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数理统计 江苏大学路正南 YourSiteHere 第一章绪论 一 什么是统计 统计的内涵 1 统计工作2 统计资料3 统计学社会经济统计大统计数理统计统计既是一种理论 也是许多方法的总称 YourSiteHere 第一章绪论 二 统计的题材统计的题材包括范围极广 设计生成数据的试验 数据的收集 分析 描述和解释 例如 随机抽取某市的1000个家庭的收入状况 平均收入 每个家庭收入与平均收入的离散程度 YourSiteHere 第一章绪论 三 现代统计学发展现代统计学的精髓是 数据推断决策感兴趣的内容是 点估计推断全市的平均收入区间估计 YourSiteHere 第一章绪论 1 如何抽样局部推断整体2 如何推断3 误差多少四 学习数理统计的目的1 统计思想的熏陶2 统计推断方法 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 一 数理统计的定义数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的一门数学科学 它以概率论为基础研究如何以有效的方式收集 整理和分析受到随机性影响的数据 从而为随机现象选择和检验数学模型 并且在此基础上对随机现象的性质 特点和统计规律作出推断和预测 直至为决策提供依据和建议 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 二 数理统计主要研究两类问题1 实验的设计和研究研究如何合理有效地获得数据资料的方法 并对这些方法进行分析2 统计推断研究如何利用获得的数据资料对所关心的问题 做出尽可能精确 可靠的判断 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 例如 1 一批灯泡的平均寿命是多少 合格率是多少 2 一批灯泡的平均寿命大于等于1000小时 合格率大于等于90 信不信 3 温度与压力有无关系 有什么样的关系 4 一天所加工的零件的误差是否服从正态分布 5 几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值有无显著差异 6 某材料的处理方式A1 A2 A3及使用环境B1 B2 B3对其性能有无影响 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 1数理统计的几个基本概念一 总体与样本有限总体总体研究对象的全体无限总体个体每个研究对象关心与它们的性能相联系的某个数量指标实验前不知结果是一个随机变量 有一个分布 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 总体一个具有确定概率分布的随机变量个体随机变量可能取的数值研究总体 一般采取抽样 取样 采样 的方法 样本推断总体 其原因有 1 无限总体2 破坏性等情况 不可能对所有个体研究 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 抽样 抽样的代表性要强 必须遵循随机原则 1 无限制随机抽样 纯随机抽样 总体中每个个体被抽到的机会是均等的 结果为简单随机样本 2 有限制随机抽样 总体 随机变量 可能取值n个 n次重复独立观测 其结果 1 2 n试验前 1 2 n 为n维随机变量 试验后 1 2 n 为一组具体的数值 n维空间Rn中的一点 N称为样本容量 样本空间 1 2 n 可能取得值的全体 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 两种抽样方法 1 有放回抽样2 无放回抽样当n充分大时 两种方法接近简单随机抽样 无限总体无放回抽样 有限总体有放回抽样 当n充分大时 都可认为是简单随机抽样简单随机样本 1 2 n 独立同分布 i与 同分布 定义1 若 F x P x 称样本 1 2 n 来自于总体F x YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 定理 若 1 2 n 来自于F x P x 则 1 2 n 的联合分布密度函数 F xi P xi 例一 N 0 1 1 2 3 是一个样本 样本空间R3 n i 1 n i 1 YourSiteHere 