2010高考数学安徽理.pdf

高考真题专家全解 h 1 绝密 考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 理科 本试题卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂 写在答题纸上 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 i 是虚数单位 33 i i A 13 412 i B 13 412 i C 13 26 i D 13 26 i 解 33 i i 为分式形式的复数问题 化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数33i 然后利 用复数的代数运算 结合 i2 1 得结论 33 33 1233 33 33 iiii iii 选 B 2 若集合 1 2 1 log 2 Axx 则A R A 2 0 2 B 2 2 C 2 0 2 D 2 2 解 本题在求集合 A 时 容易犯的错误是忽略定义域 1 2 122 log 0 0 222 R AxxxxA 选 A 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 高考真题专家全解 h 2 A ab B 2 2 a b C ab与b垂直 D a b 解 a 1 b 22 112 222 111 10 222 a b 1111111 1 1 0 2222222 2 ababbabb 选 C 4 若 f x 是 R 上周期为 5 的奇函数 且满足 f 1 1 f 2 2 则 f 3 f 4 A 1 B 1 C 2 D 2 解 f 3 f 3 f 3 5 f 2 2 f 4 f 4 f 4 5 f 1 1 f 3 f 4 2 1 1 选 A 5 双曲线方程为 x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 解 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 c2 a2 b2求出 c 即可得出焦点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 b2 1 或 b2 2 从而得出错误结论 22 222222 16 211 1 1 122 2 xy xyabcab 选 C 6 设 abc 0 二次函数 f x ax2 bx c 的图象可能是 A B 高考真题专家全解 h 3 C D 解 根据二次函数图像开口向上或向下 分 a 0 a3 的否定是 解 命题 对任何 x R x 2 x 4 3 是全称命题 所以它的否定是特称命题 就是把全称量词 任何 改为特称量词 存在 再把结论否定 答案 存在 x R x 2 x 4 3 12 6 xy yx 展开式中 x3的系数等于 解 rr rr rrrrr r xy TCC xy yx 6 6 6 22 166 1 高考真题专家全解 h 6 r 3 63 2 r2 TC xx 2233 36 1 15 答案 15 13 设 x y 满足约束条件 220 840 0 0 xy xy xy 若目标函数 z abx y a 0 b 0 的最大值为 8 则 a b 的最小值为 解 作出如图的可行域 z 是 y abx z 的纵截距 ab 0 当直线 y abx z 过 B 1 4 时 z 最大为 8 此时 ab 4 8 ab 4 24 2 ababab 答案 4 14 如图所示 程序框图 算法流程图 的输出值 x 解 执行过程 x 1 奇数 x 1 1 2 不是奇数 x 2 2 4 8 x 5 奇数 x 5 1 6 不是奇数 8 答案 12 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐 分别以 A1 A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机 高考真题专家全解 h 7 取出一球 以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论 的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 事件 B 与事件 A1相互独立 A1 A2 A3是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与 A1 A2 A3中空间哪一个发生有关 解 123 5524349 10 1110 1110 1122 P BP B AP B AP B A 1 5 11 P B A 事件 B 与事件 A1不相互独立 正确 错误 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答写在答题卡上的 指定区域内 16 设 ABC 是锐角三角形 a b c 分别是内角 A B C 所对边长 并且 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角 A 的值 若12 2 7AB ACa 求 b c 其中 b c 解 22 sinsin sin sin 33 ABBB 22 2222 222 2 3131 sin cossin cossin sin 2222 31 sin cossin sin 44 33 sincossin 44 3 sin 4 ABBBBB ABBB ABB A 因为 A 为锐角 所以 A 60 12cos1224 AB ACbcAbc 由余弦定理可得 高考真题专家全解 h 8 abcbcA bc bc bb cc 222 222 22 2cos 2 7 12 40 26 62 bln2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 