关 C 与 k b 都有关 D 与 k b 都无关 答案 D 例 6 2006 年烟台市 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y m x 图象交 于 A 2 1 B 1 n 两点 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的 值的 x 的取值范围 解析 1 求反比例函数解析式需要求出 m 的值 把 A 2 1 代入 y m x 中便可求出 m 2 把 B 1 n 代入 y 2 x 中得 n 2 由 待定系数法不难求出一次函数解析式 2 认真观察图象 结合图象性质 便可 求出 x 的取值范围 例 7 如图 Rt ABO的顶点A是双曲线y x k 与直线y x k 1 在第四象限的交 点 AB x轴于B 且S ABO 2 3 1 求这两个函数的解析式 2 求直线与双曲线的两个交点 A C 的坐标和 AOC 的面积 解 1 设 A 点坐标为 x y S ABO 3 2 k 3 点A在第四象限内 k 3 反比例函数的解 析式为y 3 x 一次函数的解析式为y x 2 2 解两个解析式的方程组得 x1 3 y1 1 x2 1 y2 3 A点坐标为 1 3 C点坐标为 3 1 设直线AC与y 轴交于点D 则D点坐标为 O 2 S AOC S AOD S COD 4 平方单位 3 用函数的观点看方程 组 或不等式 用函数的观点看方程 组 或不等式 回顾与思考 回顾与思考 例题经典 例题经典 利用一次函数图象求方程 组 的解 利用一次函数图象求方程 组 的解 例1 例1 1 2006 年陕西省 直线 y kx b k 0 的图象如图 1 则方程 kx b 0 的解为 x 不等式 kx b 0 的解集为 x 1 2 3 点评 抓住直线与 x 的交点就可迎刃而解 2 2006 年重庆市 如图 2 已知函数 y ax b 和 y kx 的图象 则方程组 yaxb ykx 的解为 点评 两直线的交点坐标即为方程组的解 利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围 利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围 例 2 例 2 2006 年吉林省 已知二次函数y1 ax2 bx c a 0 和直线y2 kx b k 0 的图象如图 3 则当x 时 y1 0 当x 时 y1y2 点评 抓住抛物线与 x 轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析 利用函数与方程 不等式关系解决综合问题 利用函数与方程 不等式关系解决综合问题 例 3例 3 某医药研究所开发了一种新药 在试验药效时发现 如果成人按规定剂 量服用 那么服药后 2 小时时血液中含药量最高 达每毫升 6 微克 1 微克 10 3 毫克 接着逐步衰减 10 小时时血液中含药量为每毫升 3 微克 每毫升血 液中含药量y 微克 随时间x 小时 的变 化如图所示 当成人按规定剂量服药后 1 分别求出 x 2 和 x 2 时 x 与 y 之间的函 数关系式 2 如果每毫升血液中含药量为 4 微克或 4 微克以上时在治疗疾病时是有效的 那么这个有效时间是多长 4 函数的综合应用 4 函数的综合应用 回顾与思考 回顾与思考 函数应用 1 2 3 4 一次函数 图像及性质 二次函数 图像及性质 反比例函数 图像及性质 综合应用 例题经典 例题经典 一次函数与反比例函数的综合应用 一次函数与反比例函数的综合应用 例 1例 1 2006 年南充市 已知点 A 0 6 B 3 0 C m 2 三点在同一 直线上 试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象 要 求标出必要的点 可不写画法 点评 本题是一道一次函数和反比例函数图象和性 质的小综合题 题目设计新颖