高三--空间立体几何综合复习(一)(教师)---副本.doc

此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 高三 空间立体几何综合复习 一 一 选择题一 选择题 1 已知 ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的等边 A B C 那么原 ABC 的面积为 解析 如图 作 C D 平行于 y 轴 交 x 轴于 D 在 A D C 中 由正弦定理得 a S ABC 2 2 2 a sin2 3 2 sin 46 1 266 答案 2 6 2 2012 年高考 北京 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 B A 286 5 B 306 5 C 56 12 5 D 60 12 5 3 一个体积为 12的正三棱柱的三视图如图所示 则这个三棱柱的侧视图的面积为 A 3 A 6 B 8 3 C 8 D 12 3 5 一个空间几何体的三视图如图所示 该几何体的体积为 12 则正视图中 x 的值 8 5 3 为 c A 5 B 4 C 3 D 2 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 6 某几何体的一条棱长为7 在该几何体的正视图中 这条棱的投影是长为6的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段 则 a b 的最 大值为 c A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 7 对于不重合的两个平面与 给定下列条件 存在平面 使得 都垂直于 存在平面 使得 都平行于 内 有不共线的三点到的距离相等 存在异面直线 m n 使得 m m n n 其中 可以判定与平行的条件有 B A 1 个 B 2 个C 3 个D 4 个 8 有五根长都为 2 的直铁条 若再选一根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 d A 0 62 B 1 C 62 62 D 0 2 32 3 变式 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a且长为a的棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 a A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 9 如图 在棱长为 1 的正方体中 分别为棱的中点 1111 ABCDABC D EF 11 AABB 为棱上的一点 且 则点到平面的距离为 G 11 AB 1 01 AG G 1 D EF 3 2 2 2 3 5 5 1 D 1 C C B A E 1 A G F 1 B D n m k 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 10 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点 则异面直线与所成的角的余弦值为 D BCAB 1 CC A B C D w w w k s 5 u c o m 3 4 5 4 7 4 3 4 解 设的中点为 D 连结D AD 易知即为异面直线与所成BC 1 A 1 A AB AB 1 CC 的角 由三角余弦定理 易知 故选 D w w w k s 5 u c o m 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 11 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中心 则与底面所成角的正弦值等于 B ABC 1 ABABC A B C D 1 3 2 3 3 3 2 3 答 B 由题意知三棱锥为正四面体 设棱长为 则 棱柱的高 1 AABC a 1 3ABa 即点到底面的距离 故与 2222 1 236 323 AOaAOaaa 1 BABC 1 AB 底面所成角的正弦值为 ABC 1 1 2 3 AO AB 12 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形 另外两个侧面都是有一个内角为的菱 0 60 形 则该棱柱的体积等于 B 22 23 24 2 解 如图在三棱柱中 设 111 ABCABC 0 1111 60AABAAC 由条件有 作于点 0 111 60C AB 111 AOABC 面O 则 0 11 1 0 11 coscos6013 cos coscos3033 AAB AAO B AO 1 6 sin 3 AAO 11 2 6 sin 3 AOAAAAO 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 故选 B 1 111 1 1 0 12 6 2 2 sin602 2 23 AO ABC A BCA B C VSAO 13 2012 年高考 新课标 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 提示 O ABC 为正四面体 讲正四面体的内外接球的半径位置 0 ABC V 1 2 S ABC V 讲 正四面体中的异面直线成角情况 对边情况 中线情况 变式 已知正四面体 A BCD 设异面直线 AB 与 CD 所成的角为 侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 侧面 ABC 与底面 BCD 所成的角为 则 B A B C D 解析 取底面 BCD 的中心点 O 连接 AO BO 易知 取 BC 的中点 E 连接 ABO AE OE 易知 易知 延长 BO 交 CD 于 F 则 AEO 2 0 CDBF 又 即 CDAO ABFCD平面 ABCD 2 14 如图 在斜三棱柱中 则在底面 ABC 111 CBAABC 90BACACBC 11 C 上的射影 H 必在 A A 直线 AB 上 B 直线 BC 上 C 直线 AC 上 D 内部ABC 如图 由 所 BBCABBCACABAC 11 以 在平面 ABC 上 1 ABCAC平面 1 ABCABCABCAC平面 所以平面平面 1 C 的射影 H 必在两平面交线 AB 上 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 15 已知矩形 ABCD AB 1 BC 将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折 在翻折过程中 B A 存在某个位置 使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B 存在某个位置 使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C 