联合概率函数 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 二 统计量统计量 样本的函数 不含未知参数 定义2 设 1 2 n 是总体 的一个样本 T 1 2 n 是样本 1 2 n 的一个函数 且T 1 2 n 中不含任何未知函数 T T 1 2 n 为一个统计量 要点 1 样本的函数 2 不含任何未知参数 3 统计量是一个随机变量 4 统计量的分布称为抽样分布 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 定义3 设 1 2 n 是来自总体 的容量为n的样本 常用的统计量有 1 样本均值2 样本方差3 样本标准差4 修正样本方差 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 5 修正样本标准差6 样本k阶原点矩7 样本k阶中心距 k为正整数 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 2经验分布函数与直方图一 经验分布函数总体的分布函数也叫做理论分布函数 利用样本来估计和推断总体的分布函数 是数理统计要解决的一个重要问题 总体 分布 样本 其中有个不同的数值将它们按由小到大的次序排列为样本 个数频率 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 引入函数当对不出现的样本值中的其它的这个函数成为经验频率函数 决定了样本的频率分布定义函数 对任意实数 这个函数称为总体的经验分布函数可以证明 经验分布函数具有如下性质 1 2 是单调不减函数 3 处处右连续 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 例 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 与的关系设样本 对任一个 实际上 恰有个 由于与有相同分布函数 因此事件概率为 而次独立抽样可看作重贝努里试验 从而根据贝努里大数定律 频率与概率p可以任意接近 当时 依概率收敛于即对任意给定的 有更深刻的结果由格列汶科于1933年作出的 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 格列汶科定理 是的一个很好的近似 数理统计学中一切都以样本为依据 其理由就在于此 二 直方图 略 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 3常用统计分析一 分布 独立 同分布结论 1 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 3 4 分布的可加性 若为独立的随机变量 且则5 若则6 若当时 近似服从 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 二 分布 独立 三 F分布 独立 则 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 四 分位数定义 设随机变量的分布函数为 实数满足0 1 若使 则称为此概率分布的分位数或分位点或临界值 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 关于图表 1 2 3 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 4抽样分布抽样分布统计量的分布一 正态总体的样本均值与方差的分布定理1 设相互独立 且则不全为零推论1 样本则不全为零 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 样本则3 样本两个样本独立 则 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 定理2 科赫伦Cochram分解定理 设为独立 同分布随机变量 且i 1 2 n又设其中是秩为的非负二次型 则如下两结论 1 独立 2 成立的充分必要条件为 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 推论 设为独立 同分布的随机变量 且i 1 2 n而是的秩为的非负二次型 且 