2013传热学补充教材.doc

传热学教学补充材料 任课教师 贾志海 赵明 郝晓红 单彦广 杨茉 上海理工大学工程热物理研究所 2013 年 9 月 1 目 录 一 教学进度计划表 3 二 思考题和练习题 4 三 补充习题 4 四 复习提纲 7 五 计算机实习指导书 11 1 练习题一 一维稳态导热的数值计算 11 2 练习题二 二维稳态导热的数值计算 14 3 练习题三 一维非稳态导热的数值计算 15 六 补充内容 绕流平板的流动和换热 无量纲参数 比拟和相似 19 1 物理问题 19 2 数学模型 19 3 数学模型的无量纲化 19 4 局部对流换热系数和平均对流换热系数 20 5 局部阻力系数和平均阻力系数 22 6 无量纲参数及其关联 22 7 比拟和相似 23 2 教材教材 杨世铭杨世铭 陶文铨陶文铨 编编 传热学传热学 第四版 高等教育出版社 第四版 高等教育出版社 2006 教学参考书 教学参考书 1 杨世铭 陶文铨 传热学 第三版 北京 高等教育出版社 1998 2 J P Holman Heat Transfer Seventh 9th Ed McGraw Hill New York 1999 3 陈钟颀 传热学专题讲座 北京 高等教育出版社 1989 4 南京工学院数学教研组 数学物理方程与特殊函数 北京 人民教育出版社 1978 5 谢树艺 矢量分析与场论 第二版 北京 高等教育出版社 1997 6 埃克特 E R G 德雷克 RM 美 航青译 传热传质分析 北京 科学出版社 1983 7 陶文铨 数值传热学 西安 西安交通大学出版社 1988 8 Kreith Frank London Collier Macmillan 1984 14 斯帕罗 E M 塞斯 R D 辐射换热 顾传保 张学学译 北京 高等教育出版社 1982 15 余其铮 辐射换热原理 哈尔滨 哈尔滨工业大学出版社 2000 16 杨贤荣 马庆芳 辐射换热角系数手册 北京 国防工业出版社 1982 17 茹卡乌斯卡斯 A A 马昌文 等译 换热器内的对流传热 北京 科学出版社 1986 18 黄素逸 动力工程现代测试技术 武汉 华中科技大学出版社 2002 19 曹玉璋 实验传热学 北京 国防工业出版社 20 王秋旺 传热学重点难点及典型题精解 西安 西安交通大学出版社 2001 21 Cengel Y A Heat Transfer A Practical Approach WCB McGraw Hill Boston 1997 22 Incropera F P DeWitt D P Introduction to Heat Transfer 4th edition John Willey b E E EE 2 2 1 1 3 计算 1 角系数 代数法 a 一个方向无限长封闭三凸面 1 321 2 1 2l lll X b 一个方向无限长任意两 凸面 10 的断面长度表面 不交叉线之和交叉线之和 1 2 1 2A X c 由角系数定义直接计算 查表 资料 法 积分法 2 角系数性质 相对性 1 212 12 XAXA 完整性 1 1 1 n i i X 分解性 23 213 1213 21 AXAXAX 2 31 321 3 XXX 3 两表面封闭体系的辐射换热量 一般式 22 2 12 111 1 4241 2 1 1 1 1 100 100 67 5 AAXA TT 几种特殊情况的简化式 a 时 1 2 1 X 1 1 100 100 67 5 22 1 1 1 4241 1 2 1 A A TT A b 时 1 1 22 1 XX 1 11 100 100 67 5 21 4241 1 2 1 TT A c A1 A2 0 时 4241 112 1 100 100 67 5 TT A 4 分析 1 辐射特点 与对流和导热相比 2 一般意义的辐射与阳光辐射的区别 3 黑体与黑色物体的区别 白体与白色物体的区别 4 基尔霍夫定律的条件 5 黑度对辐射换热系数的影响 6 减少辐射换热的方法 六 六 传热与换热器传热与换热器 1 概念 传热系数 表面传热系数 辐射换热表面传热系数 复合换热表面传热系数 临界绝 缘直径 肋面总效率 肋化系数 顺流 逆流 叉流 传热有效度 NTU 套管式换 热器 壳管式换热器 壳程数 管程数 污垢热阻 强化换热的原则 2 计算 