高中函数概念的教学与研究.ppt

德国F 克莱因 F 克莱因 F Klein 1849 1925 函数概念 应该成为数学教育的灵魂 以函数概念为中心 将全部数学教材集中在它周围 进行充分地综合 徐利治 1920 数学中的三大重要思想 函数思想 方程思想 化归思想 普通高中数学课程标准 函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终 国培计划 课程标准 函数 研究的延伸与高中数学 代数 研究的延伸与高中数学 几何 研究的延伸与高中数学 统计 研究的延伸与高中数学 应用 研究的延伸与高中数学 学科知识 函数概念的形成与演变 函数类型及性质的延伸 基于APOS理论的函数教学 一 函数概念的形成与演变 1 函数以表格 曲线形态呈现 一一对应思想是函数概念形成的基础 约在3万年前 伏羲时代 IIIIIIIVV 公元前1600年以前巴比伦人的数学泥板 晷影差分表 唐一行 张遂 683 727 在14世纪 法国奥雷斯姆 N Oresme 1320 1382 运用曲线表示速率与时间之间的关系 函数的早期形态 在17世纪 函数更多地以曲线的形态呈现出来 如logx sinx 等初等超越函数做曲线来研究的 2 函数是变量 function f k n 功能 作用 职务 职责 盛大宴会 仪式 数 函数 function 函数 一词 在数学中最初出现在解不定方程 已经蕴含了一种依赖关系 1673年 德国莱布尼兹的手稿里 function 表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量 莱布尼兹 G W Leibniz 1646 1716 万能大师 1692年 莱布尼兹第一次明确给出了函数定义 像曲线上的点的横坐标 纵坐标 切线的长度 垂线的长度等 所有与曲线上的点有关的量 即称为函数 此词出现前 Newton一直用 流量 一词来表示变量间的关系 3 函数是解析式 1718年 约翰 伯努利打破几何思想的束缚 给函数如下定义 变量的函数是由这个量和常量组成的解析表达式 第一次扩充 约翰 伯努利 JohannBernoulli 1667 1748年 瑞士数学家 欧拉 LeonardEuler 1707 1783 瑞士数学家 变数 x 和常数之间由加 减 乘 除 开方 三角 指数 对数等算法所构成的式子均称之为 解析的函数 1734年 欧拉以 f 表示函数 是数学史上首次以 f 表示函数 f x 取自 function 一词的第一个字母 但他认为一个函数就是一个解析表达式 一个函数对应一条连续曲线 欧拉的这一函数概念受到达朗贝尔等人的严厉批评 数学家查尔斯 J Charles 发现了即使是简单函数也存在着表达式不唯一的情形 如 看来 一个函数就是一个解析式的论断是站不住脚的 1755年 欧拉给出了一个新的函数定义 如果某些量这样地依赖于另一些量 当后者改变时它经受变化 那么称前者为后者的函数 第二次扩充 4 函数是对应 在这个定义中 虽然包含了解析式给出的函数 也包含了曲线给出的函数 但并没有指出 某些量 和 另一些量 依赖关系有何特性 柯西的函数定义 对于x的每一个值 如果y有完全确定的值与之对应 则y叫做x的函数 第三次扩充 柯西 Cauchy AugustinLouis1789 1857 法国数学家 这个定义打破了欧拉 真函数 与 伪函数 的概念 把用分段解析式表示的关系式纳入函数定义 而且基本上摆脱了 解析表达式 的要求 侧重于关于变量间关系的认识 不过柯西给出的具体例子仍考虑的是x和y的关系以若干个解析式表示的情形 也就是说 在18世纪 人们把函数只局限在初等函数范围内 至多限于分段函数 傅立叶 Fourier 1768 1830 法国数学家 物理学家 1807年 傅立叶在推导傅立叶级数时 发现一个函数可以表示成一个无穷三角级数 高斯 Gauss 1777 1855 德国数学家 物理学家 天文学家 1812年 高斯 Gauss 1777 1855 把超几何级数作为的函数 其表达式是无穷级数 1837 狄利克雷给出了新的函数定义 如果对于给定区间上x的所有值都对应着完全确定的y值 则称y是x的函数 至于用怎样的方法建立所指出的对应关系完全不是重要的 第四次扩充 狄利克雷 Dirichet 1805 1859 德国数学家 他还举出一个著名函数例子 以说明函数概念的一般性 狄利克雷的定义 