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公司最优人力计划问题 公司最优人力计划问题杨志军张伟忠戴远焕指导老师:郭子君摘要本文以公司的经济效益为着眼点，根据题目所给的信息，建立了在一定条件下的一个双目标线性规划模型，并对问题一和问题二使用上述模型进行求解得到解决问题的方案，同时对模型进行了优化和扩展，建立了满足未来N年人力需求的估计模型，最后对此模型进行了分析和求解，给出了公司解雇的最少人员数以及能节省的最大费用，根据题目的条件和对结果的分析表明模型是较为符合实际的。 一问题的提出某公司正在经历一系列变化，这影响到它在未来几年中的人力需求，公司在未来三年的人力需求估计数为已知分类不熟练现有人数2000第一年需求1000第二年需求500第三年需求0为此公司已建立了招聘计划，具体如下招工每年能新招的各类工人数熟练工和不熟练工各不超过500，半熟练工不超过800名；再培训每年可再培训200名不熟练工成为半熟练工，每培训一名费用开支为400元。 培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支500元，培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人数的四分之一；解雇解雇一名不熟练工需要付他200元，解雇一名半熟练工或熟练工要付500元；超员雇用全公司可超需要多雇用150人，额外费用每人每年为不熟练工1500元，半熟练工2000元，熟练工3000元；半日工不熟练，半熟练和熟练工可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。 这样做公司对其每人每年支付费用为不熟练工500元，半熟练和熟练工400元【由于工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题有不少人在受雇后干不满一年就自动离职（自然离职率不熟练工为25，半熟练工为20，熟练工为10），干满一年后，离职的人数相对较少（不熟练工为10，半熟练工为5，熟练工5）；公司还可以将工人降低熟练等级使用，公司不需要支付什么费用，但这样工人会有50将离职。 】根据公司建立的招聘计划，通过确定未来三年的招工，人员再培训，解雇，超员雇用和半日工的人数，从而达到公司提出的两个目标，即解雇人员最少或节省的费用最多。 半熟练1500140020002500熟练1000100015002000二模型的基本假设符号的说明（一）基本假设1公司的招聘工作在当年的年初完成，人员再培训在当年的年初完成（即在当年公司开始生产时，再培训人员是作为高一级的生产人员参加工作），人员降级也在当年的年初完成（即在当年公司开始生产时，被降级的人员是作为低一级的生产人员参加工作），并且这些操作都一年只进行一次；2公司现有的人员都是全日工，以后公司每年需求量都以工作量为单位来考虑（一个全日工相当于一个工作量，两个半日工相当于一个工作量）；3该公司进行招工，人员再培训等操作时，都是以完成当年的工作量为前提；4各类型工人每年的自然离职率不变；5成为半日工的人员在当年不会转变为全日工；6参加培训成为高一级职工的人员当年不会离职；7当年招聘的人员不作为半日工使用，也不参加人员再培训；8半日工不做为公司解雇的对象；9当半日工做为超员雇用使用时，公司只支付他们做为半日工时的工资；10不考虑工厂将工人连续降低两个熟练等级，即工厂不会直接把熟练工人降级为不熟练工人使用；11每年招工的总费用都是一个固定的常数（即无论我们怎么去操作，这一项费用都是不能减少的）。 （二）符号说明ix，iy，iz-分别表示第i年公司所拥有的不熟练，半熟练和熟练的工人工作量(i=1,2,3n)；4ix，4iy，4iz-分别表示工厂第i年新招的不熟练，半熟练和熟练的人员的工作量；5ix-表示第i年不熟练工人被培训为半熟练工人的人数；5iy-表示第i年半熟练工人被培训为熟练工人的人数；6ix，6iy，6iz-分别表示工厂在第i年解雇的不熟练，半熟练和熟练的人员的工作量；7ix，7iy，7iz-分别表示为第i年不熟练，半熟练和熟练的半日工人数；8iy-表示第i年工厂半熟练工人降级为不熟练的人员的工作量；8i z-表示第i年工厂熟练工人降级为半熟练的人员的工作量；05ix，05iy，05i z-分别表示ia，ib，ic-表示第i年的不熟练，半熟练，熟练的人员需求量；d-表示公司最大超员雇用的人数。 工人的自然减员率用下表符号表示分类工作不满一年不熟练半熟练熟练10p=25%20p=20%30p=10%工作一年以上11p=10%21p=5%31p=5%三问题分析据题意我们可以知道第i年的公司所拥有的任一类人员工作量H分为以下几部份A上一年留下的工作量（去掉自然离职的）111211311 (1), (1), (1)iiipxpypz?；B当年新招聘留下的工作量（去掉自然离职的）104204304 (1), (1), (1)iiipxpypz?；C当年被降级使用的而没有离职的总工作量88/2,/2iiyz；D解雇的工作量666,iiixyz；E从不同类型工人中提出来作为半日工的工作量777,iiixyz；F半日工所工作的工作量777/2,/2,/2iiixyz；G参加再培训的人员工作量55,iixy。 