则其中 且 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 定理3 设总体 为的一个样本 则 1 样本均值与样本方差独立 或与独立 2 定理4 设总体 是的一个样本 则 1 样本均值与样本方差独立 2 推论1 设总体 是的一个样本 则 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 推论2 设与为两个具有相等方差 也称具有方差齐性 的正态总体 有为的样本为的样本且这两个样本独立 则其中 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 推论3 设与为两个正态总体为的样本为的样本且这两个样本独立 则例 设来自总体证明 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 二 一些非正态总体的样本均值的分布结论 不管总体服从什么分布 只要它的方差有限 从而也有限 那么样本均值的期望与方差均有限 且有定理5 设为任意一个总体 且有有限方差而为的一个样本 则当充分大时近似服从 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 5顺序统计量与样本极差一 顺序统计量及其分布定义 设是来自总体的样本 由样本建立个函数那么是统计量 它的观测值是样本的观测值由小到大的次序排成后的第个数值 则称其中称为第个顺序统计量 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 称为最大顺序统计量 称为样本极差 当n为奇数时称为样本中值当n为偶数时例 设样本观测值 1 4 2 6 5 1 2 4 5 6 3 6 4 3 44 5 6 1 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 下面简略介绍一下上述统计量的分布 1 设总体具有连续型概率密度函数 分布函数为 这里 可以是无穷大 是来自总体的样本 则顺序统计量的联合概率密度函数为例1 设总体服从指数分布 其概率密度函数为 从总体中抽取一个容量的样本 试求第3个顺序统计量的概率密度函数 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 解 的联合概率密度函数为利用求边缘密度的方法 可得的概率密度函数为 YourSiteHere 第二章数理统计的基本概念与抽样分布 2 仿照例1的方法 可得最小顺序统计量的概率密度函数为最大顺序统计量的概率密度函数为第个顺序统计量的概率密度函数为 3 进一步还可得的联合概率密度函数为 YourSiteHere 第三章参数估计 统计推断 根据样本推断总体的分布或分布的数学特征参数估计问题 根据样本对总体未知参数作估计 3 1求点估计量的方法点估计的主要任务是通过样本求出总体参数的估计值 点估计的作法 设总体的分布为已知 但其中的参数为未知 对总体进行随机抽样 用样本构造合适的统计量作为参数的估计量 记作 若一次抽取的样本值为 则就是的估计值 常用的点估计方法有矩法 极大似然法 YourSiteHere 一 矩法设为总体的样本 则样本阶原点矩为矩法就是用样本矩作为相应的总体矩的估计量 具体作法 设总体的分布函数中包含个未知参数 总体的阶矩存在 以样本矩作为总体矩的估计 第三章参数估计 YourSiteHere 即这是由个方程构成的方程组 从中可以解出 它们都是用样本表示的 记为 就是总体参数的估计量 此估计量称为矩估计量 对一次具体抽取的样本值 叫的矩估计量 第三章参数估计 YourSiteHere 例1 设某总体有期望 方差 其值未知 为样本 求和的矩估计量 解 这里而由矩法估计得由此解出 第三章参数估计 YourSiteHere 例2 设总体均匀分布 其中为未知参数 为简单随机样本 求的矩估计量 解 均匀分布的密度函数为已知 法1 从期望考虑 用矩法 法2 从方差考虑 用矩法 第三章参数估计 YourSiteHere 例3 已知总体的密度函数为其中 为未知参数 为简单随机样本 求和的矩估计量解 由矩法应有解之 得 第三章参数估计 YourSiteHere 矩法估计的优点 1 直观 方便 2 当样本容量n无限大时 用矩法来估计总体各参数可达到任意精确程度 3 一般情况下矩法不依赖于总体分布的具体形式 因而适用性广 矩法估计的缺点 