1 传热系数 平壁 oi i i RR hh K 21 11 1 11 圆筒壁 o i o i oi oo i o i R d d R hd dd d d h K 1 ln 2 1 1 2 临界绝缘直径 o o h d 2 3 对数平均温差 t t tt tm ln 4 换热器计算 m tKA 22221111 ttcqttcq mm 3 定性分析 1 常见强化传热措施 2 各种流型的比较 a 顺叉逆mmm ttt b 逆流壁温高于顺流壁温 c 与之一为无穷大 如有一侧凝结或沸腾 11c qm 22c qm 顺叉逆mmm ttt 3 纯顺流和纯逆流流体温度沿程变化曲线 例如 C 100 1 t 50 1 t 20 2 t 60 2 t 作出其温度变化的沿程曲线 五 计算机实习指导书五 计算机实习指导书 本指导书是为配合本科生传热学课中计算机应用方面的教学而编写的 应用计算机解决工程实际问题 是现代工程技术人员所必备的技能 在传热学课程中 引入计算机实习的目的 是使学生初步掌握用计算机求解传热问题的技能 从而提高学生 应用计算机解决工程实际问题的能力 同时也加深对所学习的传热学内容的理解 大量的传热问题能够用计算机求解 研究如何用计算机求解传热问题的专门知识数值 传热学 或称计算传热学 已经发展成了传热学的一个分支学科 传热学课中所涉及的只 是数值传热学的初步知识 因此 本次计算机实习也仅仅是作为数值传热学的入门 本指导书给出了三个练习题及相应的算法 这三个练习题分别涉及了一维稳态导热 二维稳态导热和一维非稳态导热 要求学生在掌握问题的数值计算方法的基础上 独立编 写计算机程序并用所编的程序计算出这三个练习题的数值结果 1练习题一 一维稳态导热的数值计算练习题一 一维稳态导热的数值计算 1 1 物理问题物理问题 图 1 示出了一个等截面直肋 处于温度 t 80 的流体中 肋表面与流休之间的对流换 热系数为 h 45W m2 肋基处温度 tw 300 肋端绝热 肋片由铝合金制成 其导热系 数为 110W m 肋片厚度为 0 01m 高度为 H 0 1m 试计算肋内的温度分布及肋的 总换热量 12 1 2 数学描述及其解析解数学描述及其解析解 引入无量纲过余温度 则以无量纲温度 描述的肋片导热微分方程及其 tt tt w 1 1 0 2 2 2 m dx d 1 2 1 0 w x 1 3 0 x Hx 其中 其中符号含义与教科书杨世铭陶文铨编著 传热学 相同 以下同 A hp m 上述数学模型的解析解为 1 4 mHthtt m hp mHch Hxmch tttt w w 按式 1 4 计算得到的在肋内各点的温度由表 1 给出 表 1 等截面直肋内各点的温度 坐标 x m 00 010 020 030 040 050 060 070 080 090 1 温度 t 300 00286 56274 84264 76256 13248 97243 19238 11235 58233 70233 09 1 3数值离散数值离散 1 3 1区域离散区域离散 在对方程 1 1 1 3 进行数值离散之前 应首先进行计算区域的离散 计算区域的离散 如图 1 所示 总节点数取 N 1 3 2微分方程的离散微分方程的离散 由于方程 1 1 在计算区域内部处处成立 因而对图 1 所示的各离散点亦成立 对任一 节点 i 有 0 2 2 2 i i m dx d 用 在节点 i 的二阶差分代替 在节点 i 的二阶导数 得 0 2 2 2 11 i iii m x 整理上式成迭代形式 13 i 2 3 N 1 1 5 11 22 2 1 iii xm 1 3 3边界条件离散边界条件离散 上面得到的离散方程式 1 5 对所有内部节点都成立 因此每个内部节点都可得出一 个类似的方程 事实上 式 1 5 表达的是一个代数方程组 但这个方程组的个数少于未知 数 i 1 2 N 的个数 因此 还需要根据边界条件补充进两个方程后代数方程组才 i 封闭 左边界 x 0 为第一类边界条件 温度为已知 因此可以根据式 1 2 直接补充一个方 程为 1 1 w 右边界为第二类边界条件 由图 1 中边界节点 N 的向后差分来代替式 1 3 中的导数 得 0 1 x NN 将此式整理为迭代形式 得 1 NN 1 3 4最终的离散格式最终的离散格式 i 2 3 N 1 1 6 1 11 22 1 2 1 1 