厦门大学 大学物理B 第04章 振动和波动(4).pdf

复习 复习 同频率垂直简谐振动的合成同频率垂直简谐振动的合成 合振动轨迹为一椭圆 又称 椭圆振动 椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差 不同频率垂直简谐振动的合成不同频率垂直简谐振动的合成 当时 轨道闭合 形成李萨如图 212121 nn 且 阻尼振动阻尼振动 t x O a 0 c 0 c b a 受迫振动受迫振动 共振共振 1 位移共振位移共振 2 速度共振速度共振 r 22 0 2 0 波是无处不在的波是无处不在的 波浪和海啸波浪和海啸 多米诺骨牌多米诺骨牌 电磁波 电磁波 无线电波无线电波 微波微波 热辐射热辐射 可见光可见光 X 射线射线 什么是波 什么是波 波是振动的传播波是振动的传播 机械波 机械波 机械振动在连续介质中的传递形成机械振动在连续介质中的传递形成 机械波机械波 电磁波 电磁波 交变电磁场在空间中的传播交变电磁场在空间中的传播 4 4 5 5 波的产生和传播波的产生和传播 4 4 6 6 波动表达式波动表达式 4 4 7 7 波的能量波的能量 4 4 8 8 波的干涉波的干涉 驻波驻波 4 4 9 9 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 波的反射和折射波的反射和折射 1 波的产生波的产生 2 横波和纵波横波和纵波 3 波面和波线波面和波线 4 波长和波数波长和波数 5 波速波速 4 4 5 5 波的产生和传播波的产生和传播 1 1 1 1 波的产生波的产生 机械波产生条件 机械波产生条件 1 波源 波源 2 媒质 媒质 真空 波 波 振动在媒质中的传播振动在媒质中的传播 形成形成波波 1 波的产生与传播 波的产生与传播 1 2 1 2 横波与纵波横波与纵波 横波 横波 质元的振动方向与波的传播方向垂直质元的振动方向与波的传播方向垂直 有波峰和波谷有波峰和波谷 纵波 纵波 质元的振动方向与波的传播方向平行质元的振动方向与波的传播方向平行 横波只能在固体中传播 而纵波可以在固体 液体和气体中传播 存在相间的稀疏和稠密区域存在相间的稀疏和稠密区域 注意 注意 波传播的只是振动状态 相 位 媒质中各质元并未 随 波逐流 有些波是横波与纵波的 叠加 1 3 1 3 波面与波线波面与波线 波面波面 相位相同的点所构成的面相位相同的点所构成的面 波线 波线 沿波的传播方向画出的带箭头的线沿波的传播方向画出的带箭头的线 波面 波线 波前 波前波前 最前方的波面最前方的波面 平面波与球面波 平面波与球面波 波面为平面的波称为平面波 波面为平面的波称为平面波 波面为球面的波称为球面波波面为球面的波称为球面波 a 球面波 波线 波前 波面 b 平面波 波线 波面 波前 1 4 1 4 波长和波数波长和波数 波长波长 沿波的传播方向沿波的传播方向 相邻同相位点之间的距离相邻同相位点之间的距离 波数 1 k 角波数 2 k 周期周期 T 波前进一个波长的距离所需的时间波前进一个波长的距离所需的时间 T 1 2 频率频率 角频率角频率 波的分类 波的分类 按波面形状按波面形状 球面波球面波 平面波平面波 柱面波柱面波 按复杂程度按复杂程度 简谐波简谐波 复波复波 按持续时间按持续时间 连续波连续波 脉冲波脉冲波 按质元之间的力按质元之间的力 是否是弹性力是否是弹性力 弹性波弹性波 非弹性波非弹性波 按波形是否传播按波形是否传播 行波行波 驻波驻波 波动的共同特征波动的共同特征 具有一定的传播速度具有一定的传播速度 且都伴有能量且都伴有能量 动量动量 的传播的传播 能产生反射能产生反射 折射折射 干涉和衍射等现象干涉和衍射等现象 1 5 1 5 波速波速 波速波速 振动状态振动状态 相位相位 在空间中的传播速度在空间中的传播速度 T u 1 1 绳索中的波速 绳索中的波速 2 2 固体中的纵波波速 固体中的纵波波速 3 3 固体中的横波波速 固体中的横波波速 4 4 气体和液体中的波速气体和液体中的波速 1 1 绳索中的波速绳索中的波速 T F u 绳波的传播 绳波的传播 