第二章第3讲函数的单调性与最值.DOC

第3讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间做一做 1函数ylog(2x23x1)的单调减区间为_解析：由2x23x10，得函数的定义域为(，)(1，)令t2x23x1，则ylogt，因为t2x23x12(x)2，所以t2x23x1的单调增区间为(1，)又ylogt在(1，)上是减函数，所以函数ylog(2x23x1)的单调减区间为(1，)答案：(1，)2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值做一做2函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_解析：f(x)2，故f(x)在(1，)上为增函数，所以f(x)在1,2上的最大值为f(2)，最小值为f(1)1.答案：，11必明辨的2个易错点(1)函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结(2)解决分段函数的单调性问题时，除应注意保证各段上同增(减)外，还要注意上、下段间端点值间的大小关系，弄清最终结果取并还是交练一练1函数f(x)的单调区间为_解析：f(x)2，所以f(x)的单调区间为(，0)，(0，)答案：(，0)，(0，)2已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为_解析：由题意知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.答案：2必会的5种方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值练一练3函数f(x)的最大值是_解析：1x(1x)x2x1(x)2.因此，有0.所以f(x)的最大值为.答案：4函数f(x)log(12x27x2)的最小值为_解析：令12x27x20得f(x)的定义域为(3,9)设n12x27x2，则0n9.所以ylogn的取值范围是2，)故函数的最小值为2.答案：25函数f(x)，x0,1的最大值和最小值分别为_解析：因为f(x)，所以f(x).当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0；当0.因此f(x)在上递减，在上递增又f(0)，f4，f(1)3，则f(x)的值域为4，3答案：3，4考点一函数单调性的判断判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性解设x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)是减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)是增函数综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数；在，)上为增函数方法归纳判断或证明函数的单调性的两种基本方法(1)利用定义的基本步骤是：(2)利用导数的基本步骤是：1.已知函数f(x) ax，其中a0.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数解：(1)由2f(1)f(1)，可得22a a，得a.(2)证明：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2) ax1 ax2 a(x1x2)a(x1x2)(x1x2).因为0x1 ，0x2 ，所以00，所以f(x)在0，)上单调递减考点二求函数的单调区间(高频考点)求下列函数的单调区间(1)yx22|x|3；(2)ylog2(x21)解(1)依题意，可得当x0时，yx22x3(x1)24；当x0，在(1，)上为增函数且u0.所以当x(，1)时，ylog2(x21)为减函数，当x(1，)时，ylog2(x21)为增函数名师点评求函数单调区间应注意的问题：函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行2.求函数y的单调区间解：令ux2x6，y 可以看作由y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.因为ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数所以y 的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)3设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，求函数fk(x)的单调递增区间解：由f(x)，得1x0)在(2，)上为单调递增函数，求实数a的取值范围解在区间(2，)上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)，因为f(x)在(2，)上为增函数，所以(x1x2)0.又x1x2，即x1x20，所以1，即ax1x2.因为x1，x2(2，)，且x14.所以a4，又a0，所以0a4.已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.当00，a3.所以01时，f(x)在1， 上为减函数，在(，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值是f()22,220，显然成立综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3，)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，因为当x0时，f(x)1，所以f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，所以f(x)在R上为增函数(2)因为m，nR，不妨设mn1，所以f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，所以f(1)2，所以f(a2a5)2f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2a513a2，即a(3,2)方法思想最值问题中的转化思想(2015苏州调研)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)(x2,2)的最大值等于_(“”和“”仍为通常的乘法和减法)解析由定义知，f(x)f(x)在区间2,2上单调递增，所以f(x)的最大值为6.