存在某个位置 使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D 对任意位置 三对直线 AC 与 BD AB 与 CD AD 与 BC 均不垂直 解 ACBDAEC EC 过A作BD 的垂线交与E点 连结EC 若则BD平面 那么BD这是不可能的 故选择 B BCBCAC 若AD而C D那么BC而这是不可能的 16 过正方体 1111 ABCDABC D 的顶点 A 作直线 L 使 L 与棱AB AD 1 AA所成的角都 相等 这样的直线 L 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第 一类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条棱 的外角和另 2 条棱夹角相等 有 3 条 合计 4 条 17 正方体 ABCD 的棱上到异面直线 AB C的距离相等 1 A 1 B 1 C 1 D 1 C 的点的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 w w w k s 5 u c o m 答案 C 解析 解析如图示 则 BC 中点 点 点 点分别到两异面直线的距离相等 1 BD 1 D 即满足条件的点有四个 故选 C 项 18 在正方体 ABCDA1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 CC1的中点 则在空间中与三条 直线 A1D1 EF CD 都相交的直线 D A 不存在B 有且只有两条C 有且只有三条D 有无数条 19 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在直线的距离相等的点 D A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D上的所有的点 20 已知直线与平面所成角为 P 为空间一定点 过 P 作与 所成角都是a 30a 的直线 则这样的直线 可作 A 45ll A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 无数条 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 法 1 圆锥法 法 2 与法向量 21 已知二面角的大小为 P 为平面外的一定点 则过点 P 且与 l 50 所成的角都是的直线的条数为 B 25 A 2 B 3 C 4 D 5 法法 1 直接与平面的关系 找中间位置 直接与平面的关系 找中间位置 法法 2 与法向量成 与法向量成 65 22 已知异面直线 a b 所成的角为 空间中有一定点 P 过 P 点作直线 使得 与 a b 60ll 所成的角为 则这样的 有 A 条 15l A 0 B 2 C 3 D 无数 解法同上解法同上 23 已知二面角的大小为 过外一定点的平面 与平面和平面 l 70 所成的角都是的平面的个数为 B 45 A 1 B 2 C 3 D 4 转化为转化为 三个法向量之间的关系三个法向量之间的关系 24 在正三棱锥 P ABC 中 M 为内 含边界 一动点 且点 M 到三个侧面ABC PAB PBC PCA 的距离成等差数列 则点 M 的轨迹是 B A 一条折线段 B 一条线段 C 一段圆弧 D 一段抛物线 B 提示 如图由于正三棱锥 P ABC 的三个侧面积相等 因此 点 M 到三个侧面 PAB PBC PCA 的距离成等差数列等价于三个三棱锥 M PAB M PBC M PCA 的体积 成等差数列 即 所以 从而 PCAMPABMPBCM VVV 2 ABCMPBCM VV 3 故点 M 的轨迹是经过的重心且平行于 BC 的一条截线段 ABCMBC SS 3 1 MBC 25 已知正方体的棱长为 1 点 P 在线段上 当最大时 1111 DCBAABCD 1 BDAPC 三棱锥 P ABC 的体积为 B 9 B C D 24 1 18 1 9 1 12 1 26 如图所示 M N 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 A1A 和 AB 的点 若 那么的大小是 C 1 NMC 90 1 NMB A 大于 B 小于 C 等于 D 不能确定90 90 90 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 D C D B A C A B F E D1C1 A1 B1 AB C D M N 27 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 A1D1 CC1的中点 P 为 A1B1上的 一动点 则 PF 与 AE 所成的角为 C A B C D 不能确定45 60 90 28 如图 在棱长为 如图 在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCD A1B1C1B1D1中 点中 点 P 在线段在线段 AD1上运动 给出上运动 给出 以以下四个命题 下四个命题 异面直线异面直线 C1P 与与 CB1所成的角为定值 所成的角为定值 二面角二面角 P BC1 D 的大小为定值 的大小为定值 三棱锥三棱锥 D BPC1的体积为定值 的体积为定值 异面直线异面直线 A1P 与与 BC1间间 的距离为定值 其中真命题的个数为的距离为定值 其中真命题的个数为 D A 1B 2 C 3D 4 29 2010 北京 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D 的棱 长 为 2 动点 E F 在棱 11 AB 上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 A E x DQ y D 大于零 则四 面体 PE 的体积 D 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 30 如图 正方体的棱线长为 1 线段上有两个动点且 DCBAABCD DBFE 则下列结论中错误的是 D 2 2 EF D1C1 A1 B1 AB C D P F E 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 A B C D A1 B1 C1 D1 O A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥的体积为定值ABEF D 异面直线所成的角为定值 AE BF 31 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面 ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析解析 D D 