NN iii w xm 1 3 5代数方程组的求解及其程序代数方程组的求解及其程序 代数方程组有各种求解方法 较为有效而简便的方法是高斯 赛德尔迭代方法 式 1 6 已给出了代数方程组的迭代形式 在实际计算中 应首先假定一个温度场的初始分布 即给出各节点的温度初值 1 0 1 00 2 0 1 wN 将这些初值代入方程组 1 6 中进行迭代计算 直至收敛 假如第 K 步迭代已完成 即 为已知 则 K 1 次迭代的计算式为 K N KK 21 i 2 3 N 1 1 7 1 1 1 1 11 22 1 1 1 2 1 K N K N K i K i K i w K xm 根据式 1 7 编写程序的工作由学生自行完成 计算结果可与解析解比较 通过数值计算可以发现 由于对肋端的绝热边界条件离散时采用了一阶精度的向后差 分 因此当网格数较少时 数值计算结果与解析解在肋端附近有较大的差别 对肋端的绝 热边界条件采用具有二阶精度的元体平衡法进行数值离散时 得到以下离散格式 14 22 1 2 1 1xm N N 计算可以发现 采用这个格式当网格数较少时 亦能得到精度较高的数值计算结果 2练习题二 二维稳态导热的数值计算练习题二 二维稳态导热的数值计算 2 1物理问题物理问题 图 2 示出了一矩形区域 其边长 L W 1 假设区域内无内热源 导热系数为常数 三 个边温度为 T1 0 一个边温度为 T2 1 求该矩形 区域内的温度分布 2 2 数学描述数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 2 TTy TTy TTx TTx y T x T 作为参考 以下给出该问题的解析解 2 3 W L n sh y L n sh x L n nTT TT n n sin 1 12 1 12 1 表 2 列出了由式 2 3 计算得到的在平面区域内各不同位置的温度值 表 2 平面区域内温度分布 用式 2 3 计算得到 坐标坐标 xy 温度 Txy 温度 T 0 250 250 0680 250 750 432 0 500 250 0950 500 750 540 0 750 250 0680 750 750 432 1 000 25 0 4 6 10 1 000 75 3 6 10 0 250 500 1820 251 000 999 0 500 500 250 501 001 024 0 750 500 1820 751 000 999 1 000 50 2 6 10 1 001 00 65 6 10 2 3 数值离散数值离散 2 3 1区域离散区域离散 区域离散如图 2 所示 x 方向总节点数为 N y 方向总节点数为 M 区域内任一节点 2 1 15 用 i j 表示 2 3 2方程的离散方程的离散 对于图 2 中所有的内部节点方程 2 1 都适用 因此可写为 0 2 2 2 2 jiji y t x t 用 i j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数 得 0 22 2 1 1 2 1 1 y TTT x TTT jijijijijiji 上式整理成迭代形式 1 1 22 2 1 1 22 2 22 jijijijiji TT yx x TT yx y T i 2 3 N 1 j 2 3 M 1 补充四个边界上的第一类边界条件得 j 1 2 M 1 1 TT j j 1 2 M 1 TT jN i 1 2 N 11 TTi i 1 2 N 2 TT Mi 2 4计算程序计算程序 计算程序由学生自行完成 3练习题三 一维非稳态导热的数值计算练习题三 一维非稳态导热的数值计算 非稳态导热问题由于有时间变量 其数值计算出现了一些新特点 在非稳态导热微分 方程中 与时间因素相关的非稳态项是温度对时间的一阶导数 这给差分离散带来了新的 特点 由于这个特点 可以采用不同的方法构造差分方程 从而得到几种不同的差分格式 即所谓的显式 隐式和半隐式 我们仍然从一个具体问题出发来研究非稳态导热问题的数 值计算 3 1问题问题 一块无限大平板 如图 3 所示 其一半厚度为 L 0 1m 初始温度 T0 1000 突 16 然将其插入温度 T 20 的流体介质中 平板的导热系数 34 89W m 密度 7800kg m3 比热 c 0 712J kg 