FT为张力为张力 为线密度为线密度 T u 0 l 2 2 固体纵波波速固体纵波波速 Y u Y 为杨氏弹性模量为杨氏弹性模量 为体密度为体密度 F F ll 0 S F 0 l l Y 拉应变拉应力 3 3 固体中的横波波速固体中的横波波速 G u G 为切变弹性模量为切变弹性模量 切变切变 切 F 切 F S h x tan S F 切 YG 固体中 纵波横波 uu 切应变切应变 切应力切应力 G 4 4 气体和液体中的波速气体和液体中的波速 气体和液体中只能传播纵波气体和液体中只能传播纵波 不能传播横波不能传播横波 B 为体积弹性模量为体积弹性模量 为密度为密度 B u V V Bp VV V 体变 可以证明声音在空气中的速度 可以证明声音在空气中的速度 M RTp u Cp CV M 为摩尔质量为摩尔质量 332 29 1 1001 14 1 5 sm p u B u V V Bp 0 1 dVpVdpV V p dV dp 得 CpV pB u p dV dp VB得 M RT p M RT u 证证 由于声振动频率较高由于声振动频率较高 20 20000 Hz 可可 以将空气的疏密过程看成以将空气的疏密过程看成绝热过程绝热过程 把空把空 气看成理想气体气看成理想气体 B u V V Bp 作业 作业 结论 结论 波速由弹性媒质性质决定波速由弹性媒质性质决定 频率频率 或周期或周期 则由波源的振动性质决定则由波源的振动性质决定 习题习题4 7 已知空气中的声速为已知空气中的声速为344 m s 一声波在空气中 一声波在空气中 波长是波长是0 671 m 当它传入水中时 波长变为 当它传入水中时 波长变为2 83 m 求声波在水中的传播速度 求声波在水中的传播速度 4 4 6 6 波动表达式波动表达式 1 平面简谐波波函数平面简谐波波函数 2 媒质质元的运动特征媒质质元的运动特征 3 媒质质元振动的速度和加速度媒质质元振动的速度和加速度 如何描述一个波如何描述一个波 平面波函数 平面波函数 y y x t 任意任意 x 处质元随时间的处质元随时间的位移位移 y 称为波函数称为波函数 波动式波动式 波动方程波动方程 1 平面简谐波波函数平面简谐波波函数 波速 波速 u 向右向右 求求 波函数波函数 y y x t 已知已知 O 点的振动方程 点的振动方程 cos 0 tAy u x t 在平面波传播过程中 若介质各质元均作同频在平面波传播过程中 若介质各质元均作同频 率 同振幅的简谐振动 则该平面波为率 同振幅的简谐振动 则该平面波为平面简谐波平面简谐波 平面简谐波是最简单 最基本的波动 平面简谐波是最简单 最基本的波动 假设媒质无吸收 所有质元的振幅均为假设媒质无吸收 所有质元的振幅均为A 且 且 频率也相同 频率也相同 但但 P 点的振动状态点的振动状态 在时间上落后于在时间上落后于 O 点 点 cos 0 0 u x tA u x tytxy cos u x tAtxy 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 或者说 或者说 x 点在点在t 时刻的振动状态与时刻的振动状态与O 点在点在t x u 时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同 波动方程的另外几种形式 波动方程的另外几种形式 2cos x T t Atxy 2 cos xutAtxy T u T 2 向右前提假设utAy cos 0 cos u x tAtxy 2 媒质质元的运动特征媒质质元的运动特征 cos u x tAtxy 1 每一点都在振动每一点都在振动 u x tAty xx cos 协同振动协同振动 相位随相位随 x 变化变化 x u x x 2 随着随着 x 值的增大值的增大 即在传播方向上即在传播方向上 各质点各质点 的相位依次落后的相位依次落后 当当 x 时时 2 2 x 2 t t0时的位移分布时的位移分布 cos u x tAtxy 00 2cos t x Atxy tt 空间周期为空间周期为 3 沿沿 x 负方向传播的波函数负方向传播的波函数 