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3 1 1变化率与导数 问题1 气球平均膨胀率 吹气球时 会发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 能从数学的角度解释这一现象吗 解 可知 V r r3 即 r V 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 气球平均膨胀率 问题1 气球平均膨胀率 当空气容量 从 加 时 半径增加了 r r 0 气球平均膨胀率 可以看出 随着气球体积变大 它的平均膨胀率变小 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少呢 问题2 平均速度 求 s到 s时的平均速度 解 S2 S1 14 7 t2 t1 1 问题2 平均速度 思考 求t1s到t2s时的平均速度 平均变化率 如果上述的两个函数关系用f x 表示 那么当自变量x从x1变化到x2时 函数值就从y1变化到y2 则函数f x 从x1到x2的 平均变化率 它的几何意义是什么呢 问题 瞬时速度 如何求t 3这时刻的瞬时速度呢 能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度 我们可以取t 3临近时间间隔内的平均速度当作t 3时刻的平均速度 不过时间隔要很小很小 问题 瞬时速度 如何求t 3这时刻的瞬时速度呢 解 取一小段时间 3 3 t 问题 瞬时速度 解 取一小段时间 3 3 t 平均速度的极限为瞬时速度 瞬时速度 平均速度的极限为瞬时速度 思考 在t0时刻的瞬时速度呢 瞬时变化率 思考 我们利用平均速度的极限求得瞬时速度 那么如何求函数f x 在x x0点的瞬时变化率呢 可知 函数f x 在x x0处的瞬时变化率为 导数 我们称它为函数f x 在x x0处的导数 小结 由定义知 求f
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