平板与介质的对流换热系数为 h 233W m2 求 3 10 平板内各点的温度分布 3 2数学描述数学描述 由于平板换热关于中心线是对称的 仅对平板一半区域进行计算即可 坐标 x 的原点 选在平板中心线上 因而一半区域的非稳态导热的数学描述为 TTh x T Lx x T x TT x T a T 0 0 0 0 2 2 该数学模型的解析解为 3 0 2 cos cossin sin2 1 0 F n n nnn n n e L x TTTT 5 其中 为方程的根 2 0 L a F n i Bctg hL Bi 表 3 给出了在平板表面 x L 处由式 3 5 计算得到的不同时刻的温度值 表 3平板表面各不同时刻温度值 时 间 S 12345678910 温 度 981 84974 47968 88964 20960 11956 14953 08949 97947 07944 34 3 3数值离散数值离散 3 3 1计算区域的离散计算区域的离散 一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的 若考虑时间坐标 则所谓的一维非稳态导 3 1 3 2 3 3 3 4 17 热实际上是二维问题 见图 4 即 有时间坐标 和空间坐标 X 两个变量 但要注意 时 间坐标是单向的 就是说 前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响 但后一时刻的状 态却影响不到前一时刻 图 4 示出了以 X 和 为坐标的计算区域的离散 时间从 0 开始 经过一个个时层增加到 K 时层和 K 1 时层 3 3 2微分方程的离散微分方程的离散 对于 i 节点 在 K 和 K 1 时刻可将微分方程 3 1 写成下面式子 1 2 2 1 2 2 K i K i K i K i x T a T x T a T 将式 3 6 3 7 的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为 K i K i K i K i K i K i TTT TTT 11 1 观察式 3 8 和 3 9 这两个式子的右端差分式完全相同 但在两个式子中却有不同含义 对式 3 8 右端项相对 i 点在 K 时刻的导数是向前差分 而在式 3 9 中 右端项是 K i T I 点在 K 1 时刻的导数的向后差分 将式 3 8 和 3 9 分别代入式 3 6 和 3 7 并 1 K i T 将式 3 6 和 3 7 右端关于 x 的二阶导数用相应的差分代替 则可得到下列显式和隐式两种 不同的差分格式 显式 3 10 K i K i K i K i fTTffTT 11 1 21 K 0 1 2 i 2 3 N 1 全隐式 3 11 K i K i K i K i TfTfT f T 1 1 1 1 1 21 1 K 0 1 2 i 2 3 N 1 以上两式中的 2 x a f 从式 3 10 可见 其右端只涉及 K 时刻的温度 当从 K 0 即 0 时刻 开始计算时 在 K 0 时等号右端都是已知值 因而直接可计算出 K 1 时刻各点的温度 由 K 1 时刻的 各点的温度值 又可以直接利用式 3 10 计算 K 2 时刻的各点的温度 这样一个时层一个 时层的往下推 各时层的温度都能用式 3 10 直接计算出来 不要求解代数方程组 而对于 式 3 11 等号右端包含了与等号左端同一时刻但不同节点的温度 因而必须通过求解代数 方程组才能求得这些节点的温度值 3 3 3边界条件的离散边界条件的离散 3 6 3 7 3 8 3 9 18 对于式 3 3 和 3 4 所给出的边界条件 可以直接用差分代替微分 也可以用元体平衡 法给出相应的边界条件 亦有显式和隐式之分 通常 当内部节点采用显式时 边界节点 也用显式离散 内部节点用隐式时 边界节点亦用隐式 边界节点的差分格式是显示还是 隐式 取决于如何与内部节点的差分方程组合 用 K 1 时刻相应节点的差分 代替式 3 3 和 3 4 中的微分 可得到边界节点的差分方程 3 T xh T xh T TT K N K N KK 1 1 1 1 2 1 1 1 1 12 3 3 4最终的离散格式最终的离散格式 显式 i 1 2 3 N 初始值 3 0 TTi 13 i 2 3 N 1 3 K i K i k