2011年北京数学中考一道综合题的多解与拓展(发201111).doc

2011年北京市数学中考一道综合题的多解与拓展人大附中 陆剑鸣 北京2011年数学中考一道综合题是这样的：在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数图1图2图3第（2）问要求“直接写出”，同学们用测量的方法就可得到结论：BDG的度数是45.那这一问考什么呢？有什么作用呢？事实上，它是一种特殊情况，它的证明方法往往对解决第（3）问有启发，所以这里同学们应该思考一下如何证明.从结论出发想需知，要求BDG的度数，想到作垂直，把要求的未知角放在直角三角形中；或连结BG，把要求的未知角放在三角形中；再往下的思路还不明朗；图5图4从已知出发想可知：由于点G是直角ECF的斜边EF的中点，想到连结CG，如图4.又由已知角平分线加平行线的已知条件可推出图1中有三个等腰三角形，进而得到BC=DF，BCG=F，BGCDGF，所以BG=GD，BGC=DGF，所以BGD=CGF=90，至此得到BGD是等腰直角三角形，所以BDG为45.第（3）问中，由于GF=CE=CF，GFC=60，想到连结CG，得等边CGF，再连结BG，把第（2）问的证明思路迁移到第（3）问即可.思路1构造三角形和DGF全等.方法1：如图5，.易证CGF是等边三角形.推得BGCDGF，所以 在这种思路下，还有不同的证法：图7图6 方法2：如图6，易证AHD是等边三角形.推得DBHDGF，所以 当然，解决这个问题，还有其他不同的思路和证法.思路2构造三角形和GCD全等.方法3：如图7，易证CHD和CGF均为等边三角形.推得BHDGCD，所以图9图8 方法4：如图8，.易证CGF和CEG均为等边三角形.推得GEBGCD，所以BG=DG，所以思路3构造直角三角形全等.方法5：如图9，.所以BHDGMD，所以 一些数学题目，由于其内在的规律，或由于思考的途径不同，可能会有许多不同的解法.在平时学习中，同学们应自觉探求多种解法，这样可以从不同的角度思考问题，用不同的方法解决问题，从而使我们的基础知识、基本技能在更大的范围内反复运用，推理能力得到训练与发展.在寻求多种解法时，也要防止乱碰.在这道综合题中，第（2）问、第（3）问都是一种特殊情况.在这两种特殊情况中，均有.那一般情况是什么呢？怎样提出一般性的问题呢？先画出一般情况下的图形，见图10.图10图11从第（2）问、第（3）问的证明中可以看出，BGCDGF是变中不变，所以在将问题一般化时，应保证这对三角形全等不变.为此，需要条件（1）GC=GF，直接给出这个条件，或给出“G在CF的中垂线上”；需要条件（2）.这个条件等价于什么条件呢？我们做如下的推理：设由平角即CFG与DAF互余.至此我们可以提出以下一般性问题：在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点FG在CF的中垂线上，且CFG与DAF互余（点G在BDF的内部）.画图探求BDG与ABC的数量关系，并证明.画图10或图11，连结CG、BG，有.用方法1的证明思路可以证明，请读者自行完成.这里，从问题中的变中不变出发，展示了怎样从特殊情况下提出一个一般性