解 f x ex 2 由 f x 0 解得 x ln2 x ln2 时 f x ln2 时 f x 0 f x 的减区间是 ln2 f x 的减区间是 ln2 x ln2 时 f x 取得极小值 2a 2 2ln2 设 g x ex x2 2ax 1 x R g x f x ex 2x 2a 当 a ln2 1 时 f x 的最小值是 2a 2 2ln2 2 ln2 1 2 ln2 0 即 g x 0 当 x R 时 g x 是增函数 又 g 0 0 当 x 0 时 g x 0 即 ex x2 2ax 1 18 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求二面角 B DE C 的大小 解 I 设 AC BD O ABCD 是正方形 则 O 为 AC 中点 又因为 H 为 BC 中点 所以 OH AB 2OH AB EF AB EF OH EF OH 四边形 EFHO 为平行四边形 FH EO EO 平面 EDB FH 平面 EDB II EF FB 又 EF AB 且 AB BC EF BC O E B D C A F H E B D C A F H 高考真题专家全解 h 9 又 BC FB B EF 平面 BFC AB 平面 BFC 平面 ABCD 平面 BFC BF FC FH BC FH 平面 ABCD EO 平面 ABCD EO AC 又因为 AC BD 且 EO BD O 所以 AC 平面 EDB III 解法一 EF AB CD E F D C 四点共面 作 OG DE 于 G 连结 CG 设 EF a 则 AB 2a 三角形 BFC 为等腰直角三角形 FH a EO a 2ODa 在直角三角形 EOD 中 22 3EDEOODa 6 3 EO OD OGa ED AC 平面 EDB AC DE DE 平面 OGC OGC 为二面角 B DE C 的平面角 直角三角形 OGC 中 2 tan3 6 3 OCa OGC OG a G O E B D C A F H 高考真题专家全解 h 10 二面角 B DE C 的大小为 60 解法 2 四边形 ABCD 为正方形 AB BC 又 EF AB EF BC 又 EF FB EF 平面 BFC EF FH AB FH 又 BF FC H 为 BC 的中点 FH BC FH 平面 ABCD 以 H 为原点 HB 为 x 轴正向 HF 为 z 轴正向 建立空间直角坐标系 设 BH 1 则 A 1 2 0 B 1 0 0 C 1 0 0 D 1 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 证明 设 AC 与 BC 的交点为 O 连结 OE OH 则 O 0 1 0 0 0 1 0 0 1 OEHFOEHF OE 平面 EDB HF 不在平面 EDB 内 FH 平面 EBD 证明 2 2 0 0 0 1 0ACOEAC OE AC OE 又 AC BD EO BD O AC 平面 EDB 解 1 1 1 2 2 0 BEBD 设平面 BDE 的法向量为 111 1 y z n则 11111 10 220BEyzBDy nn y1 1 z1 0 即 1 1 1 0 n 0 2 0 1 1 1 CDCE 设平面 CDE 的法向量为 222 1 y z n则 22 00CDy n 2222 0101CEyzz n 故 2 1 0 1 n 12 12 12 11 cos 222 n n n n nn 12 60 n n 即二面角 B DE C 为 60 19 已知椭圆 E 经过点 A 2 3 对称轴为坐标轴 焦点 F1 F2在 x 轴上 离心率 1 2 e 求椭圆 E 的方程 O E B D C A F x y z H 高考真题专家全解 h 11 求 F1AF2的角平分线所在直线 l 的方程 在椭圆 E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点 若存在 请找出 若不存在 说明理由 解 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 22 cab 22 11 23 22 c eacbacc a 椭圆 E 方程为 22 22 1 43 xy cc 点 A 2 3 在椭圆 E 上 2 22 49 14 43 c cc 椭圆 E 方程为 22 1 1612 xy 由 知 F1 2 0 F 2 0 解法 1 AF1 3 2 4 yx 即 3x 4y 6 0 AF2 x 2 设 F1AF2的角平分线与 x 轴交于 M m 0 2 m 2 则 M 到 AF2的距离等于 M 到 AF1的距离 22 36 2 34 m m 3m 6 10 5m 1 2 m 所以 l 31 1 2 2 2 yx 即 2x y 1 0 F1AF2的角平分线方程为 2x y 1 0 解法 2 设 F1AF2的角平分线与 x 轴交于 M 因为 12 4 tan 3 F AF 所以 2 2 2 2tan4 31tan F AM F AM 2tan2 F2AM 3 tan F2AM 2 0 2 tan F2AM 1 tan F2AM 2 0 2 1 tan 2 F AM 或 tan F2AM 2 舍 2 tan2AMF l y 3 2 x 2 高考真题专家全解 h 12 l 2x y 1 0 所以 F1AF2的角平分线所在直线 l 的方程为 2x y 1 0 解法一 假设椭圆上存在关于直线l 对称的相异两点 B x1 y1 C x2 y2 BC 的中点 D x0 y0 则 1212 00 22 xxyy xy 因为 BC l 则 21 21 1 2 yy xx 又因为 B C 在椭圆 E 上 所以 22 11 2222 121212121212 22 22 1 1612 00 161243 1 1612 xy xxyyxxxxyyyy xy 1212 1212 3 1 4 2 