i K i TffTfTT21 11 1 14 3 1 2 1 1 KK TT 15 3 T xh T xh T K N K N 1 1 1 1 1 16 其中 K 0 1 2 当采用二阶精度的元体平衡法离散时 与式 3 15 和 3 16 对应的 离散格式为 fBiTfTTfBifT fTfTT k N k N K N kKK 22 221 2 21 1 1 21 1 1 其中 xh Bi 隐式 初始值 3 0 0 TTi 17 3 1 2 1 1 KK TT 18 i 2 3 N 1 3 K i K i K i K i TfTfT f T 1 1 1 1 1 21 1 19 19 3 T xh T xh T K N K N 1 1 1 1 1 20 其中 K 0 1 2 在用隐式差分计算时 每个时层都需要迭代求解代数方程组 3 17 式 3 20 在 每个时层计算时 都要先假定一个温度场 一般取上一时层的温度场为本时层的初始场 然后迭代计算直至收敛 3 4程序程序 程序由学生自行完成 六 补充材料六 补充材料 绕流平板的流动和换热 无量纲参数 比拟和相似 未经审稿 绕流平板的流动和换热 无量纲参数 比拟和相似 未经审稿 仅供参考 仅供参考 1 物理问题物理问题 我们考虑流体绕流平板的二维层流附面层流动和换热 如图 6 所示 具有均匀来流速度 u 和均匀温度 t 的流体冲刷恒定温度为 tw 在流动方向尺度为 L 的平板 假设垂直于纸面 方向为无限长 流动和换热为二维 稳态 层流 受固体平板的影响 流体在固体平板附 近分别形成速度和温度附面层 速度附面层厚度为 温度附面层厚度为 t 平板与流体 换热的局部热流密度为 q 我们下面来分析上述物理模型的流动和换热 2 数学模型数学模型 根据附面层的概念 忽略流动方向的扩散作用 或经过数量级比较 得到如下附面层 内流动和换热的微分方程组 2 2 uuu uv xyy 6 1 2 2 ttt uva xyy 6 2 边界条件为 0 0 xuuvtt x y 0 L u t tw t 图 6 流体绕流平板示意图 20 6 3 6 4 0 0 0 0yuvt 0 yuuvtt 6 5 3 数学模型的无量纲化数学模型的无量纲化 定义如下无量纲量 u U u v V u w w tt tt x X L y Y L u L Re Pr a 其中 Re 称为雷诺 Reynolds 数 是流体力学和传热学中的重要无量纲参数 Pr 称作普 朗特 Prandtl 数 也是流体力学和传热学中的重要无量纲参数 它实际是一个无量纲的 物性参数 是流体粘性扩散能力与热扩散能力的比值 纯流动问题与此参数无关 当流动 和换热同时存在时会涉及到这个参数 将微分方程 6 1 和 6 2 以及边界条件 6 3 6 5 中的所有量都用上述定义 的无量纲量代换 例如对于方程 6 1 根据定义有 uu U vu V uuU xLX uuU yLY 22 222 uuU yLY 将上述式子代入到方程 6 1 中得 2 22 uUuUuU u Uu V LXLYLY 或 2 2 1UUU UV XYRe Y 用同样方法对于方程 6 2 及边界条件 6 3 6 5 进行代换并整理 最后得到无量 纲化的数学模型为 2 2 1UUU UV XYRe Y 21 6 6 2 2 1 UV XYRePrY 6 7 无量纲边界条件 0 1 0 1XUV 6 8 0 0 0 0YUV 6 9 6 10 1 0 1YUV 4 局部对流换热系数和平均对流换热系数局部对流换热系数和平均对流换热系数 由牛顿冷却公式可得 wf q h tt 6 11 有人曾将牛顿冷却公式称作牛顿冷却定律 但实际上牛顿冷却公式仅仅是相当于给出了对 流换热系数的定义式 6 11 事实上 实际问题中固体与流体对流换热的热流密度 q 在 整个固体表面各点通常是不同的 固体表面各点的温度 tw以及流体的温度 tf也可能是一个 分布的函数 因此 式 6 11 所给出的对流换热系数 h 在一般情况下在固体表面各点也 是一个分布函数 我们称为局部对流换热系数 整个表面的平均对流换热系数为 6 12 1 A hhdA A 过去我们曾经用式 hA t 计算固体表面的对流换热量 如果局部对流换热系数不是常数 这里的 h 应理解为是平均 对流换热系数省略了表示平均值的 h 从以上的讨论可以知道 对流换热系数其实是一个 