避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述 简明精确 以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受 至此 我们已可以说 函数概念 函数的本质定义已经形成 这就是人们常说的经典函数定义 5 函数是关系 法国数学家达布 G Darboux 1842 1917 给出另一个函数 打破了人们对连续函数的直观理解 1861年举出了一个处处连续 但处处不可微的函数例子 现代分析之父 魏尔斯特拉 Weierstrass 1815 1897 德国数学家 其中a为奇数 b 0 1 为常数 使得 到了19世纪末 数学家们惊奇的发现 狄利克雷的函数定义 包含有出人意料的原则性问题 设每个自然数N 1 2 3 对应着数 是不是N的函数呢 例如 德国康托尔 Cantor 1845 1918 的 集合论 创立之后 美国维布伦 Veblen 1880 1960 用 集合 给出了近代函数定义如下 在变量y的集合与另一个变量x的集合之间 如果存在着对于x的每一个值 y有确定的值与之对应这样的关系 那么 变量y叫做变量x的函数 第六次扩充 打破了 变量是数 的限制 强调对应关系的存在性 20世纪中叶 更广泛的函数概念 设集合X Y 我们定义X与Y的积集X Y为X Y x y x X y Y 积集X Y中的一子集R称为X与Y的一个关系 若 x y R 则称x与y有关系R 记为xRy 若 x y R 则称x与y无关系 现设f是X与Y的关系 即f X Y 如果 x y x z f 必有y z 那么称f为X到Y的函数 第七次扩充 函数概念的定义经历无数数学家们的千锤百炼 李善兰 1811 1882 清代数学家 天文学家 力学家 植物学家 李善兰 在中国传统数学史上 唯一能与刘徽等功的人 张奠宙 函数 一词的创造者 他与英国汉学家伟烈亚力等合译欧几里得 几何原本 后9卷 代数学 13卷 代微积拾级 18卷 圆锥曲线说 3卷 重学 20卷 谈天 18卷等多种西方数学及自然科学书籍 一生翻译西方科技著作无数 代数学 方程式 代数 函数 常数 变数 系数 未知数 虚数等近30个名词 解析几何 原点 圆锥曲线 抛物线 双曲线 渐近线 切线 法线 超 越曲线 摆线 蚌线 螺线等20多个名词 微积分 无穷 极限 曲率 歧点 微分 积分等20多个名词 首创了一大批汉语数学名词 1 2 3 一 二 三 a b c d x y z w 甲 乙 丙 丁 天 地 人 物 A B C 呷 口 乙 口 丙 等 加 减 一 运算符号 乘 除 括号 根号 等号 小于号 大于号 等符号 微分 彳 积分 禾 表示 彳人 口丙 禾 二 函数类型及性质的延伸 1 基本初等函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数 反三角函数 设y f u u A u g x B g x x I 且BA 则y f g x 称为y f u 与u g x 复合而成的复合函数 有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一 也是难点之一 考查复合函数主要集中在解析式 定义域 奇偶性 周期性 对称性等问题 其中求抽象复合函数的定义域是重中之重 2 复合函数 已知 现有下列命题 其中的所有正确命题的序号是 A B C D 2014年四川高考 理科 第9题 答案 A 试题分析 选择题 解析 故 正确 故 不正确 在单增 当 时 令 又与为奇函数 所以成立故 正确 3 幂指函数 4 隐函数 5 参数方程 共同特点 均可转化为基本初等函数的复合函数 6 最值函数 结论 定理 若函数在 a b 上连续 则 在 a b 上也连续 7 双曲函数 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 有与三角函数相类似的公式 选A 8 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次函数复合而成的函数 均不是初等函数 重要性质 一切初等函数在定义区间内连续 非定义域 9 非初等函数 分段函数 用两个或两个以上解析式表示的函数 人教版A 必修1 P21 招手即停 极限存在性定理 考查分段函数主要集中在求值问题 求解析式问题 求反函数问题 奇偶性问题 复合问题 分界点处的极限 