圆知识点在实际生活中的应用.doc

圆有关知识点在实际生活中的应用诸城市贾悦镇孟疃初中 张洪军 日常生活中的很多问题都可抽象为数学问题，对圆的进一步认识这一章中，很多知识点与我们的日常生活息息相关，现分类说明如下：一、 垂径定理例1：某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱顶C高出水平面2.4m，现有一艘宽3m，顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里。如图所示，问此货船能顺利通过拱桥吗？ 分析：货船能否通过这座拱桥，关键看船舱顶部是否能被桥拱拦住，即当货仓位于桥下正中EF时，货仓两边的高度是否小于FN。解：作弧AB所在圆的圆心O,连接OA,ON,OD.设OA=r，则OD=OC-DC=r-2.4，AD=3.6（m），在RtOAD中，有OA2=AD2+OD2即r2=3.62+(r-2.4)2，r=3.9（m）.在RtONH中，有OH=.FN=DH=OH-OD=2.1（m）2m2.1m，货船可以通过桥拱，但要小心。温馨提示：遇到实际问题时，应将实际问题转化为数学问题进行解答。有关对称问题，经常用垂径定理和勾股定理解决问题。二、 三角形的外接圆例2：小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若ABC中AB=8米，AC=6米，BAC=，试求小明家圆形花坛的面积第 分析：（1）做三角形的外接圆即可。（2）求出外接圆的半径。 解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线 作出圆 O即为所求做的花园的位置.（图略） （2）BAC=,AB=8米,AC=6米, BC=10米 ABC外接圆的半径为5米 小明家圆形花坛的面积为2平方米 . 温馨提示：直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，半径即为斜边的一半三、 圆周角定理的推论例3：如图，某海域有一片暗礁，当地海洋管理部门建造了灯塔A与B，并通告所有过往船只，不要进入以AB为弦、对AB的张角为的弓形AmB区域内，以免触礁。一艘货轮位于滇S处正向暗礁海域靠近，货轮怎样航行才能避开暗礁？分析：S随着船的变化而变化，但不管怎样变，都比张角小。解：如图连接BN，则BNA=BMA=,而为BSM的一个外角，所以S，只要S比小就可以，即S小于张角，货轮就能避开暗礁。温馨提示：本题是比较角的大小问题，利用圆周角的有关定理来解决，另外，也利用：“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”解题。四、 直线与圆的位置关系例4：“保护生态环境，力扼气候变暖”已渐成人们的共识，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑条高速公路（即线段BC）。经测量，森林保护区A在B城的北偏东300方向上，又在C城市的南偏东600的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，50千米为半径的圆，问：计划修筑的这条高速公路会不会穿过保护区？为什么？ 分析：转化成数学问题即为判断直线BC与A的位置关系问题，为此，过A作BC的垂线AD，判断AD与圆的半径之间的关系即可。解：过A作ADBC于D，则ACD=600，ABD=300，设AD=x,则，又BC=100,，即dr,直线BC与A相交。高速公路会穿过保护区。温馨提示：求AD的长度，常用到三角函数的有关计算，设未知数，构造方程求解，是常用的方法，体现了数学建模的思想。五、圆的切线例5：城市广场有一个圆形的喷水池，如图是它的示意图，圆中的圆环部分是喷水池的围墙。为了测量圆环的面积，小量与小莹取来一根卷尺，拉直后使它与内圆相切，与外圆交于A,B两点，量得AB的长为12m，你能帮他们求出圆环的面积吗？（精确到0.1m2）分析：我们无法测量圆环的内外直径，但AB的长已经量出，连接OA、OC,构造一个直角三角形，圆环的面积即可转化为求AC的长度问题，利用垂径定理即可解决。解：设喷水池平面图的圆心为点O,连接OA,OC. AB与内圆切于点C， OCAB. AB是外圆的弦，AB=12， AC=BC=6. 在RtACO中， 于是 所以，圆环的面积约为113.0m2. 温馨提示：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径。同时，本题还体现了转化的数学思想。六、三角形的内切圆例6：如图，园林部门准备在公园里由三条小道围成的地块内建造一个圆形喷水池，使它的面积尽量大。请在图上画出喷水池的位置。分析：抽象成数学问题，就是作三角形的两内角平分线，作出内切圆即可。解：如图，用ABC表示地块，A和C的平分线的交点O就是喷水池的圆心，然后过O作AC的垂线得半径，即可画出内切圆。温馨提示：由角平分线的性质，可推出三角形内心的性质。七、圆与圆的位置关系例7：用半径R=8mm，r=5mm的钢球测量口小内大的容器的直径D，测得钢球顶点与孔口平面距离分别为a=12.5mm，b=8.3mm，如图，请计算出内孔直径D的大小。分析：相切两圆的连心线过切点，则O1O2=13，内孔直径D包括两圆半径及O1A的长度，利用RtO1O2A可求得O1A.解：由已知，得O2A=a+R-b-r=12.5+8-8.3-5=7.2（mm），O1O2=R+r=8+5=13（mm）， 在RtO1O2A中，O1A= 内孔直径D为R+r+O1A=8+5+10.8=23.8(mm) 即内孔直径D约为23.8mm.方法指导：利用条件分析出内径D由哪几部分组成是解决本题的关键。求O1A时，利用外切两园O1O2=R+r.八、扇形面积例8：有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，都是a，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为1200，问哪一种扇子的面积大，从而得到的风量也大？分析：理解骨柄即扇