数学人教版九年级上册三角点阵中前n行点数和的计算与拓展导学案.doc

第二十一章数学活动三角点阵中前n行的点数计算及拓展导学案武汉市光谷第二初级中学 姜海轮一、导学（一）活动导入老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”（板书课题）（二）活动目标1通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律2.探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.3.运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.4.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.（三）活动重难点重点：探索三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.二、活动过程探究一 三角形点阵1活动指导（1）活动內容：三角形点阵.图1 （2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：图1是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点观察图形，完成下面各题.下表是该点阵前n行的点数和，请你按要求把它填写完整前n行数 1 2 3 4 5 10 n 点数和 若该三角点阵前n行的点数和是300，求行数n该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，2n，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？在中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：（1）三角点阵中前n行的点数和的计算公式.（2）运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.探究二 正六边形点阵1活动指导（1）活动內容：正六边形点阵.（2）活动时间：5分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推填写下表：层数1234该层对应的点数所有层的总点数写出第n层所对应的点数（n2）；写出所有n层的正六边形点阵的总点数（n2）；如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.图例： 每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：明了学情：明了学生是否会归纳所有n层的正六边形点阵的总点数.差异指导：对困难学生在归纳所有n层的正六边形点阵的总点数方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：探索正六边形的点阵的方法.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.课后巩固：1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16这样的数称为“正方形数”观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式；1=11+2= ；1+2+3= ； .（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式 . （3）2015是“三角形数”吗？为什么？（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和结合（1）观察下列点阵图，并在看面的黄线上写出相应的等式1=121+3=223+6=326+10=42 .（5）通过猜想，写出（3）中与第n个点阵相对应的等式： .（6）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？2. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？3. 如图：正五边形点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.4. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含n的代数式表示)；(2