xxyy yyxx 3x0 2y0 又因为点 D 在 2x y 1 0 上 所以 2x0 y0 1 0 解得 x0 2 y0 3 所以 BC 的中点为 A 点 因为 A 在椭圆上 直线 BC 与椭圆有 3 个相异交点 这是不可能的 所以椭圆上不存在关于直线l 对称的相异两点 解法二 假设椭圆上存在关于直线l 对称的相异两点 B x1 y1 C x2 y2 则 1 2 BC k 设 BC 1 2 yxt 与椭圆方程 22 1 1612 xy 联立 得 22 1 34 480 2 xxt 化简得 x2 tx t2 12 0 由根与系数关系可知 12 2 12 12 xxt x xt 1212 13 2 22 yyxxtt 所以 BC 中点 D 坐标为 3 2 4 t t 因为 D 在直线 l 2x y 1 0 上 所以 t 4 解得 D 2 3 因为 D 与 A 重合 直线 BC 与椭圆有 3 个相异交点 这是不可能的 所以椭圆上不存在关于直线l 对称的相异两点 高考真题专家全解 h 13 20 设数列 a1 a2 an 中的每一项都不为 0 证明 an 为等差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 证明 必要性 设 an 为等差数列 公差为 d 则 11 122311223111111111 111111111111111 n nnnnnnnn aandn dd a aa aa ad aaaaaad aada ad a aa a 所以 an 为等差数列的必要条件是 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 充分性 证法一 对任何 n N 都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 122311212 11111 nnnnn n a aa aa aaaa a 得 121211 11 nnnn nn aaa aa a 两边同乘以 a1an 1an 2得 a1 n 1 an 1 nan 2 同理可得 a1 nan n 1 an 1 所以 n 1 an 1 nan 2 nan n 1 an 1 所以 2n an 1 nan nan 2 所以 2an 1 an an 2 所以 an 2 an 1 an 1 an 所以数列 an 是等差数列 an 为等差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 证法二 用数学归纳法证明 an a1 n 1 d d 为常数 当 n 3 时 由 122313 112 a aa aa a 即 312 123123123 2aaa a a aa a aa a a 所以 a1 a3 2a2 所以 数列 a1 a2 a3成等差数列 所以 a3 a1 2d 假设当 n k 3 时 数列 ak 构成等差数列 即 ak a1 k 1 d 当 n k 1 时 1223111 111 kkk k a aa aa aa a 高考真题专家全解 h 14 122311 1111 kkk k a aa aaaa a 得 1111 11 kkkk kk a aa aa a 两边同乘以 a1akak 1 可得 a1 kak k 1 ak 1 k 1 ak 1 k a1 k 1 d a1 k 1 ak 1 k k 1 d k 1 a1 ak 1 a1 kd a1 k 1 1 d 所以 当 n k 1 时 命题成立 综上所述 当 n 3 n N 时 an a1 n 1 d 所以 an 1 an d 所以 an 构成等差数列 an 为等差数列的充分必要条件是 对任何 n N 都有 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 21 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 一种通常采用的测试方法如下 拿出 n 瓶外观相同但品质不同 的酒让其品尝 要求其按品质优劣为它们排序 经过一段时间 等其记忆淡忘之后 再让其品尝这 n 瓶酒 并重新按品质优劣为它们排序 这称为一轮测试 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设 n 4 分别以 a1 a2 a3 a4表示第一次排序时被排为 1 2 3 4 的四种酒在第二次排序时的序 号 并令 X 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述 写出 X 的可能值集合 假设 a1 a2 a3 a4等可能地为 1 2 3 4 的各种排列 求 X 的分布列 某品酒师在相继进行的三轮测试中 都有 X 2 i 试按 中的结果 计算出现这种现象的概率 假定各轮测试相互独立 ii 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何 说明理由 解法一 a1 a2 a3 a4的全排列为 24 种 高考真题专家全解 h 15 a1 a2 a3 a4 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 X 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 2 4 3 0 0 1 1 2 1 3 2 4 0 1 1 0 2 1 3 4 2 0 1 1 2 4 1 4 2 3 0 2 1 1 4 1 4 3 2 0 2 0 2 4 2 1 3 4 1 1 0 0 2 2 1 4 3 1 1 1 1 4 2 3 1 4 1 1 2 0 4 2 3 4 1 1 1 1 3 6 2 4 1 3 1 2 2 1 6 2 4 3 1 1 2 0 3 6 3 1 2 4 2 1 1 0 4 3 1 4 2 2 1 1 2 6 3 2 1 4 2 0 2 0 4 3 2 4