主观 的定义 其中的 tw和 tf以及 计算平均值时采用的温差 t都可能有多种取法 因此 不同的场合 不同的人 以及不同 的书籍或资料 即使是对同一个问题都可能有不同的对流换热系数定义 当我们应用各种 对流换热系数计算公式时 必须首先搞清这个计算公式中的对流换热系数是如何定义的 对于我们现在讨论的流体绕流平板流动和换热 如图 6 1 所示 局部对流换热系数定 义为 6 13 0 0 y Y ww t qy h ttttL Y 其中 tw和 t 都是常数 但 q q x 即热流密度 q 沿平板是变化的 因此局部对流换热系数 h h x 沿平板也是变化的 平均对流换热系数定义为 22 6 14 1 h L hx dx L 当给出了对流换热系数的定义后 事实上我们已经将对流换热量 q 或 的计算 转化 成了计算局部对流换热系数 h 或平均对流换热系数 由式 6 13 可知 要计算 h 需要h 首先知道流体中的温度分布 然后根据流体中的温度分布求出紧贴固体壁面处流体的温度 梯度 最后再对紧贴固体壁面处的流体应用傅里叶导热定律求出对流换热系数 h 我们在 前面建立数学模型 给出了关于温度函数的微分方程及其边界条件 其目的之一正是要通 过求解微分方程获得 流体中的温度分布 并进一步应用傅里叶导热定律求出对流换热系 数 h 然而 由于对流换热与流体的流动是相关联的 或者说是相 耦合 的 即流体流动 状态会影响对流换热 在我们求解流体温度分布的同时 还必须同时求解出流体的流速分 布 因此在上面我们除了给出了关于温度的微分方程外 同时还给出了关于流体流动速度 的微分方程及其边界条件 即我们给出的数学模型是一个微分方程组 这种由理论方法计 算对流换热量的基本思路是 根据物理模型建立以微分方程组描述的数学模型 然后通过 对数学模型的求解 求出流体的温度分布 最后再应用傅里叶导热定律求出对流换热系数 h 并最终获得对流换热量 顺便提一句 有时流体温度分布和速度分布本身也是工程上需要知道的 因此有些问 题建立上述模型的目的不仅是要求换热 温度分布和速度分布本身也正是工程上需要计算 的 5 局部阻力系数和平均阻力系数局部阻力系数和平均阻力系数 关于流体流动的摩擦阻力系数 cf定义如下 0 0 22 111 222 y Y w f u U y Y c uuRe 6 15 其中 w为流体与固体壁面的粘性摩擦力 根据牛顿内摩擦定律 0wy u y 6 16 式 6 15 也可变换成以下形式 0 1 2 fY U c Re Y 6 17 平均阻力系数为 1 L ff ccx dx L 6 18 6 无量纲参数及其关联无量纲参数及其关联 这里定义一个关于换热的无量纲参数 23 0 xY hxx Nu L Y 6 19 其中的 x 是一个长度变量 Nux称作努谢尔特 Nusselt 数 由于 h 一般是空间坐标变量 的分布函数 因此 Nux也是一个无量纲的空间坐标变量分布函数 即它不一定是个常数 式 6 19 定义的是局部努谢尔特数 与平均对流换热系数不同的是 平均努谢尔特并不 是式 6 19 定义的局部努谢尔特数的积分平均值 而是用平均对流换热系数定义的 h 1 0 0 Y hLx Nud YL 6 20 上面定义的局部努谢尔特数 Nux与平均努谢尔特数并不协调 为了分析问题的方便 也Nu 可以用下式定义局部努谢尔特数 0Y hL Nu Y 6 21 如果采用式 6 21 定义 则平均努谢尔特数为 Nu 的积分平均值 以上我们涉及或定义了三个无量纲参数 Re Pr Nu 这些无量纲参数又称为无量纲 准则数或无量纲特征数 是流体力学和传热学中的重要参数 由上面给出的绕流平板的二 维层流附面层流动和换热的无量纲的数学模型式 6 6 6 10 可以看到 其中所有的 边界条件都已变换成了 0 或 1 整个数学模型式 6 6 6 10 中与物理问题相关的量 只有 Re 和 Pr 不涉及问题的任何其他具体参数 如来流速度 温度 平板长度等都没有 出现在数学模型中 换句话说 求解无量纲数学模型式 6 6 6 10 得到的无量纲速 度分布函数 U X Y 和无量纲温度分布函数 X Y 与 Re 和 Pr 是一一对应的 每给定一个 Re 的值和给定一个 Pr 的值 都能对应得到一个满足式 6 6 6 10 的解 U X Y 和 X Y 这就是说 由 Re 和 Pr 规定了无量纲速度分布函数 U X Y 