若平面简谐波沿若平面简谐波沿 x 负方向传播负方向传播 O 点的振动方程 点的振动方程 cos 0 tAy 在在 t 时刻时刻 x 点的振动状点的振动状 态与态与 O 点在点在 t x u 时刻的振动状态相同时刻的振动状态相同 cos u x tAtxy 2cos x T t Atxy或 3 媒质质元振动的速度和加速度媒质质元振动的速度和加速度 cos u x tAy sin u x tA t y v cos 2 2 2 u x tA t y a ya 2 计算 计算 1 由参考点的振动式求波函数由参考点的振动式求波函数 确定参考点的振动式 确定参考点的振动式 利用行波的概念 沿波的传播方向利用行波的概念 沿波的传播方向 各质元各质元 的相位依次落后的相位依次落后 2 利用波形图求波函数利用波形图求波函数 例例 有一平面简谐波有一平面简谐波速速度度 u 20 m s 沿沿 x 轴轴负负方向传播 方向传播 已知已知 A 点的振动方程为点的振动方程为 y 3 cos 4 t 则 则 1 以以 A 点为点为 坐标原点坐标原点求波动式求波动式 2 以以距距 A 点点 5 m 处的处的 B 为为坐标原坐标原 点点求波动式求波动式 解 解 1 0 u x tytxy 20 4cos3 x ty 2 B点振动式 点振动式 x 5 4cos 3 tyB 波动式 波动式 20 4cos 3 x ty 5 5 u x tytxy tty 4cos3 5 思路二 行波 相位传播 20 5 4cos3 x t 思路三 相位差 tty 4cos3 5 20 5 4 5 x u x tytxy 相位超前比 20 5 44cos 3 x ttxy 思考 思考 已知波的方向和参考点的振动已知波的方向和参考点的振动 波动式波动式 与原点的选择有关吗与原点的选择有关吗 波场中各点的振动式波场中各点的振动式 确定吗确定吗 与坐标原点的选择是否有关与坐标原点的选择是否有关 答 答 波动式与参考点的选择有关波动式与参考点的选择有关 但任意点的但任意点的 振动式与坐标原点选择无关振动式与坐标原点选择无关 讨论 讨论 原点处简谐振动为 原点处简谐振动为 cos 0 tAy 沿沿 x 正方向传播 波函数为 正方向传播 波函数为 cos u x tAtxy 问 问 1 当当 P 点在点在 O 点的左侧点的左侧 x 0 上上 式是否仍成立式是否仍成立 答 仍成立答 仍成立 问 问 2 若若 O 点为振源点为振源 当当 P 点在点在 O 点的左点的左 侧侧 x 1s 试根据 图中绘出的条件求出波的表达式 并求A点的振动式 解 解 1 cmA1 cm4 波速 波速 1 01 2 scm t xx us u T2 1 05 10 scm t xx u s u T4 0 因为因为 T 1 s 舍去舍去 u T sT 2 2 由初始条件 零时刻原点处位移为零由初始条件 零时刻原点处位移为零 2 3 2 或 0 v又 2 2 cos 0 ty 求原点振动 求原点振动 cos 0 cmty 或由波形图及波传播方向直接判断或由波形图及波传播方向直接判断 2 2 cos 0 cmty 波动式 波动式 2 2 cos cm x ty A点振动式 点振动式 2 2 1 cos ty A coscmt 2 1 向右 scmu 作业 作业 习题习题4 8 一简谐横波以一简谐横波以0 8 m s的速度沿一弦线行进 在的速度沿一弦线行进 在 x 0 1 m处弦线上质点的位移随时间的变化为处弦线上质点的位移随时间的变化为y 0 05 sin 1 0 4 0t 求此波的波动表达式 求此波的波动表达式 习题习题4 9 一平面简谐波在空间传播 已知波线上某点一平面简谐波在空间传播 已知波线上某点P 的振动规律为的振动规律为y Acos t 就图中所示的两种情 就图中所示的两种情 况 分别列出以况 分别列出以O点为原点的波函数 点为原点的波函数 习题习题4 10 已知已知t 0时刻的波形曲线为时刻的波形曲线为I 波沿 波沿ox方向传播 方向传播 经经t 0 5 s后变为曲线后变为曲线 已知波的周期已知波的周期 T 1 s 试根据 试根据 图中绘出的条件求出波的表达