2.3数学归纳法.ppt

数学归纳法及其应用举例 1 江苏省泰兴中学钱桂圣 在本章的开始 我们学习了归纳推理 如 三角形的内角和是180 凸四边形的内角和是360 凸五边形的内角和是540 由此猜想 凸n边形的内角和是 n 2 180 数列 an 2 4 由此猜想 对于n N 有an 2n 教师根据成绩单 逐一核实后下结论 全班及格 是不完全归纳法 不完全归纳法有利于发现问题 形成猜想 但结论不一定正确 是完全归纳法 完全归纳法得出的结论可靠 但数目较大时 一一核对困难 这些归纳出的结论是否正确 能否找到某一方法有效地解决这一矛盾呢 复习引入 问题情景 问题1 许多学生排成一队 若知道第一个学生是男生 第二个学生也是男生 第三个学生还是男生 能否断定全队学生都是男生 问题2 许多学生排成一队 若知道男生后面是男生 能否断定全队学生都是男生 问题3 许多学生排成一队 若知道第一个是男生 且知道男生后面一定是男生 能否断定全队学生都是男生 不能 不能 能 从第四个往后不清楚 第一个不一定是男生 1 有了基础 第一个是男生 2 有了递推关系 男生后面还是男生 案例分析 案例1 一个袋子里装有若干个玻璃球 第一次摸出的是红玻璃球 第二次摸出还是红玻璃球 第三次摸出的仍然是红玻璃球 怎样保证袋子里的玻璃球全是红色的 对此 我国伟大的数学家华罗庚先生是这样解决的 他说 如果 当你一次摸出红玻璃球的时候 下一次摸出的也一定是红玻璃球 那么在这样的保证之下 就不必费力去一个一个的摸了 只要第一次摸出的是红玻璃球 就可以立即作出正确的结论 袋子里面全是红玻璃球 案例2 首先 第一块砖倒下 其次 保证前一块砖倒下一定能击倒下一块砖 挖掘内涵 形成概念 证明某些与正整数有关的数学命题 常用下面的方法 如果 当n取第一个值n0 例如n0 1 2等 时结论正确 假设当n k k N k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 那么 命题对从n0开始的所有正整数n都成立 1 是归纳的基础 n0视具体问题而定 2 体现了n从k到k 1的递推关系 使命题的 正确性 得以传递 得到保证 如 n N 在n 3时才成立 故n0应为3 应用举例 例1 用数学归纳法证明 当n N 时 当n取第一个值n0 例如n0 1 2等 时结论正确 假设当n k k N k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 那么 命题对从n0开始的所有正整数n都成立 注意 用数学归纳法证明命题时 要紧扣两个 两 两步两凑 一 解题过程分两步 第一步 归纳奠基 第二步 归纳递推 基本形式为 证明 当n 时 验证命题成立 假设当n k时 命题成立 即 则 当n k 1时 有 即 当n k 1时 命题也成立 根据 和 可知对任何n 命题都成立 归纳假设要用到 二 在第二步的归纳递推中要两 凑 一凑 假设 在n k 1的命题中凑出n k时的命题形式 二凑 结论 将结果凑成关于 k 1 的形式 案例剖析 设n N 求证 证明 假设当n k时 等式成立 即那么 当n k 1时 有这就是说 当n k 1时等式成立 因此 对于任何n N 等式都成立 缺少第一步 没有了归纳的基础 变成 空中楼阁 n 4 案例剖析 用数学归纳法证明 当n N 时 1 3 5 2n 1 证明 当n 1时 等式左边 1 等式右边 1 等式成立 假设当n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 那么 当n k 1时 有1 3 5 2k 1 2k 1 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对任何n N 等式都成立 没有使用假设 正确性 得不到传递 应用举例 例2 证明 n 1 n 2 n 3 n n n N 证明 当n 时 左边 右边 等式成立 假设当n k时 等式成立 即 那么 当n k 1时 有 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对任何n N 等式都成立 1 2 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 巩固练习 已知 则 A B C D D 练习 2 用数学归纳法证明 当n 2 n N 时 证明 当n 2时 左边 右边 等式成立 假设当n k时 等式成立 即那么 当n k 1时 有所以 当n k 1时 等式成立 综合 和 等式对n 2 n N 都成立 小结 1 数学归纳法作为一种证明方法 它的基本思想是递推 递归 思想 它的使用要点可概括为 两步两凑 2 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的 如放缩法 配凑法等 思考题 我们知道 一个点将直线分成2段 两个点将直线分成3段 三个点将直线分成4段 一条直线将平面分成2部分 两条直线最多将平面分成4部分 三条直线最多将平面分成7部分 一个平面将空间分成2部分 两个平面最多将空间分成4部分 三个平面最多将空间分成8部分 如下表 试归纳总结出F n G n H n 的表达式 并用数学归纳法加以证明 提示 f 1 2 f 2 4 f 1 2 f 3 7 f 2 3 f 4 11 f 3 4 f k f k 1 f k