2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，集合，那么等于（ ）ABCD【答案】D【解析】求出后可得.【详解】，故，故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解以及集合的并，本题属于容易题.2已知命题，则是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据全称命题否定的结构形式可得.【详解】为：,故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：，其否定为.存在性命题的一般形式是，其否定为.3下列不等式中成立的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】试题分析：A中当时不成立；B中若不成立；C中不成立，所以D正确【考点】不等式性质4函数的最小正周期是（ ）ABCD【答案】B【解析】由二倍角的余弦公式可得，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期.【详解】由二倍角的余弦公式可得，故最小正周期为，故选：B.【点睛】本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题.5已知函数在区间上的函数值不恒为正，则在下列函数中，只可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】逐项判断可得正确的选项.【详解】对于A，当时，的值域为；对于B，当时，的值域为；对于C，因为当时，故的值域为，所以的函数值不恒为正；对于D，当时，的取值范围为，故选：C.【点睛】本题考查在给定范围上的函数的函数值的正负判断，一般地，可结合解析式的具体形式选择合适的方法求出函数的值域即可，本题属于中档题.6已知，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设 “”， “”，考虑命题“若则”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系.【详解】设 “”， “”.若，则，故“若则”是假命题.因为，所以，当且仅当时等号成立，故当，必定不成立，故“若则”是假命题.故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.7通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（ ）ABCD【答案】C【解析】考虑的值，再利用指对数转换可得和的关系.【详解】由题设可得，故，故选：C.【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的计算公式计算即可，本题属于容易题.8已知函数，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数与的图像在轴右侧有两个交点等价于在上有两个不同的实数解，令，可判断在上为减函数，在上为增函数，利用零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】令.设，则，因为，故，故即，所以当时，为减函数，同理可证：当时，为增函数.由，可得：当时，为增函数；当时，为增函数.故在上为减函数，在上为增函数.因为函数与的图像在轴右侧有两个交点，所以在上有两个不同的实数解，所以即，故.又当时，设较大的解为，当时，故，又当时，故，由零点存在定理可知，在，上各有一个零点.综上，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题.9已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则为的零点，根据判别式可得，就和分类讨论后可得的大小关系.【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为，故，因为，故，所以即.又，若，则，故即.若，则，所以或者，即或.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.10已知正整数满足当（）时，且，则的最大值为（ ）A19B20C21D22【答案】A【解析】先由（）时，得到，再将放缩为，从而，故可得的最大值.【详解】因为当（）时，故，诸不等式相加可得即.故，所以，故. 又，故.当等号成立.故选：A.【点睛】本题考查不等式的性质，解题中注意根据欲求最值的类型去估算的最大值以及的最小值，注意检验，本题属于难题.二、填空题11_.【答案】【解析】根据诱导公式可求该值.【详解】.故答案为：.【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”本题属于基础题.12若集合，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】根据一元二次不等式的解集为空集可得判别式小于等于零，从而可求实数的取值范围.【详解】因为，故无解，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的解，注意解的形式与判别式的正负之间的关系，本题属于容易题.13已知函数，在轴上取两点（），设线段的中点为，过作轴的垂线，与函数的图象分别交于，则点在线段中点的_.（横线上填“上方”或者“下方”）【答案】上方【解析】比较与的大小关系后可得正确结论.【详解】如图，的纵坐标为，的纵坐标为.又，因为，由基本不等式可得，故，故在的上方.故答案为：上方.【点睛】本题考查对数函数的图像和性质以及基本不等式，注意根据图象得到两点的位置关系后需给出严谨的证明，本题属于中档题.14给出下列命题：函数是偶函数；函数在上单调递增；直线是函数图象的一条对称轴；将函数的图象向左平移单位，得到函数的图象.其中所有正确的命题的序号是_.【答案】【解析】逐项判断后可得正确的结论序号.【详解】对于，故，为上的偶函数，故正确.