费氏数列与黄金比例.ppt

費氏數列與黃金比例 黃金比例緣起 文藝復興後期的克卜勒 Kepler 1571 1630 曾經說 幾何學擁有兩件至寶 一件是大家熟知的畢氏定理 另一件便是黃金比例 黃金比例不但在神秘主義的五角星形出現 它還在數學與藝術的領域大放異彩 最重要的 黃金比例還隱藏在神奇的費波那契數列 FibonacciSequence 之中 費波那契 1202年 義大利數學家費波那契 LeonardoFibonacci 約1170 1250 出版了 算盤書 Liberabacci 他在書中提出了一個關於兔子繁衍的問題 兔子繁衍 如果一對成兔每月能生一對小兔 一雄一雌 而每對小兔在牠出生後的第二個月裡 長大成兔 第三個月裡 又能開始生一對小兔 假定在不發生死亡的情況下 由一對出生的小兔開始 設n個月後會有Fn對兔子 求Fn 費氏數列 在第一個月時 只有一對小兔子 即F1 1 過了一個月後 那對兔子成熟了 所以F2 1 在第三個月時便生下一對小兔子 這時有兩對兔子 F3 2 再過多一個月 成熟的兔子再生一對小兔子 而另一對小兔子長大 有三對兔子 F4 3 如此推算下去 我們便發現每月的兔子對數的一個規律 F1 F2 1 Fn Fn 1 Fn 2 n 2 64 65 楊輝三角與費波那契數列 費氏數列性質I 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 費氏數列性質II 由上性質我們可以知道Fn與Fn 1互質 除了1之外 F12 144是12的平方 而144後的費氏數列中已無平方數 費氏數列中只有1與8是立方數 費氏數列性質III 如右圖我們可以將正方形變矩形 自然界中等角螺線 自然界中許多物體都呈現等角螺線的形狀 如 許多貝殼都很接近等角螺線的形狀 因為生活在殼內的動物在成長過程中都是均勻地長大 這就像相似地放大 所以新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似 象鼻 動物的角與毛等都呈等角螺線形 貝類的等角螺線 等角螺線 在植物中 向日葵花 鳳梨與雛菊上的螺旋紋也都呈等角螺線形 隼由空中以每小時200英里的速度攻擊獵物 為了保持頭部挺直 減少風阻 隼也是循等角螺線俯衝而下 費氏數列性質IV 費氏數列性質V 如下圖 我們可以把矩形變正方形 矩形變正方形 費氏數列性質VI 費氏數列性質VII 若n m 則Fn Fm 如 F3 F15且F5 F15 我們可由上面性質知除F4 3外 若Fn為質數 則n亦為質數 如 F7 13 7與13皆為質數 F13 233 13與233皆為質數 但當n為質數 Fn不一定為質數 如F19 4181 37 113 OPENQUESTION 質數有無限多個 但費氏數列是否含有無限個質數仍是未知的問題 一花一世界 很多花的花瓣數都是費氏數 火鶴為1 百合花真正的花瓣只有3片 長在內圈 外圈那3片假花瓣 其實是由花萼特化而成 梅花為5瓣 有些桔梗花為8瓣 金盞花13瓣 另外大部分的雛菊花辦數是13 21 34 向日葵 向日葵的花頭種子也與費氏數有關 常見向日葵花頭種子所構成的螺旋線分成兩組 一組順時針旋轉 另一組為逆時針旋轉 兩組的螺旋線數目為 34及55 較大的向日葵的螺旋線數目則為 89及144 更大的甚至還有 144及233 鳳梨 鳳梨的外皮為隆起的六角形鱗片 如下圖 其中有五條較平緩的平行螺線往右上旋 有八條較陡的平行螺線往左上旋 還有更陡的十三條平行螺線是往右上旋 葉子的生長 葉子為了行光合作用 淋到雨水與呼吸最多空氣 所以生長行徑成螺線移動 葉序Phyllotaxis 葉序為瑞士自然學家CharlesBonnet 1720 1793 於1754年所創 如菩提樹菩提樹的葉子都對稱生在兩邊 稱為1 2葉序比 黑苺與山毛櫸 由一片葉子移至另一片是1 3轉 1 3葉序比 其他如蘋果 加州長青橡樹及杏樹為2 5葉序比 梨樹與垂柳是3 8葉序比 鋼琴 鋼琴琴鍵上的一個8度音含有13個鍵 即8個白鍵與5個黑鍵 而5個黑鍵有可以分為2個黑鍵與3個黑鍵的音群 出現的全是費氏數列 黃金分割 如下圖 在線段AB上 若C為線段AB上的一點而且滿足則C點稱為線段AB的黃金分割點 ACB 黃金比例 黃金比例 GoldenRatio 歷史 西元前6世紀古希腊的畢達哥拉斯 約西元前580年 西元前500年 學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖 因此可以推斷當時畢達哥拉斯學派可能發現了黃金分割 西元前300年前後歐幾里得 約西元前330年 西元前275年 撰寫的 幾何原本 中論述了黃金分割 成為最早的有關黃金分割的論著 德國天文學家克卜勒 JohannesKepler 1571年12月27日 1630年11月15日 稱黃金分割為神聖分割 費氏數列前後項比值 五角星形 五角星形內部隱藏著一個五邊形 畫這五邊形的對角線 就產生一個小的倒五角星形 蘋果的由中間橫切 中間部分即為星形 以連分數與平方根表示的黃金比例 人體的黃金比例 人體的軀幹與身高的比例上 肚臍是理想的黃金分割點 所以比值愈接近1 618 肚臍為分割點 上半身是1 下半身則是1 618 愈給與人一種美的感覺 高跟鞋的秘密 但很可惜 一般人的軀幹都無法達到黃金比例 所以有很多女生穿高跟鞋 另外人體的手肘與膝蓋分別是手和腳的黃金分割點 整形風 想做臉部整形嗎 女生請不妨參考伊莉莎白赫莉的臉 而男生則建議湯姆克魯斯的臉 整形醫生都說 他們兩人最符合臉型1 1 618的黃金比例 MonaLisa 符合臉部黃金比例的鼻子 鼻樑兩側會呈現很自然的曲線 寬度 指左鼻翼到右鼻翼的距離 大概是臉部寬度 從左顴骨到右顴骨的距離 的五分之一 鼻子長度是佔臉部長度的1 3 鼻子與嘴巴的寬度的比例是1 618 另外鼻子長度是佔臉部長度的1 3 藝術 公認為最美的雕像是哪一個 答案是羅浮宮的三寶之一 米羅的維納斯 VenusdeMilo 因為維納斯雕像的肚臍到頭頂距離和肚臍到腳底距離的長度比 就是黃金比例的最佳範本 因此深具古典美 藝術 GeorgesSeurat Bathers 1884 油畫 畫布 201x300cm 國家藝廊 倫敦 建築 希臘的衛城 其正面的長方形正是黃金長方形 巴黎愛飛爾鐵塔第二層以下和第二層以上的高度比為0 618 若金字塔高度h的平方等於外部三角形面積ab 則a b為黃金比例 黃金比例粽子 高雄金典酒店於2009年推出糯米與內餡的比例為 3 2 組合 搭配包裹時 3 2 的三角椎體 突顯粽子的完美風味 資料來源 高雄金典酒店 服務學習期末報告 請100年6月15日中午12點前交傳送服務學習週誌與期末報告到勤益數位學習平台 參考文獻 數學的神秘與奇趣 凡異