椭圆题型二--定点.doc

圆锥曲线定点、定直线、定值专题1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）由题意设椭圆的标准方程为由已知得a+c=3，a-c=1， a=2，c=1，b2=a2-c2=3椭圆的标准方程为。（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0）解得m1=-2k，且均满足3+4k2-m20当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为。2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)，所求椭圆E的方程为：。(2)当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1，把（2）代入（1）整理得：，（3） ， 假设存在定点M（m，0），使得为定值，=，当且仅当5-4m=0，即时，（为定值）这时。再验证当直线l的倾斜角=0时的情形，此时取，存在定点使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l 均有（恒为定值）3.已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。4.（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（1）a2=2，b2=1，c=1，F（-1，0），l：x=-2圆过点O、F，圆心M在直线上设则圆半径由|OM|=r，得解得所求圆的方程为。（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），则AB的垂直平分线NG的方程为令y=0，得k0点G横坐标的取值范围为。5. （本小题满分13分）如图，椭圆的顶点为，焦点为 ，（）求椭圆C的方程；（）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，|=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：（1）由知 由知a=2c 又b2=a2-c2， 由解得a2=4，b2=3故椭圆C的方程为；（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）假设使成立的直线l存在（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代人椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0由求根公式可得 将代人上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0， 将m2=1+k2代入并化简得-5（k2+1）=0，矛盾即此时直线l不存在。（ii）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1当x=1时，A，B，P的坐标分别为当x=-1时，同理可得，矛盾即此时直线l也不存在综上可知，使成立的直线l不存在。6.（本题满分15分）已知，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. (I)当直线过右焦点时，求直线的方程；(II)设直线与椭圆交于两点，, 的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.解：()因为直线l：，经过，所以，得m2=2，又因为m1，所以，故直线l的方程为。()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去x得，则由，知，且有，由于F1(-c，0），F2(c，0)，故O为F1F2的中点，由，可知，设M是CH的中点，则，由题意可知，2|MO|CH|，即，即，而，所以，即m24，又因为m1且0，所以1m2；所以m的取值范围是(1，2) 7.（本小题满分12分） 设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。（）求椭圆的焦距；（）如果,求椭圆的方程。解：（1）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离，故c=2，所以椭圆C的焦距为4；（2）设，由题意知，直线l的方程为，联立得，解得，因为，所以，即，得a=3，又c=2，故，故椭圆C的方程为。8.已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；解：（1）设椭圆方程为由题意可知方程为设则点在曲线上则从而得则点P的坐标为。（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为：由得设则同理可得则所以：AB的斜率为定值。9.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点.当时，求的取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设，解得，故所求椭圆的方程为。（2）设，P为弦MN的中点，由得 ，直线与椭圆相交，从而， ，又|AM|=|AN|，APMN，则：，即， 把代入得，解得，由得，解得；综上求得的取值范围是。10. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足， 求的取值范围.解：（1），P为AM的中点，又，NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，又，动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距2c=2，曲线E的方程为。（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，代入椭圆方程得，由0，得，设，则，又，即，整理，得，解得：，又当直线GH斜率不存在，方程为，即所求的取值范围是。11.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且。（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围。解：（1）设C：（ab0），设c0，c2=a2-b2，由条件知a=1，故C的方程为：。（2）设直线l的方程为y=kx+m，且与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）由得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0-x1=3x2消去x2，得整理得时，上式不成立时，由（*）式得k22m2-2或即所求m的取值范围为。12.已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为 ，BC过椭圆m的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在且不为零时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围解：（1）点A的坐标为（，0），椭圆方程为， 又，且BC过椭圆M的中心 O（0，0），又，AOC是以C为直角的等腰三角形，易得C点坐标为（，），将（，）代入式得，椭圆M的方程为。（2）当直线的斜率k=0，直线的方程为y=t，则满足题意的t的取值范围为-2t1， 由得0t4，结合得到1t4，综上所述，t的取值范围是（-2，4）。13.如图，轴，点M在DP的延长线上，且当点P在圆上运动时。 （I）求点M的轨迹C的方程； （）过点的切线交曲线 C于A，B两点，求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。14.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同