1 矩法估计要求总体的原点矩存在 如柯西分布的一阶原点矩不存在 就不能用矩法了 2 矩法太一般化了 如例1 未能充分利用所具有的特点 所以对一些特定的分布可能不如用其他方法得到的估计量好 3 矩法估计量不具有唯一性 例如泊松分布的参数 第三章参数估计 YourSiteHere 第三章参数估计 二 极大似然法1 似然函数 设样本为来自分布密度的总体 离散型表示 为参数 其联合分布密度称为似然函数 记为 连续型 离散型 YourSiteHere 第三章参数估计 2 极大似然估计量如果在时 则称分别是参数的极大似然估计量 3 极大似然估计法极大似然估计法 用样本估计总体的参数值时 使得当各数取这些值时 所观察到的样本出现的概率最大 极大似然原理 概率最大的事件最容易发生 小概率原理的逆否形式 YourSiteHere 第三章参数估计 例1设一袋中盛有两种球 白球和黑球 已知黑球比白球多 试估计二者数量之比 摸得白球的概率作放回抽样 摸球次故似然函数若 其中有9个等于1 其余为零 则求 使得 YourSiteHere 第三章参数估计 求 使得令 得一般地 样本若则为的极大似然估计量 求解由于是的增函数 可以求解 j 1 2 k YourSiteHere 第三章参数估计 例2 设服从指数分布样本 求的极大似然估计 解 令得 YourSiteHere 第三章参数估计 例3 设 样本 求与的极大似然估计量 解 似然函数 2 YourSiteHere 第三章参数估计 解得 YourSiteHere 第三章参数估计 例4设总体服从上的均匀分布求的极大似然估计量 解 设样本由于样本来自总体所得结果与矩估计不同 YourSiteHere 第三章参数估计 三 顺序统计量法定义 设总体 样本为顺序统计量 记称为样本中位数 为总体中位数的估计量若总体连续型对称分布 则 称为数学期望的顺序统计量法 YourSiteHere 第三章参数估计 其优点 1 简便 2 不需利用的分布 已知分布时 设有充分利用总体分布所提供的有用信息 3 不易受个别异常数据的影响 4 寿命试验中 只需得到超过半数的试验结果 个试验同时进行 YourSiteHere 第三章参数估计 定义 极差估计法 1 简单 2 不如 且越大 可靠性越差正态总体稳健估计 YourSiteHere 第三章参数估计 3 2估计量的评选标准例 其中哪个 最佳 最佳 的准则 YourSiteHere 第三章参数估计 分别为的三个估计量分别为相应的密度函数 各方面都好 YourSiteHere 第三章参数估计 一 无偏估计 1 定义 设是未知参数的估计量 若 则称为的无偏估计 无偏估计准确无误的估计 2 同一个参数可以有很多无偏估计例 设为来自期望为的总体 判断下列统计量是否为的无偏估计 都是的无偏估计量 不是的无偏估计 不为零时 YourSiteHere 第三章参数估计 3 是的无偏估计是的无偏估计是线性函数除外 例设是来自具有限期望的总体的一个样本 则是的无偏估计 结论 样本均值是总体均值的无偏估计 但不是的无偏估计 例如 YourSiteHere 第三章参数估计 例 设总体的期望为 方差为 样本 则样本方差是的无偏估计 事实上 YourSiteHere 第三章参数估计 结论 是的无偏估计不是的无偏估计一般也不是的无偏估计例如 YourSiteHere 第三章参数估计 4 渐近无偏估计量为的渐近无偏估计量是的渐近估计量 YourSiteHere 第三章参数估计 5 一个有明显弊病的无偏估计量例 为的一个样本 则是的无偏估计量 这是因为 应用无偏性 1 数学上 2 心理上 YourSiteHere 第三章参数估计 1 有效性及最小方差无偏估计的两个无偏估计量 如果较更密集在附近 则认为较理想或有效 设 是的两个无偏估计量 若 则称较有效 如果对于给定的 在的所有无偏估计量中 的值最小 则称是的最小方差无偏估计 1 2 任一估计 YourSiteHere 例 比较总体期望的两个无偏估计 的有效性 解 YourSiteHere 第三章参数估计 所以比有效 YourSiteHere 第三章参数估计 2 罗 克拉美不等式设是从分布密度函数的总体中抽取的一个样本 是的一个无偏估计 在一些正则条件下有其中 YourSiteHere 第三章参数估计 特别当时 有 1 应用此不等式 证明的 二项分布的 泊松分布的 它们的最小方差无偏估计都是 例 设是来自于贝努里分布总体的一个样本 试求的无偏估计的下界 解 对 