公司所拥有任一类人员的工作量与以上各部分工作量之间的关系为H=A+B+CDE+F即11110456782112045567883113045678 (1) (1)/2/2 (1) (1)/2/2 (1) (1)/2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixpxpxxxxyypypyxyyyzyzpzpzyzzz?=?+?+=?+?+?+?=?+?+?如下表不熟练工上年留下的新招聘的培训的降级的解雇的半日工年度总数第一年110 (1)px?1041 (1)px?51x061x71/2x1x第二年111 (1)px?1042 (1)px?52x062x72/2x2x第三年112 (1)px?1043 (1)px?53x063x73/2x3x半熟练工上年留下的新招聘的培训的降级的解雇的半日工年度总数第一年210 (1)py?2041 (1)py?51y81y61y71/2y1y第二年211 (1)py?2042 (1)py?52y82y62y72/2y2y第三年212 (1)py?2043 (1)py?53y83y63y73/2y3y熟练工上年留下的新招聘的培训的降级的解雇的半日工年度总数第一年310 (1)pz?3041 (1)pz?081z61z71/2z1z第二年311 (1)pz?3042 (1)pz?082z62z72/2z2z第三年312 (1)pz?3043 (1)pz?083z63z73/2z3z四模型的建立和求解可假设公司现有的不熟练工的人数为0x,半熟练工为0y，熟练工为0z，根据题意我们首先建立模型，来描述第i年公司所拥有的人员的工作量11110456782112045567883113045678 (1) (1)/2/2 (1) (1)/2/2 (1) (1)/2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixpxpxxxxyypypyxyyyzyzpzpzyzzz?=?+?+=?+?+?+?=?+?+?约束条件人员需求iiiiiixaybzc超员雇用iiiiiixyzabcd+人员再培训5502000/4iiixyz招工44450500080005004iiiiixyzyz半日工777050050050iiixyz对于第一个解雇人员最少问题，我们建立目标函数666min()iiixyz=+（i=1,2,3）代入数据运用LINGO软件求解程序如下min=x61+x62+x63+y61+y62+y63+z63+z62+z61;x1-0.75*x41+x51+x61+x71/2-0.5*y81=1800;x2-0.75*x42+x52+x62+x72/2-0.5*y82-0.9*x1=0;x3-0.75*x43+x53+x63+x73/2-0.5*y83-0.9*x2=0;y1-0.8*y41-x51+y51+y61+y71/2-0.5*z81+y81=1425;y2-0.8*y42-x52+y52+y62+y72/2-0.5*z82+y82-0.95*y1=0;y3-0.8*y43-x53+y53+y63+y73/2-0.5*z83+y83-0.95*y2=0;z1-0.9*z41-y51+z61+z71/2+z81=950;z2-0.9*z42-y52+z62+z72/2+z82-0.95*z1=0;z3-0.9*z43-y53+z63+z73/2+z83-0.95*z2=0;x1+y1+z1=1000;y1=1400;z1=1000;x2+y2+z2=500;y2=2000;z2=1500;x3+z3+y3=0;y3=2500;z3=2000;x71=0;x72=0;x73=0;y71=0;y72=0;y73=0;z71=0;z72=0;z73=0;x71=50;x72=50;x73=50;y71=50;y72=50;y73=50;z71=50;z72=50;z73=0;x42=0;x43=0;y41=0;y42=0;y43=0;z41=0;z42=0;z43=0;x41=500;x42=500;x43=500;y41=800;y42=800;y43=800;z41=500;z42=500;z43=0;x52=0;x53=0;x51=200;x52=200;x53=0;y52=0;y53=0;4*y51-z1=0;4*y52-z2=0;4*y53-z3=0;y82=0;y83=0;z81=0;z82=0;z83=0;y81-y1=0;y82-y2=0;y83-y3=0;z81-z1=0;z82-z2=0;z83-z3=0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(z1);gin(z2);gin(z3);gin(x41);gin(x42);gin(x43);gin(y41);gin(y42);gin(y43);gin(z41);gin(z42);gin(z43);gin(x51);gin(x52);gin(x53);gin(y51);gin(y52);gin(y53);gin(z61);gin(z62);gin(z63);gin(x61);gin(x62);gin(x63);gin(y61);gin(y62);gin(y63);gin(x71);gin(x72);gin(x73);gin(y71);gin(y72);gin(y73);gin(z71);gin(z72);gin(z73);gin(y81);gin(y82);gin(y83);gin(z81);gin(z82);gin(z83);end运行可得Global