对于，因为，而为增函数，故在上单调递增，故正确.对于，图象的对称轴为，当时，故正确.对于，函数的图象向左平移单位，所得图象对应的解析式为，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数、余弦型函数和正切型函数的图像和性质，通常用复合函数的方法来讨论此类，比如考虑函数的单调性时，我们先确定的单调性，再确定三角函数在相应的的范围上的单调性，从而可确定复合函数的单调性，再如求函数的对称轴、对称中心时，可以由三角函数的对称轴或对称中心得到复合函数图象的对称轴或对称中心.另外，图象平移或周期变换时，都是自变量本身变化.15已知在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_.若和中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】根据关于轴对称点的特征可得的坐标， 考虑两个点的横纵坐标都满足不等式组时实数的取值范围，该范围在上的补集即为所求的实数的取值范围.【详解】因为点关于轴的对称，故.当都满足不等式组时，有，故.所以和中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组时，实数的取值范围为.故答案为： ，.【点睛】本题考查坐标平面上点的对称性以补集思想在取值范围中的应用，注意当题设有至少、至多等关键词时，可从反面考虑，本题为中档题.16在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，表示，其中.如图，平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径作圆，为圆周上的一点，以为始边，为终边的角为，则点的坐标是_，从点出发，以恒定的角速度转动，经过秒转动到点，动点在轴上的投影作简谐运动，则点的纵坐标与时间的函数关系式为_.【答案】 （） 【解析】根据三角函数的定义可得的坐标和的坐标，的纵坐标即为的纵坐标.【详解】设，则故即.经过秒，以为终边的角为，故，所以点的纵坐标与时间的函数关系为，.故答案为：，（）.【点睛】本题考查三角函数的定义，注意根据终边的一点的坐标和角对应的三角函数的关系来解题，本题属于基础题.三、解答题17已知集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出集合后可得.（2）由可得，就和分类讨论后可得实数的取值范围【详解】（1），.（2）因为，所以.当时，则；当时，由题意得，解得.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式组，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.18已知函数.（1）若点在角的终边上，求和的值；（2）求函数的最小正周期；（3）若，求函数的最小值.【答案】（1），0；（2）最小正周期为；（3）最小值为.【解析】（1）根据三角函数的定义可求的三个三角函数，再利用倍角公式可求和的值.（2）利用降幂公式和辅助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期.（3）求出的取值范围后利用正弦函数的性质可求的最小值.【详解】（1）因为点在角的终边上，故，所以，.则.（2） ，所以的最小正周期为（3）因为，所以，所以，所以当，即时，有最小值【点睛】本题考查三角函数的定义、二倍角的正弦、余弦和正切公式以及正弦型函数的周期、最值，注意形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等19已知函数（）.（1）若，求的值；（2）若，用函数单调性定义证明在上单调递减；（3）设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可直接求出的值；（2）当时，可利用单调性定义可证明在上单调递减；（3）函数在上有唯一零点等价于在上有唯一零点（不是函数的零点），后者可结合函数图像得到实数满足的不等式组，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）由可得，得.（2），且，则，因为，所以，即.所以在内单调递减.（3）因为在有唯一零点，故在上有唯一零点且不是函数的零点.又，故.因为的图象的对称轴方程为，故.因为在上有唯一零点，故或者，即或，故或.所以的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调性的证明以及二次函数的零点，注意一元二次的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.（1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；（2）动态检验指让图像上下二元平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制；（3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.20已知函数（）.当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的相关函数.（1）解关于的不等式；（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，求的取值范围；（3）设函数，.当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用对数函数的单调性可解不等式.（2）先求出，再考虑不等式对任意的恒成立后可得实数的取值范围.（3）当时，令，求出的最小值后可得的最大值.【详解】（1）依题，则，所以所以原不等式的解集为.（2）由题意，所以.所以的相关函数为.依题意，对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，即当，恒成立.由