YourSiteHere 第三章参数估计 所以而得是的最小方差无偏估计 2 克拉美不等式的方差下界不一定能达到例 设是来自正态总体的一个样本 求和的无偏估计的方差下界 解 YourSiteHere 第三章参数估计 所以的方差下界 而所以 是的最小方差无偏估计 同样 YourSiteHere 第三章参数估计 的方差下界是是的无偏估计 由于但用其他方差可以证明确实是的最小方差无偏估计 三 有效估计定义 如果是参数的一个无偏估计量 它的方差达到给出的下界 则称是参数的有效估计 YourSiteHere 第三章参数估计 定义 对的任一无偏估计 记称为无偏估计的有效率 例如 的是的有效估计 则当然是最小方差无偏估计 是的最小方差无偏估计 但不是有效估计 它的效率是定义 渐近有效率若 则称是的渐近有效估计 YourSiteHere 第三章参数估计 四 相合估计 一致估计 定义 设为未知参数的一列估计 如果依概率收敛于 即对 有则称为的相合估计 例 若 存在 证明是的相合估计 证 利用切比雪夫不等式以及得 YourSiteHere 第三章参数估计 3 3区间估计定义 设 为两个统计量 如果成立 则称为的区间估计 称为置信下限 称为置信上限 称为置信水平 称为置信区间 以的概率套住 以的概率落入 最好 的置信区间 在给定的较大的置信水平下 使长度最小的区间估计 YourSiteHere 第三章参数估计 一 正态总体均值的区间估计1 已知 求的置信区间设总体 样本的点估计取使得的置信水平为的置信区间为 YourSiteHere 第三章参数估计 例 某车间生产滚珠 从长期实践中知 滚珠直径服从正态分布 现从某天产品中抽取6个 测得直径为 mm 14 615 114 914 815 215 1若已知方差为0 06 试求平均值的置信区间 解 查表 YourSiteHere 第三章参数估计 即的置信区间为 14 75 15 15 当不是服从正态分布时 只要足够大 仍可用作为的置信区间 2 未知 求的置信区间用来代替 YourSiteHere 第三章参数估计 例 为确定某种溶液中的甲醛浓度 取样得4个独立测定值的平均值 样本方差 并设被测总体近似地服从正态分布 求总体均值的95 置信区间 解 8 292 8 388 二 正态总体方差的区间估计总体 样本的点估计 YourSiteHere 第三章参数估计 的置信区间则可取为上述置信限的平方根 当总体均值已知 也可以用样本函数 YourSiteHere 第三章参数估计 三 两个正态总体的均值差的区间估计1 都已知 求的置信区间 YourSiteHere 第三章参数估计 2 未知 求的置信区间3 且都未知 求的置信区间 1 很大 2 并不大 的近似置信区间 YourSiteHere 第三章参数估计 四 两个正态总体方差比的区间估计 YourSiteHere 第三章参数估计 五 正态总体的与的联合区间估计总体与独立与独立 YourSiteHere 第三章参数估计 六 0 1 分布的参数的区间估计充分大时 近似服从平方后整理 得 YourSiteHere 第三章参数估计 七 单例置信限定义 总体未知为的单侧置信区间 单侧下限类似有 YourSiteHere 第四章假设检验 一 问题的提出例1 洗衣粉装包机在正常工作时 装包量服从正态分布 根据多年的观测 其 克 现在调整控制开关 令其装包量均值为500克 在装好的洗衣粉中任取一袋 测出 克 试问装包量的均值是500克吗 例2 设甲 乙两车间生产的电灯泡的寿命都服从正态分布 抽样测得其寿命数据为甲车间 小时 小时 乙车间 小时 小时 问两个车间的灯泡寿命可以认为是相同吗 YourSiteHere 第四章假设检验 例3 自动车床加工中轴 从成品中轴抽取11根 测量它们的直径 单位 mm 数据如下 10 4110 3210 1810 6410 7710 8210 6710 5910 3810 49问这批零件的直径服从正态分布吗 二 假设检验的基本原理以例1为例 样本与均值的偏差508 500 8 克 是的4倍 正态分布中 落入内的概率为99 73 一次抽样的小概率事件发生了 只能怀疑 均值克 的假设 假设检验是某种带有概率性质的反证法 YourSiteHere 第四章假设检验 三 两类错误 原假设 备择假设例1中 一般地 总体 样本若为真 应该在0的附近 若远离0 则拒绝 给出显著性水平 YourSiteHere 第四章假设检验 双侧拒绝域犯第一类错误的概率成立 犯第二类错误的概率成立 