optimalsolution foundat iteration:32Objective value:799.0000Variable ValueReduced CostX61465.00001.000000X62124.00001.000000X63210.00001.000000Y610.0000001.000000Y620.0000001.000000Y630.0000001.000000Z630.0000001.000000Z620.0000001.000000Z610.0000001.000000X11110.0000.000000X410.0000000.000000X51200.00000.000000X7150.000000.000000Y810.0000000.000000X2650.00000.000000X420.0000000.000000X52200.00000.000000X7250.000000.000000Y820.0000000.000000X3150.00000.000000X430.0000000.000000X53200.00000.000000X7350.000000.000000Y830.0000000.000000Y11438.0000.000000Y410.0000000.000000Y51250.00000.000000Y7149.000000.000000Z81175.00000.000000Y22000.0000.000000Y42668.00000.000000Y52100.00000.000000Y721.0000000.000000Z820.0000000.000000Y32500.0000.000000Y43690.00000.000000Y53152.00000.000000Y730.0000000.000000Z830.0000000.000000Z11000.0000.000000Z410.0000000.000000Z7150.000000.000000Z21500.0000.000000Z42500.00000.000000Z720.0000000.000000Z32000.0000.000000Z43470.00000.000000Z730.0000000.000000由以上运行结果易知最少解雇人员为799人。 通过对第一个问题的求解，我们可以得到其运转方法如下招工再培训解雇超员雇用半日工不熟练半熟练熟练成为半熟练成为熟练不熟练半熟练熟练不熟练半熟练熟练不熟练半熟练熟练第一年000xx5046500110380504950第二年0668500xx0012400150005010第三年0690470xx5221000150005000对于第二个问题，由于题目没有给出各类人员的工资费用，所以我们很难直接去求它的最小费用，为了解决这个问题，我们就先求出公司所能节省的最大费用，然后我们就得到它的最小费用的操作了，而这些节省的费用由题意可知是分别由再培训、解雇、超员雇用和半日工这些费用中得来的，所以根据第一个问题所得的数据，我们建立第二个问题的目标函数如下在这里定义05ix，05iy-分别表示从第一个问题中所得出的5ix，5iy的结果；06ix，06iy，06i z-分别表示从第一个问题中所得出的6ix，6iy，6iz的结果；07ix，07iy，07iz-分别表示从第一个问题中所得出的7ix，7iy，7iz的结果；5ia，5ib-分别表示把一名不熟练人员培训成熟练人员，把一名半熟练人员培训成熟练人员的费用；6ia，6ib，6ic-分别表示解雇一名不熟练，半熟练，熟练人员的费用；0a，0b，0c-分别表示超员雇用一名不熟练，半熟练，熟练人员的费用。 则0506070i07556677070506070i075566770706070i07667707max()()()(/2/2)()()()(/2/2)()()(/2/2)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiaxxaxxaxxa xxxxbyybyybyybyyyyczzczzc zzzz=?+?+?+?+?+?+?+?+?+?+?