3.3-最常见的随机过程或随机模型.ppt

1 最常见的随机过程或随机模型 2 Brown运动或Wiener过程二项过程Poission过程白噪声过程自回归过程移动平均过程混合自回归移动平均过程利率期限结构或均值回复模型ARCH类模型与GARCH类模型 主要内容 3 引言Brown运动是1827年英国生物学家Brown在研究花粉运动时被发现的 1918年 Wiener给出Brown运动的严格的数学描述 所以Brown运动也被称为Wiener过程 目前 在经济金融研究中 Brown运动被广泛用以描述股票价格的变化过程 并成为描述随机现象的基石 Brown运动或Wiener过程 4 标准布朗运动两大特征 特征1 正态分布 特征2 对于任何两个不同时间间隔 的值相互独立 独立增量 4 Copyright ZhengZhenlong ChenRong 2008 5 定义8在带 代数流的概率空间 F Ft t 0 P 上 Ft t 0 适应的随机过程 wt t 0 在R1中取值 称为标准的Brown运动 若w 0 0 对任何的0 s t 随机变量wt ws与Fs独立 或者说不同时间间隔的wt ws相互独立 且服从均值为0 方差为t s的正态分布 6 考虑Brown运动 wt 在一个很短的时间间隔 t之间的变化 w wt t wt 显然 w服从均值为0 方差为 t的正态分布 即 w N 0 t 也可以写作 当 t 0时 就得到极限形式 7 若随机过程 St t 0遵循dS a S t dt b S t dw 3 1 称为一般It 过程 其中 设a S t b S t 是变量S t的函数 wt t 0为标准Brown运动 3 1 右边有二项组成 第一项a S t dt称为漂移项 a S t 称为漂移率 第二项b S t dw称为扩散项 b S t 称为扩散率或波动率 所以It 过程也称为扩散过程 当用It 过程描述股票价格的变化时 第一项a S t dt表示股票价格瞬时变化的期望值 b S t dw表示股票价格的瞬时波动值 反映股票价格变化中由不确定性造成的随机冲击 随机冲击通过波动率的放大或缩小传导给股票价格 8 特别地 当a S t Su b S t S 时 3 1 式变为 3 2 其中 u 为常数 此时的随机过程称为几何Brown运动 经常用以描述股票收益率的变化情况 9 应用举例 股票期权定价的基本思路 10 我们为了给股票期权定价 必须先了解股票本身的走势 因为股票期权是其标的资产 即股票 的衍生工具 在已知执行价格 期权有效期 无风险利率和标的资产收益的情况下 期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化 股票价格是影响期权价格的最根本因素 因此 要研究期权的价格 首先必须研究股票价格的变化规律 在了解了股票价格的规律后 我们试图通过股票来复制期权 并以此为依据给期权定价 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想 10 11 维纳过程的性质 z T z 0 也是正态分布均值等于0方差等于T标准差等于方差可加性 12 为何使用布朗运动 正态分布的使用 经验事实证明 股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布数学上可以证明 具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分 QuadraticVariation 不为零的性质 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的 13 市场有效理论与随机过程 1965年 法玛 Fama 提出了著名的效率市场假说 该假说认为 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的 证券价格能完全反应全部信息 1 弱式效率市场假说2 半强式效率市场假说3 强式效率市场假说 根据众多学者的实证研究 发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 一般认为 弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 是内在一致的 因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征 有效市场三个层次 14 一般来说 金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为S2的伊藤过程 即几何布朗运动 来表示 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题 二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布 这与实际较为吻合 14 15 1 几何布朗运动中的期望收益率 2 根据资本资产定价原理 取决于该证券的系统性风险 无风险利率水平 以及市场的风险收益偏好 由于后者涉及主观因素 因此其决定本身就较复杂 然而幸运的是 我们将在下文证明 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的 3 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果 而较短时间内的收益率则是算术平均的结果 16 1 证券价格的年波动率 又是股票价格对数收益率的年标准差 2 一般从