YourSiteHere 第四章假设检验 例 设对某正态总体的均值进行假设检验 已知 取样本容量 取用样本均值作检验统计量的的接受域为 1 若 求犯第一类错误的概率 2 若不正确 正确 问此时犯第二类错误的概率 解 YourSiteHere 第四章假设检验 与的关系 若已知 只可能取二个值或 抽一个样本 成立时 来自左边的总体 成立时 来自右边的总体 这时有偏大的趋势 拒绝域即固定 与不能同时变小 最佳检验法 固定 能使达到最小的检验法 YourSiteHere 第四章假设检验 四 检验结果的含义1 拒绝是有说服力的 接受是没有说服力的 和不是对称的 一般将要说明的结论记作 例 1 两个总体 问两个总体的均值有否显著差别 2 问 1 中的均值比的均值大吗 3 总体 经抽样后算出 问能否断言比某已知数大吗 YourSiteHere 第四章假设检验 2 检验水平选取五 假设检验的步骤1 根据问题的目的和要求提出和2 构造一个合适的统计量 在为真时 的分布函数不含任何未知参数 3 给出显著性水平 在为真时 通过等式或 确定双侧临界值与 或单侧临界值 从而得双侧拒绝域或单侧拒绝域 4 由样本算出统计量的值 若或 则拒绝 反之 接受 YourSiteHere 第四章假设检验 六 总体均值的检验 一 总体为正态分布且方差已知 检验 假设统计量 1 2 3 检验规则 1 拒绝 接受 2 拒绝 接受 3 拒绝 接受 YourSiteHere 第四章假设检验 二 总体为正态分布但方差未知 检验 假设统计量 1 2 3 检验规则 1 拒绝 接受 2 拒绝 接受 3 拒绝 接受 YourSiteHere 第四章假设检验 三 总体为非正态分布大样本下 统计量取或七 两个总体均值之差的检验假设 1 2 3 一 两个总体方差已知 检验 统计量 YourSiteHere 第四章假设检验 二 两个总体方差未知但相等 检验 统计量 三 两个非正态总体统计量或 YourSiteHere 第四章假设检验 八 总体成数的检验假设 1 2 3 都大于5时 统计量 YourSiteHere 第四章假设检验 九 两个总体比例之差的检验假设 1 2 3 当都大于5时统计量 YourSiteHere 第四章假设检验 十 单个正态总体方差的假设检验 检验 假设统计量 1 2 3 检验规则 1 或时 拒绝时 接受 2 时拒绝 时接受 YourSiteHere 第四章假设检验 3 时拒绝 时接受十一 两个正态总体方差比的假设检验假设 1 2 3 统计量注 只需查 YourSiteHere 第四章假设检验 例 要比较甲 乙两种橡胶轮胎的耐磨性 现从甲 乙两种轮胎中各抽取8个 各取一个组成一对 再随机选取8架飞机 将八对轮胎随机配给8架飞机 作耐磨试验 飞行了一定时间的起落后 测得轮胎磨损量 单位 mg 数据如下 试问这两种轮胎的耐磨性有无显著性的差异 取 假设甲 乙两种轮胎的磨损量分别为 又 YourSiteHere 第四章假设检验 解 一 数据配对记则 30320360320230780720 140所以拒绝 即认为这两种轮胎的耐磨性能有显著差异 YourSiteHere 第四章假设检验 二 样本独立4 5分布拟合检验拟合检验法总体未知 样本 检验办法 1 建立假设 2 在数轴上选取个分点 将实数轴分为个区间 YourSiteHere 第四章假设检验 在下 记为分布函数为的总体在第个区间取值的概率 即称为第组的理论频数 记为个样本观测值中落在第个区间中的个数 称为第组的观测频数 分点的选取应使个区间中每个区间内都有样本观察值 一般要 YourSiteHere 第四章假设检验 在下 为中需要用样本进行估计的未知参数的数目 3 对给定的 确定 使 4 由样本值计算的值 5 若 则拒绝 即不能认为总体分布函数是 否则 接受例 从维尼纶厂正常生产的报表上 随机抽取100个维尼纶纤度的数据如下 1 361 491 431 411 371 401 321 421 471 391 421 341 431 421 411 411 441 481 551 37 YourSiteHere 第四章假设检验 试以显著水平检验维尼纶纤度是否服从正态分布 解 由直方图可看出它近似服从正态分布其中是的分布函数 在下 在数轴上选取6个分点1 35 1 38 1 41 1 44 1 47 1 50将数轴分为7个区间 YourSiteHere 第四章假设检验 由 查表 YourSiteHere 第四章假设检验 