+代入数据运用LINGO软件求解程序如下min=400*(x51+x52+x53-600)+500*(y51+y52+y53-502)+1500*(x1+x2+x3-x71/2-x72/2-x73/2+75-1910)+2000*(y1+y2+y3-y71/2-y72/2-y73/2+25-5938)+3000*(z1+z2+z3-z71/2-z72/2-z73/2+25-4500)+500*(x71+x72+x73-150)+400*(y71+y72+y73-50)+400*(z71+z72+z73-50)+500*(y61+y62+y63)+500*(z61+z62+z63)200*(x61+x62+x63-799)+;x1-0.75*x41+x51+x61+x71/2-0.5*y81=1800;x2-0.75*x42+x52+x62+x72/2-0.5*y82-0.9*x1=0;x3-0.75*x43+x53+x63+x73/2-0.5*y83-0.9*x2=0;y1-0.8*y41-x51+y51+y61+y71/2-0.5*z81+y81=1425;y2-0.8*y42-x52+y52+y62+y72/2-0.5*z82+y82-0.95*y1=0;y3-0.8*y43-x53+y53+y63+y73/2-0.5*z83+y83-0.95*y2=0;z1-0.9*z41-y51+z61+z71/2+z81=950;z2-0.9*z42-y52+z62+z72/2+z82-0.95*z1=0;z3-0.9*z43-y53+z63+z73/2+z83-0.95*z2=0;x1+y1+z1=1000;y1=1400;z1=1000;x2+y2+z2=500;y2=2000;z2=1500;x3+z3+y3=0;y3=2500;z3=2000;x71=0;x72=0;x73=0;y71=0;y72=0;y73=0;z71=0;z72=0;z73=0;x71=50;x72=50;x73=50;y71=50;y72=50;y73=50;z71=50;z72=50;z73=0;x42=0;x43=0;y41=0;y42=0;y43=0;z41=0;z42=0;z43=0;x41=500;x42=500;x43=500;y41=800;y42=800;y43=800;z41=500;z42=500;z43=0;x52=0;x53=0;x51=200;x52=200;x53=0;y52=0;y53=0;4*y51-z1=0;4*y52-z2=0;4*y53-z3=0;y82=0;y83=0;z81=0;z82=0;z83=0;y81-y1=0;y82-y2=0;y83-y3=0;z81-z1=0;z82-z2=0;z83-z3=0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(z1);gin(z2);gin(z3);gin(x41);gin(x42);gin(x43);gin(y41);gin(y42);gin(y43);gin(z41);gin(z42);gin(z43);gin(x51);gin(x52);gin(x53);gin(y51);gin(y52);gin(y53);gin(z61);gin(z62);gin(z63);gin(x61);gin(x62);gin(x63);gin(y61);gin(y62);gin(y63);gin(x71);gin(x72);gin(x73);gin(y71);gin(y72);gin(y73);gin(z71);gin(z72);gin(z73);gin(y81);gin(y82);gin(y83);gin(z81);gin(z82);gin(z83);end运行结果如下Global optimalsolution foundat iteration:1475Objective value:-995700.0Variable ValueReduced CostX511.000000400.0000X52180.0000400.0000X53135.0000400.0000Y510.000000500.0000Y52125.0000500.0000Y53150.0000500.0000X61776.0000200.0000X62195.0000200.0000X63290.0000200.0000X11000.0001500.000X2500.00001500.000X30.0000001500.000X7150.00000-250.0000X7250.00000-250.0000X7350.00000-250.0000Y11400.0002000.000Y22000.0002000.000Y32500.0002000.000Y7150.00000-600.0000Y7250.00000-600.0000Y7350.00000-600.0000Z11000.0003000.000Z21500.0003000.000Z32000.0003000.000Z7150.00000-1100.000Z7250.00000-1100.000Z7350.00000-1100.000Y610.000000500.0000Y620.000000500.0000Y630.000000500.0000Z610.000000500.0000Z620.000000500.0000Z630.000000500.0000X410.0000000.000000Y814.0000000.000000X420.0000000.000000Y820.0000000.000000X430.0000000.000000Y830.0000000.000000Y410.0000000.000000Z816.0000000.000000Y42800.00000.000000Z820.