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 连结 连结 SESE 过 过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 连 连 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 为为 BCBC 中点 中点 BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角 由正三角形边长所成角 由正三角形边长 3 3 3AE AS 3AS 3 SE SE 2 3 AF AF 3 2 3 sin 4 ABF 32 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的 求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想 的具体体现 解析 1 因为 BB1 DD1 所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平面 AC 1 D所成 角相等 设 DO 平面AC 1 D 由等体积法得 11 D ACDDACD VV 即 A B C S E F 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 设 DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 记 DD1与平面 AC 1 D所成角为 则 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 1 OO 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 33 在正四棱柱中 顶点到对角线和到平面的距离分 1111 ABCDABC D 1 B 1 BD 11 ABCD 别为和 则下列命题中正确的是 C hd A 若侧棱的长小于底面的边长 则的取值范围为 h d 0 1 B 若侧棱的长小于底面的边长 则的取值范围为 h d 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的边长 则的取值范围为 h d 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的边长 则的取值范围为 h d 2 3 3 答案 C 解析设底面边长为 1 侧棱长为 过作 0 1 B 1111 B HBD BGAB 在中 由三角形面积关系得w w w k s 5 u c o m 11 Rt BB D 2 111 2 2B DB D 设在正四棱柱中 由于 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 1 BCAB BCBB 所以平面 于是 所以平面 故为BC 11 AAB B 1 BCBG 1 BG 11 ABCD 1 BG 点到平面 的距离 在中 又由三角形面积关系得 11 ABCD 11 Rt AB B 于是 于是 111 1 2 11 AB BB dBG AB 2 2 2 211 21 2 2 h d 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 P A B C 当 所以 所以1 2 2 21 23 11 32 2 3 32 d h 34 如图所示 在正方体中 E 是棱 1111 DCBAABCD 的中点 F 是侧面上的动点 且 1 DD 11C CDD 则与平面所成角的正切值BEAFB 11 平面FB1 11C CDD 构成的集合是 C A 2B 5 5 2 C 222 ttD 25 5 2 tt 35 正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为自变量 则相邻两侧面所成二面角的余x 弦值与之间的函数解析式是 A xfx A B C D 2 2 2 x x xf 2 2 2 x x xf 2 2 2 x x xfxxf 3 3 36 如图是一个由三根细铁杆组成的支架 三根细铁杆的两夹角都是 一个半径为 160 的球放在该支架上 则球心到的距离为 C C P C D 22 3 2 3 37 用一个边长为的正方形硬纸 按各边中点垂直折起四个小三角形 做成一个蛋巢 现2 将半径为 1 的球体放置于蛋巢上 则球体球心与蛋巢底面的距离为 B 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 A B 21 2 31 2 C D 51 2 51 2 二 填空题二 填空题 38 设M N是直角梯形ABCD两腰的中点 DE AB于E 如图 现将 ADE沿DE折起 使 二面角A DE B为 45 此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B 则M N的连线与AE所 成角的大小等于 90 变式 等边三角形与正方形有一公共边 二面角的余弦值为ABCABDEABCABD 分别是的中点 则所成角的余弦值等于 3 3 MN ACBC EMAN 答案 设 作 1 6 2AB COABDE 面 则 为二面角的平面角OHAB CHAB CHO CABD 结合等边三角形3 cos1CHOHCHCHO ABC 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥 则ABDE3ANEMCH 11 22 ANACAB EMACAE 11 22 AN EMABACACAE 1 2 故所成角的余弦值EMAN 1 6 AN EM AN EM 39 已知 O 为三棱锥 P ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影 若 PA PB PC 则 O 为 ABC 的 外 心 若有 则 O 为 ABC 的 垂 心 若 P 到 ABC PABC PBAC 三边的距离相等 则 O 为 ABC 的 内 心 三个侧面与底面所成的二面角相等 平面 ABC 垂足为 O O 为底面 ABC 的 内 心 PO 40 在平面几何里 设 ABC 的两边 AB AC 相互垂直 则 222 ABACBC 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系 可以 得 出正确结论是 设三棱锥 A BCD 的三个侧面两两相互垂直 则 三个侧面面积的平方和 M N D C B A 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 等于底面的平方和 41 正方体的截面不可能是 钝角三角形 直角三角形 菱形 正五边形 正六 边形 下述选项正确的是 B B B C D 42 如 图 平 行六面体中 以顶点 A 为端点 1111 DCBAABCD 的三条 棱长都为 1 且两两夹角为 则与 AC 夹 60 1 BD 角的余弦值 为 6 6 方法 