第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解.doc

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。典型的偏微分方程：扩散方程，；波动方程，。这是本课程讨论的主要两类方程。偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。1.1 一维空间中的偏微分方程例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是（即处在时刻的污染物的密度）。如果流速是，问题：满足什么样的方程？解 如图，在内的流体，经过时间，一定处于。所含污染物应相同，即，由此，从而，。【End】可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。例2 （扩散方程） 假设水流静止，在时间内，流经处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为：，所以，在时间段内，通过的污染物为。在时刻和，在内的污染物分别为和，由物质守恒定律由，的任意性，再由，的任意性，。【end】例3 （弦振动方程）假设（1）弦的两端固定（非本质的假设），弦长为，线密度为；（2）外力作用下在平衡位置附近作微小的垂直振动；（3）弦上各点张力方向与弦的切线方向一致，大小服从Hooke定律。问题：建立满足的方程。解 选定弦的一段，（此处），考虑其在时间段内的运动情况。点处的张力记为。沿水平方向合力为；沿垂直方向合力为。显然，水平方向合力为零（假设2：弦只在垂直方向有运动），即。垂直方向合力为。由牛顿第二运动定理，因此。记，则得到标准的波动方程，。注：如果弦上有外力作用，则，记，则非齐次的波动方程为。【end】1.2 平面和空间上的偏微分方程例1 （三维空间中的扩散方程）假设污染流体充满三维空间的某区域，是其密度。任取简单区域，相应的边界。假设，在时间内，流出的流与密度关于处的法向导数成正比，即，因此在流出曲面的流量为；同时，该区域在的流量变化又可表示为。利用守恒定律和时间的任意性，。由高斯公式推论，所以。由的任意性，。【end】热传导方程推导类似。例2 （二维膜振动方程）均匀鼓膜上任意截取区域，在平面上的投影为。作用于的张力的垂直分量近似等于沿的法向张力。因此垂直方向总合力为。由此，由二维的高斯公式，。因此，这里。【end】1.3 方程的初始和边界条件对常微分方程，要完全确定方程的解就必须知道初始条件。而对偏微分方程，还必须给定适当的边界条件。以弦振动问题而言，方程是在弦之内部的点满足的条件，边界可能是固定的，也可能自由的，等等。假如边界是，则可能的条件：1），（固定边界）（Dirichlet 条件）2），（在端点的垂直方向自由滑动），或更一般（Neumann条件）3）（弦的一端固定在弹性支承上）（Robin条件）在高维空间，相应的边界条件为1）Dirichlet 条件：（是边界）2）Neumann条件：3）Robin条件：1.4 一阶线性偏微分方程解的特征线方法对一阶齐次线性偏微分方程，从几何观点看，如果满足该方程，则由函数确定的平面上的向量场，与方程系数构成的向量场正交。称由向量场作为切向所确定的曲线为方程的特征线。 例如，当，为常数，则过任意给定的点的特征线为直线，方程为。之所以称其为特征线，是因为沿该直线函数取常数值。以为常数为例，特征线上的任意一点可表示为，其中是参数，由此，即。利用特征线的该性质，在给定适当的初始或边界条件后就可确定方程的解。例1 求解方程。解 特征线，即，沿该直线，是常数。所以，或写为。【end】例2 求解方程。解 特征线方程，其解为。所以，或。【end】例3 （流方程的解）考虑一端具有稳定的流速的无限长管道的流，解 特征线方程，过的特征线。所以，。当时，；当时，。所以，方程的解为。【end】第一章 习题1. 对平面扩散方程，若