答案6(2015扬州调研)若函数f(x)|x33xt|(x2,2)的最大值为，则实数t_.解析令mx33x(2x2)，可得2m2，再研究函数g(m)|mt|(2m2)即可当t0时，g(2)，得|2t|，t，当t0时，g(2)，得|2t|，t.答案(2015泰州模拟)若定义在区间2 015，2 015上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x22 015，2 015，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)2 014，且x0时，有f(x)2 014，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则MN的值为_解析令x1x20，得f(0)2 014，再令x1x20，将f(0)2 014代入可得f(x1)f(x1)4 028.设x1x2，x1，x22 015,2 015，则x2x10，f(x2x1)f(x2)f(x1)2 014，所以f(x2)f(x1)2 0142 014.又因为f(x1)4 028f(x1)，所以可得f(x2)f(x1)，所以函数f(x)是递增的，所以f(x)maxf(2 015)，f(x)minf(2 015)又因为f(2 015)f(2 015)4 028，所以MN的值为4 028.答案4 028感悟提高求函数的最值问题，关键是利用等价转化思想，转化为基本初等函数，再利用单调性、图象、导数等手段求最值7.(2014高考重庆卷)函数f(x)log2log(2x)的最小值为_解析：f(x)log2log(2x)log2x2log2(2x)log2x(1log2x)设tlog2x(tR)，则原函数可以化为yt(t1)2(tR)，故该函数的最小值为，故f(x)的最小值为.答案：8(2014高考上海卷改编)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_解析：由于当x0时，f(x)xa在x1时取得最小值2a，由题意当x0时，f(x)(xa)2应该是递减的，则a0，此时最小值为f(0)a2，因此a2a2，解得0a2.答案：0,21函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围为_解析：函数y(2k1)xb是减函数，则2k10，即k.答案：(，)2f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_，f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,483“函数f(x)在a，b上为单调函数”是“函数f(x)在a，b上有最大值和最小值”的_条件解析：若函数f(x)在a，b上为单调递增(减)函数，则在a，b上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)x22x3在0,2存在最大值和最小值，但该函数在0,2不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在a，b上为单调函数”是“函数f(x)在a，b上有最大值和最小值”的充分不必要条件答案：充分不必要4函数y(x3)|x|的递增区间是_解析：y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：5若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)_.解析：依题意，知函数图象的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.答案：256已知函数f(x)为R上的减函数，若mn，则f(m)_f(n)；若ff(n)；1，即|x|1，且x0.故1x(1,0)(0,1)7若函数y|2x1|在(，m上单调递减，则m的取值范围是_解析：画出图象易知y|2x1|的递减区间是(，0，依题意应有m0.答案：(，08已知函数y的最大值为M，最小值为m，则_.解析：显然函数的定义域是3,1且y0，故y2424242，根据根式内的二次函数，可得4y28，故2y2，即m2，M2，所以.答案：9若f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：设x1x22，则f(x1)f(x2)，而f(x1)f(x2)0，则2a10.得a.答案：10定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，当x0，则函数f(x)在a，b上有最小值为_解析：因为f(x)是定义在R上的函数，且f(xy)f(x)f(y)，所以f(0)0，令yx，则有f(x)f(x)f(0)0.所以f(x)f(x)，所以f(x)是R上的奇函数设x1x2，则x1x20.所以f(x)在R上是减函数所以f(x)在a，b上有最小值f(b)答案：f(b)11判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)1时，函数ya12xx2的增区间是(，1)，减区间是(1，)；当0a1时，函数ya12xx2的增区间是(1，)，减区间是(，1)1设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则f，f(2)，f的大小关系为_解析：由f(2x)f(x)可知，f(x)的图象关于直线x1对称，当x1时，f(x)ln x，可知当x1时f(x)为增函数，所以当x1时f(x)为减函数，因为|21|，所以fff(2)答案：ff0时，f(x)0；当x0，即f(x)在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数，当x0时，f(x)取得最大值f(0)2011，故K1，即K的最小值为1.答案：14已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围为(0,15已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时x的取值范围解：(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)因为2x10a(2x12x2)0，3x10b(3x13x2)0，所以f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数同理，当a0，b0，当a0