和无量纲温度分布函数 X Y 因此又称 Re 和 Pr 为无量纲特征数 假如保持 Re 和 Pr 不变 无论绕流平板的二维层流附 面层流动和换热涉及的实际参数 如来流速度 来流温度 平板长度 黏度 导热系数等 的具体数值是什么 无量纲速度分布函数 U X Y 和无量纲温度分布函数 X Y 都不变 这 实际就是我们后面将涉及的相似的概念 我们还可以注意到 由式 6 17 和 6 20 cfRe 和努谢尔特数 Nu 仅仅与无量纲 速度分布函数 U X Y 和无量纲温度分布函数 X Y 有关 而 U X Y 和 X Y 又是与 Re 和 Pr 是一一对应的 因此 cf和 Nu 也一定与 Re 和 Pr 是一一对应的 即他们之间必存在一 个确定的函数关系 可表示为 f c f cRe Pr 6 22 Nu NuRe Pr 6 23 当我们希望获得 cf和 Nu 时 当然可以通过求解数学模型式 6 6 6 10 的方法 只要能够求解出来 但这不是唯一的 也不一定是最好的方法 由以上分析可知 对 我们现在讨论的问题 cf和 Nu 与 Re 和 Pr 存在确定的函数关系 也可能存在其他的方法能 够帮助我们找到函数 cf Re Pr 和 Nu Re Pr 事实上 目前工程上采用的计算 cf和 Nu 的公 式 绝大多数都是由实验的方法所获得的 上面讨论的绕流平板的二维层流附面层流动和 换热是一个经典问题 它的数学模型相对比较简单 能够获得解析解 但很多实际问题 根本无法求得解析解 对实际工程中的一些复杂问题 仍可以象上面一样 建立数学模型 24 并进行无量纲化 虽然可能无法获得最终问题的解析解 但这样做可以告诉我们 cf和 Nu 与哪些无量纲特征数具有确定的函数关系 从工程应用的角度看 这其实已经给了我们很 大的帮助 使问题大为简化 如果直接由实验方法求解问题 则流体来流速度 来流温度 尺度 黏度 导热系数 比热等等 都是影响因素 这将大大增加实验工作量 甚至是不 可能完成这些实验工作 但通过建立数学模型和无量纲化 我们已经知道 cf和 Nu 仅与少 数的几个无量纲特征数相关 这减少了影响因素的个数 会使实验工作量大为减少 1909 年和1915 年 努塞尔特分别发表了他的两篇论文 首先给出了无量纲准则之间的关系式 努 塞尔特给出的这种求解对流换热问题的方法 促进了对流换热研究的发展 对于不同的流动和换热问题 涉及的无量纲特征数可能是不同的 例如 自然对流换 热涉及的无量纲特征数是格拉晓夫 Grashof 数 Gr 或瑞利 Rayleigh 数 Ra 及 Pr 证明无量纲特征数间存在确定的函数关系的方法不仅仅是以上介绍的方法 相似理论 因次分析都可以获得与上面分析同样的结果 努塞尔特最初给出的无量纲准则 就是用因次 分析的方法得到的 但上述分析过程经过了一步一步严格的数学推导 从某种意义上说更容 易被接受 也显得更为严谨 7 比拟和相似比拟和相似 1 雷诺比拟和修正雷诺比拟 观察上面给出的绕流平板二维层流附面层流动和换热的无量纲化数学模型 即方程 6 6 和 6 7 以及其边界条件 6 8 6 10 当 Pr 1 时 关于无量纲流速 U 的方 程 6 6 与无量纲温度 的方程 6 7 具有完全相同的形式 并且在边界条件 6 8 6 10 中关于 U 和关于 的边界条件也完全相同 因此 U 和 的解必定完 全相同 即 6 24 f UX Y 因此有 6 25 00YY U YY 根据式 6 17 和式 6 21 可得 1 2 f Nuc Re 6 26 式 6 26 称作雷诺比拟 雷诺比拟的意义在于 它将两个不同的物理现象的定量指标联系在了一起 Nu 和 cf分 别是反映换热和流动这两种不同物理现象的特性参数 由式 6 26 可知 它们之间存在 确定的函数关系 假如能够通过某种方法 例如解析的方法或实验的方法 获得 Nu 和 cf 其中一个 则另一个立即可由式 6 26 得到 通过对方程 6 6 进行解析求解 能够获 得无量纲流速函数 U X Y 并进一步由式 6 17 得到 cf的计算公式为 在 x L 处 1 2 0 664 f cRe 6 27 当 Pr 1 时 由雷诺比拟关系式 6 26 得到 1 2 0 332NuRe 6 28 在实际应用中 工程上常用的流体的 Pr 一般不能正好等于 1 例如 空气的 Pr 大约为 0 7 水和水蒸气的 Pr 大约在 0 8 1