接受 即认为维尼纶纤度服从正态分布 YourSiteHere 第四章假设检验 例 抛掷一枚硬币100次 正面 出现了60次 问这枚硬币是否匀称 解 表示出现 正面 表示出现 反面 取一个分点0 5 将数轴分为两部分 在下 拒绝 即认为这枚硬币不是匀称的 YourSiteHere 第四章假设检验 4 6两个总体相等性检验一 符号检验法设 连续型随机变量 独立样本样本水平下 检验 YourSiteHere 第四章假设检验 在样本中去掉的点 仍记样本容量为 若记的个数为若记 的个数为1查表若 拒绝 认为与有显著差异若 接受 YourSiteHere 第四章假设检验 二 秩和检验法设总体的分布函数为 样本设总体的分布函数为 样本不妨设 水平将在混合后的数据中 排在第个位置 即则称的秩为 记为记称为秩和统计量 YourSiteHere 第四章假设检验 最小 最大 查表得的拒绝域 或 YourSiteHere 第五章回归分析 函数关系 正方形的面积与边长相互关系 身高与体重相互关系中与的关系对称函数关系中与的关系不一定对称一 一元线性回归模型考察变量与的关系散点 得散点图 如果散点大致呈直线状 给散点配置 或拟合 一条直线 使得直线再能反映这组散点 YourSiteHere 第五章回归分析 一元线性回归模型或二 未知参数的估计1 最小二乘法解之 得 YourSiteHere 第五章回归分析 2 极大似然估计法 YourSiteHere 第五章回归分析 解之 得几点说明 1 两种估计的比较最小二乘法估计是通过一组样本点 寻求任何两个变量之间线性关系的一种通用方法 不是正态分布进行 极在似然法的优点在于可以对估计值作概率解释 并能对直接作出估计 YourSiteHere 第五章回归分析 2 即经验回归直线通过散点图的几何重心 3 可以证明 和分别是和的无偏估计 而且是所有用的线性函数作无偏估计量中方差最小的 4 几个常用记号称的离差平方和称的离差平方和称的离差乘积和 YourSiteHere 第五章回归分析 则例1以家庭为单位 某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据如下 求对于的回归方程 YourSiteHere 第五章回归分析 解 需求模型三 相关系数1 平方和分解公式 YourSiteHere 第五章回归分析 其中交叉项令则 YourSiteHere 第五章回归分析 解释与的含义的平均数也是所以 就是的离差平方和 称为回归平方和 为残差平方和令 YourSiteHere 第五章回归分析 相关系数相关系数的几何意义例1四 线性相关关系的显著性检验线性回归的显著性检验在假设下 有结论 1 YourSiteHere 第五章回归分析 证 是的线性函数 所以服从正态分布 YourSiteHere 第五章回归分析 所以 2 证 所以服从正态分布 YourSiteHere 第五章回归分析 所以 3 剩余平方和的均值为 YourSiteHere 第五章回归分析 证 即是的无偏估计 YourSiteHere 第五章回归分析 4 且与独立 5 在的条件下 6 称为剩余标准差证在 且独立 YourSiteHere 第五章回归分析 检验法1 检验法 在下 当时 拒绝 检验法2 检验法 在下 当时 拒绝 YourSiteHere 第五章回归分析 检验法3 检验法 由检验法 五 回归系数的检验及区间估计例 K Pearson收集了大量父亲身高与儿子身高的资料 其中10对数据如下 YourSiteHere 第五章回归分析 F Galton曾断言 儿子身高会受到父亲身高的影响 对于身高偏离父代平均水平的父亲 其儿子身高有回归到子代平均水平的趋势 问 K Pearson的资料能证实这一论断吗 求出回归方程 并给出的区间估计 一般情况 YourSiteHere 第五章回归分析 1 时拒绝 2 时拒绝 3 时拒绝 的区间估计 六 预测与控制 YourSiteHere 第五章回归分析 又与独立 因此与独立 即与独立 YourSiteHere 第五章回归分析 的的置信区间 1 当时 最小 预测区间长度最短 2 当离不太远 且较大时 有 3 选定对进行预测时 一般要求在已有数据范围内控制是预测的反向问题 YourSiteHere 第五章回归分析 七 过原点的直线回归记 YourSiteHere 第五章回归分析 的的置信区间的的预测区间八 多元线性回归 YourSiteHere 第五章回归分析 二元正态线性回归 Y