高数B上习题 3-4作业答案.pdf

1 习题 3 4 1 1 解 arctanf xxx 2 22 1 10 11 x fx xx 且仅在0 x 时等号成立 所以 f x在 单调上升 注 很多人都是不注意这里会出现等号 2 解 8 2yx x 0 x 2 22 828 2 x y xx 0 x 2 2 28 0 x y x 解得 1 2x 2 x 时 0y 单调上升区间为 2 0 2 x 时 0y 则 2 ln22 x fxx 4x 22 4 2ln2242ln220 x fxf 4x 所以 fx在 4 单调上升 从而 40fxf 所以 fx在 4 也单调上升 从而 40fxf 即4x 时 2 2xx 证毕 注 注意此题中证明 0fx 的方法 是利用二阶导数 fx的符号得出 fx的 单调性 2 习题 3 4 2 2 证明 令 3 1 sin 6 fxxxx 0 x 则 2 1 1cos 2 fxxx 0 x sin0fxxx 这是因为sin xx 所以 fx在 0 单调下降 从而 00fxf 所以 fx在 0 也单调下降 从而 00fxf时 3 1 sin 6 xxx 的方法 也是利用二阶导数 fx的符号 2 3 证明 原不等式 1 2 cccc abab 等价于 22 cc c abab 令 c fxx 则 1c fxcx 2 1 c fxc cx 因为01c 时 2 1 0 c fxc cx 即可知 F x在 单调增加 当0 x 时 注意到 0 0f 2 f xxfxf x Fx xx 2 0 xfxf xf x 3 习题 3 4 2 xfxxf x x 拉格朗日 x介于 0 与x之间 xf x x 拉格朗日 介于x与x之间 注意到上式中 由于xx 与 x 同号 已知 0f 所以 Fx 0 xf x x 证毕 证毕 3 2 证法二 2 f xxfxf x Fx xx 令 g xxfxf x 则 g xfxxfxfxxfx 则当0 x 时 0g x 当0 x 时 0g x 于是 2 0 g x Fx x 证毕 证毕 4 注 注意此题中拐点的写法 必须是 1 ln2 1 ln2 而不能写拐点为1x 5 解 据题意 1 10 2 44 2 0 1 0 f f f f 解得1a 3b 24c 16d 4 习题 3 4 6 解 00 xf x是拐点 由于 fx在 0 x某邻域连续 且 0 0fx 根据连续函数的保号性知 在 0 x的某 个邻域内 fx与 0 0fx 的符号相同 解法一 把 fx在 0 x点泰勒展开 注意 0 0fx 得 000 fxfxfxxfxxxx 由此可见 如果 0 0fx 0 0fx 0fx 从而 0 xx 时 0 0fxfx时 0 0fxfx 即 fx的符号在 0 x的左右两侧发生改变 即 00 xf x是拐点 解法二 如果 0 0fx 0 0fx 0fx 从而 fx在 0 x 的邻域内单调上升 下降 而 0 0fx 从而 0 xx 时 0 0fxfx时 0 0fxfx 即 fx的符号在 0 x的左右两侧发生改变 即 00 xf x是拐点 解法三 00 0 0 00 limlim xxxx fxfxfx fx xxxx 由极限的保号性