基向量法方法 基向量法 43 如图 在正三棱锥 A BCD 中 E F 分别是 AB BC 的中点 EF DE 且 BC 1 则正三棱锥 A BCD 的体积是 2 24 44 如图 二面角l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 解析 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为AB与平面 所成的角w w w k s 5 u c o m 设 AD 2 则 AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 A B C D 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 sin ABC 3 4 AC AB 答案 3 4 45 在正三棱柱中 AB 1 边 AB 上有一点 P 锐二面角 111 CBAABC 1 AA 的大小分别为 则的最小值为 111 BCAP 111 ACBP tan 提示设 AP 易得 13 38 x 433 32 tantan1 tantan tan 2 xx 46 直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上 若 AB AC AA1 2 BAC 120 则此球的表面积等于 解析 在 ABC 中 AB AC 2 BAC 120 可得 BC 2 由正弦定理 可得 ABC 3 外接圆半径 r 2 设此圆心为 O 球心为 O 在 Rt OO B 中 易得球半径 R 故 5 此球的表面积为 4 R2 20 答案 20 47 如图 在三棱锥OABC 中 三条棱OA OB OC两两垂直 且OA OB OC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S的大小关系为 答案 321 SSS 解析 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长方 体验证结论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 三 解答题三 解答题 48 如图 四棱锥中 侧面为等边三角形 SABCD AB CDABCCD SAB 2 1ABBCCDSD I 证明 平面 SAB SD II 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 50 07 全国 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面底SABCD ABCDSBC 面 已知 ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的大小 SDSAB 解法一 作 垂足为 连结 由侧面底面 得底面SOBC OAOSBC ABCDSO ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 故为等腰直角三角形 45ABC AOB AOBO 由三垂线定理 得 SABC 由 知 依题设 SABC ADBC 故 由 得SAAD 2 2ADBC 3SA 2AO 1SO 11SD 的面积 SAB 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A 连结 得的面积DBDAB 2 1 sin1352 2 SAB AD A 设到平面的距离为 由于 得DSABh D SABSABD VV 12 11 33 h SSO S AA 解得 2h 设与平面所成角为 则SDSAB 222 sin 1111 h SD 51 在四面体 ABCD 中 AB AC 1 AD 是正三角形 0 90BAC 3BCD C 求证 ADBC D 求 AB 与平面 ACD 所成的角 O D B C A S D B C A S 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 D C A B 取 CB 中点 E 连结 EA ED 52 已知四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角 形 底面 ABCD 为菱形 0 60BAD 1 求证 0 90PBC 2 若 PB 3 求直线 AB 与平面 PBC 所成的角 53 如图 在四棱锥中 底面 ABCD 是矩形 PABCD 已知 AB 3 AD 2 PD 2 2PAB 0 60 1 证明 平面 PABAD 2 求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小 3 求二面角 P BD A 的大小 54 如图已知矩形过作94 10 ABCDA 平面 再过作交于作SA ACAAESB SBE 交于EFSC SCF 求证 1AFSC 若平面交于 求证 2AEFSDGAGSD P A D C B A D BC P G F E C A B D S 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 55 如图 在三棱锥中 底面 于 PABC PA ABC90ABC AEPB E 于 若 则当的面积最大时的值为AFPC F2PAAB BPC AEF tan 多少 j P AB C F E 解 因平面 则又 故平面 故平面PA ABCPABC BCAC BC PAC 平面 PBC PAC 在 2 2AFPCAFPBC AFEF PAABAEPBAE 22 2222 2 21 2 AFEF Rt AEF AFEFAEAFEF A 因此 111 1 222 AEF SAFEF A 当且仅当时 上式中等号成立 即取得最大值AFEF AEF SA 1 2 这时 又 由三垂线定理的逆定 2 11AEEFEFEF AFPBC AEPB 理 得 在中 由 知FEPB Rt PEFA2 1PEEF 12 tan 22 56 如图 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直 ABCDACEF 是线段的中点 2AB 1AF MEF 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 求证 平面 AMBDE 2 求二面角的大小 ADFB 3 试在线段上确定一点 使得与所成的角ACPPFBC 是60 57 如图 在三棱锥中 侧面 是全等的直角三角形 是公共ABCD ABDACDAD 的斜边 且 另一个侧面是正三角形 3AD 1BDCD ABC 1 求证 ADBC 2 求二面角的大小BACD 3 在线段上是否存在一点 使与面成角 若存在 确定点的位ACEEDBCD30 E 置 若不存在 请说明理由 58 如图 在三棱锥中 PABC 90APB 平面平面 60PAB ABBCCA PAB ABC 求直线与平面所成角的大小 PCABC 求二面角的大小 BAPC 59 2006