连续性及导数问题 求原函数问题等 狄利克雷函数 特点 不能作出图象 无最小正周期 以任意正有理数为周期 处处不连续 有界而不可积 符号函数 特点 单增有界而不连续 取整函数 高斯函数 阶梯曲线 特点 无解析表达式 整数点间断 R内单增 y是不超过x的最大整数 记y x 纯小数函数 y是x的非负纯小数 记y x 性质 特点 无解析表达式 整数点间断 以1为周期 黎曼函数 性质 0 1 内的极限处处为0 0 1 内的无理点处处连续 有理点处处不连续 在 0 1 上的积分为0 黎曼函数有时也被称为爆米花函数 雨滴函数 嘎玛 Gamma 函数 性质 定义域内连续可导 分析表达式 概率积分 10 连续函数 人教A版 必修1 p88 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 函数 教学建议 一切初等函数在定义区间内连续 三 基于APOS理论的函数教学 APOS理论 美国杜宾斯基 E Dubinsky 提出 以建构主义为基础的数学学习理论 APOS action 活动 process 过程 object 对象 schema 图式 杜宾斯基认为 一个人是不可能直接学习到数学概念的 人们透过心智结构 mentalstructure 使所学的数学概念产生意义 教学的目的 如何帮助学生建立适当的心智结构 APOS理论的理论模型 1 四阶段模型Ed Dubinsky认为 学生学习数学概念就是要建构心智结构 这一建构过程要经历以下4个阶段 第一阶段 活动 或操作 action 阶段活动是指个体通过一步一步的外显性 或记忆性 指令去变换一个客观的数学对象 数学教学是数学活动的教学 操作运算行为是数学认知的基础性行为 这种实践性与物理 化学 生物等实验科学的观察试验行为所不同 但数学活动仍需实际操作演算和头脑中的心理操作 思想实验 没有物理操作和心理的操作 数学概念将成为无源之水 无本之木 第二阶段 过程 process 阶段当 活动 经过多次重复而被个体熟悉后 物理操作就可以内化为一种叫做 过程 process 的心理操作 有了这一 程序 个体就可以想象之前的活动 而不必通过外部刺激 他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作 他甚至还可以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合 第三阶段 对象 object 阶段当个体能把这个 过程 作为一个整体进行操作和转换的时候 这个过程就变成了他的一种心理 对象 object 这时 个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算 需要的时候 也可以具体再现对象所包含的过程步骤 第四阶段 图式 scheme 阶段个体对活动 过程 对象以及他原有的相关方面的图式进行相应的整合 精致就会产生出新的图式结构 scheme 从而可运用于问题解决情境 一个数学概念的 图式 是由相应的活动 过程 对象以及相关的图式所组成的认知框架 其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式 从而就会作出不同的反应 APOS理论的四阶段模型 活动阶段 是学生理解概念的一个必要条件 通过 活动 让学生亲身体验 感受概念的直观背景和概念间的关系 过程阶段 是学生对 活动 进行思考 经历思维的内化 压缩过程 学生在头脑中对活动进行描述和反思 抽象出概念所特有的性质 图式阶段 的形成要经过长期的学习活动来完善 使其达到精致化 起初的概型包含反映概念的特例 抽象过程 定义及符号 经过学习建立起与其它概念 规则 图形等的联系 在头脑中形成综合的心理图式 对象阶段 是通过前面的抽象 认识到了概念本质 对其赋予形式化的定义及符号 成为一个具体的对象 在以后的学习中以此为对象去进行新的活动 APOS案例 函数概念 1 活动阶段理解函数需要进行活动或操作 例如 在有现实背景的问题中建立函数关系y X2 需要用具体的数字构造对应 2 4 3 9 4 16 5 25 通过操作 理解函数的意义 2 过程阶段把上述操作活动综合成为一个函数过程 一般地有x x2 其它的各种函数也可以概括为一般的对应过程 x f x 3 对象阶段把函数过程上升为一个独立的对象来处理 比如 函数的加减乘除 复合运算等 在表达式f x 土g x 中 函数