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庆阳六中 李树信 5 6 2平面向量的数量积及运算律 5 6 2平面向量的数量积及运算律 1 掌握平面向量数量积运算规律 2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题 3 掌握两个向量共线 垂直的几何判断 会证明两向量垂直 以及能解决一些简单问题 复习回顾1 向量数量积的定义 2 数量积的5个重要性质 三个运算律 平面向量数量积 内积 的定义 代数性质 两个向量的数量积的性质 三个运算律 例1 已知 a 3 b 6 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b 分析 由数量积的定义可知 它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积 只要能求出它们的夹角 就可求出a b 解 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 若a与b反向 则它们的夹角 180 a b a b cos180 3 6 1 18 当 时 它们的夹角 90 a b 0 当a与b的夹角是60 时 有a b a b cos60 3 6 cos60 9 注意 两个向量的数量积与它们的夹角有关 其范围是 0 180 因此 当a b时 有0 或180 两种可能 例2 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 由已知 a 3b 7a 5b a 3b 7a 5b 0 7a 16a b 15b 0 解 又 a 4b 7a b a 4b 7a 2b 0 7a2 30a b 8b 0 得 46a b 23b 即有a b b b 例2 已知a b都是非零向量 且a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 求a与b的夹角 代入 可得 若记a与b的夹角为 cos 又 0 180 60 所以 与 的夹角为60 例3 a b c d a b c d a b c d 0 即 a 2a b b c 2c d d 由于a b c d a b c d 同理有 a d c b 由 可得 a c 且 b d 即四边形ABCD两组对边分别相等 解 四边形ABCD是平行四边形 例3 又由a b b c 有b a c 0 而由平行四边形ABCD可得a c 代入上式得b 2a 0 即a b 0 a b也即AB BC 综上所述 四边形ABCD是矩形 小结 通过本节学习 要求大家掌握平面向量数量积的运算规律 掌握两个向量共线 垂直的几何判断 能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 在数量积运算律中 有两个形似实数的完全平方和 差 公式在解题中的应用较为广泛 即 a b a 2a b b a b a
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